王良成，　楊明碩，　袁南橋

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院，重慶401520)

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關(guān)于積分中值定理的逆問(wèn)題

王良成，楊明碩，袁南橋

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院，重慶401520)

[摘要]當(dāng)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，本文證明了積分中值定理中值點(diǎn)的唯一性. 且較完整地解決了該定理的逆問(wèn)題，其證明也相當(dāng)簡(jiǎn)潔.

[關(guān)鍵詞]積分中值定理； 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)； 逆問(wèn)題； 唯一性

1引言

在數(shù)學(xué)分析(如文[1])中，有如下眾所周知的積分中值定理.

定理A設(shè)f(t)在[a,b]上連續(xù).則存在c∈(a,b)使得

(1.1)

上述定理中的c不唯一.文[2]給出了上述定理的逆不一定成立的例子，并改變條件給出了上述定理的如下逆定理.

定理B設(shè)f(t)是[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則存在點(diǎn)x0∈(a,b)，滿足

(i)當(dāng)ξ∈(a,x0)時(shí)，存在唯一點(diǎn)d∈(a,b)，使

(1.2)

(ii)當(dāng)ξ∈(x0,b)時(shí)，存在唯一點(diǎn)e∈(a,b)，使

(1.3)

上述d與e的范圍太寬，定理B中的結(jié)果不完整，證明也較繁瑣；該文[2]在其注2中還表述：“在定理B的條件下，若f(t)在[a,b]上還是連續(xù)的，則定理B的x0就是定理A中的c”，事實(shí)上這種表述對(duì)x0與c的關(guān)系未徹底弄清楚.本文在定理B的條件下給出比 (1.1)至(1.3)三式更弱的表達(dá)式，獲得了比定理B更完整的結(jié)論，徹底解決了上述x0與c的關(guān)系，其證明也相當(dāng)簡(jiǎn)潔.

2兩個(gè)引理

為證明本文定理，還須如下引理.

(i) g(x)是[a,b]上的連續(xù)嚴(yán)格凸(凹)函數(shù)；

(ii) ?x∈(a,b)，則g′-(x)=f(x-0)，g′+(x)=f(x+0).

證不妨設(shè)f(t)在[a,b]上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

(i) 對(duì)?x,y∈[a,b]，x

λg(x)+(1-λ)g(y)-g(λx+(1-λ)y)

(2.1)

即g(x)是[a,b]上的嚴(yán)格凸函數(shù).由文[1]中的定理7.4知g(x)在[a,b]上是連續(xù)的.

(ii) 對(duì)?x∈(a,b)，Δx<0，?t∈[x+Δx,x]?[a,b]，則有

f(x+Δx)≤f(t)≤f(x-0).

(2.2)

上式對(duì)t在[x+Δx,x]上積分，并除以-Δx，則有

(2.3)

對(duì)上式讓?duì)→0-0，則有g(shù)′-(x)=f(x-0). 同理可證g′+(x)=f(x+0).

當(dāng)f(t)在[a,b]上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，則(2.1)，(2.2)與(2.3)三式不等號(hào)反向成立.(2.1) 式不等號(hào)反向意味著g(x)是[a,b]上的嚴(yán)格凹函數(shù)；(2.2)與(2.3)不等號(hào)反向亦可得(2)的結(jié)果.

引理2[3]設(shè)g(t)是[a,b]上的連續(xù)嚴(yán)格凸函數(shù), 則有如下三個(gè)結(jié)果.

(i) 存在唯一的c∈(a,b)使得

g′-(c)(b-a)≤g(b)-g(a)≤g′+(c)(b-a);

(2.4)

(ii) 對(duì)?ξ∈(a,c)及g′-(ξ)≤m≤g′+(ξ)，則存在唯一的d∈(ξ,b)使得

g(d)-g(a)=m(d-a),

(2.5)

反之對(duì)上述的d，只有a才能使上式成立.且對(duì)?r∈(a,ξ)，則存在唯一的s∈(ξ,d)，使得

g(s)-g(r)=m(s-r)，

(2.6)

反之對(duì)?s∈(ξ,d)，則存在唯一的r∈(a,ξ)才能使上式成立.

(iii) 對(duì)?ξ∈(c,b)及g′-(ξ)≤m≤g′+(ξ), 則存在唯一的e∈(a,ξ)使得

g(b)-g(e)=m(b-e),

(2.7)

反之對(duì)上述的e,只有b才能使上式成立.且對(duì)?u∈(ξ,b), 則存在唯一的v∈(e,ξ)使得

g(u)-g(v)=m(u-v)，

(2.8)

反之對(duì)?v∈(e,ξ)，則存在唯一的u∈(ξ,b)才能使上式成立.

當(dāng)g(t)是[a,b]上的連續(xù)嚴(yán)格凹函數(shù)時(shí)，則(i)-(iii)中的不等式均反向.

3主要結(jié)果

定理設(shè)f(t)是[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù), 則有如下三個(gè)結(jié)果.

(i) 存在唯一的c∈(a,b)使得

(3.1)

又若f(t)在c處連續(xù)，則上式變?yōu)?/p>

(3.2)

(ii) 對(duì)?ξ∈(a,c)及f(ξ-0)≤m≤f(ξ+0)，則存在唯一的d∈(ξ,b)使得

(3.3)

又若f(t)在ξ處連續(xù)，則上式變?yōu)?/p>

(3.4)

反之對(duì)上述的d，只有a才能使上兩式成立.且對(duì)?r∈(a,ξ)，則存在唯一的s∈(ξ,d)，使得

(3.5)

又若f(t)在ξ處連續(xù)，則上式變?yōu)?/p>

(3.6)

反之對(duì)?s∈(ξ,d)，則存在唯一的r∈(a,ξ)才能使上兩式成立.

(iii) 對(duì)?ξ∈(c,b)及f(ξ-0)≤m≤f(ξ+0), 則存在唯一的e∈(a,ξ)使得

(3.7)

又若f(t)在ξ處連續(xù)，則上式變?yōu)?/p>

(3.8)

反之對(duì)上述的e,只有b才能使上兩式成立.且對(duì)?u∈(ξ,b), 則存在唯一的v∈(e,ξ)使得

(3.9)

又若f(t)在ξ處連續(xù)，則上式變?yōu)?/p>

(3.10)

反之對(duì)?v∈(e,ξ)，則存在唯一的u∈(ξ,b)才能使上兩式成立.

當(dāng)f(t)是[a,b]上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，則(i)-(iii)中的不等式均反向.

注1(3.1)式中的c即為定理B中x0，(3.2)式中的c即為定理A中c，當(dāng)f(t)在[a,b]上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)(不論連續(xù)與否)，定理B中x0與c是相同的且唯一. (1.2)與(1.3)兩式分別是(3.3)與(3.7)兩式的特殊情況，(1.2)與(3.3)式中的d相同，(1.3)與(3.7)式中的e相同，d與e的范圍后者較前者好.

注2本文的主要定理的證明還可仿照引理2的證法去證明.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

[2]郭輝,等. 積分中值定理逆問(wèn)題及其漸近性[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2002,32(6)：1031-1036.

[3]王良成，等. 關(guān)于Lagrange微分中值定理的逆問(wèn)題[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2012,28(5)：140-143.

On Inverse Problem of Integral Mid-VaIue Theorem

WANGLiang-cheng，YANGMing-shuo，YUANNan-qiao

(Chongqing Normal University, Foreign Trade And Business College, Chongqing 401520, China)

Abstract:When the function is strictly monotone, we prove the uniqueness of mid-value point for integral mid-vaIue theorem. And we obtain a complete solution for the inverse problem of this theorem. And this proof is quite simple also.

Key words:integral mid-value theorem; strictly monotone function; inverse problem; uniqueness

[收稿日期]2015-12-01

[基金項(xiàng)目]重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目(KY2015001)

[作者簡(jiǎn)介]王良成(1949—)，男，學(xué)士，教授，從事凸分析研究.Email：wlc@cqut.edu.cn

[中圖分類號(hào)]O178

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0078-03