馬芙玲

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436)

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基于分形市場(chǎng)假說(shuō)的金融時(shí)間序列的分形特征的解析

馬芙玲

(中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436)

[摘要]證券收益率序列中普遍存在分形特征,但其形成原因卻鮮為人知.本文根據(jù)分形市場(chǎng)假說(shuō)構(gòu)建了博弈模型，對(duì)證券收益率序列中分形特征的形成原因進(jìn)行了解.結(jié)果表明,分形市場(chǎng)假說(shuō)是證券收益率序列具有分形特征的充分條件.

[關(guān)鍵詞]分形時(shí)間序列； 分形市場(chǎng)假說(shuō)； 成因解析

1引言

隨著分形統(tǒng)計(jì)分析的發(fā)展，證券收益率序列普遍存在分形特征已日益被施錫銓和艾克鳳(2004)[1]、Shi等(2014)[2]等國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者所證實(shí).然而，時(shí)至今日，仍很少有學(xué)者對(duì)證券收益率序列中為何存在分形特征進(jìn)行研究.學(xué)者們對(duì)證券收益率序列中存在分形特征的密切關(guān)注源自Peters (1994)[3]的分形市場(chǎng)假說(shuō)(Fractal Market Hypothesis, FMH).雖然FMH指出了證券收益率序列會(huì)存在分形特征，但并沒(méi)有給出存在分形特征的數(shù)學(xué)證明.那么，能否從FMH推出證券收益率序列存在分形特征，對(duì)普遍存在的分形特征的原因給予解釋呢？本文以FMH為基礎(chǔ)，創(chuàng)新性的構(gòu)建了博弈過(guò)程,并通過(guò)對(duì)博弈模型展開(kāi)分析，對(duì)該問(wèn)題給予了肯定的回答，從而為FMH提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)，本文提出的博弈模型也有益于豐富和發(fā)展金融博弈模型.

2理論與仿真

FMH被Peters(1994)[3]公之于世，現(xiàn)已被Zunino等(2008)[4]、王鵬等(2009)[5]、宋光輝等(2013)[6]等大量學(xué)者接受.FMH對(duì)投資者的行為選擇具有如下假設(shè)：

2.1理論模型

和

并將si,m(t)對(duì)應(yīng)的行動(dòng)記為Ai,m(t)∈A.

(1)

(2)

A(t)=A1(t)×V1(t)+…+AN(t)×VN(t).

(3)

(4)

(5)

投資者的通過(guò)上述博弈過(guò)程所做出的行動(dòng)決策通過(guò)體現(xiàn)在A(yíng)i(t)上，市場(chǎng)中所有投資者的決策結(jié)果匯總即為A(t)，A(t)代表著該時(shí)刻的證券過(guò)度需求.劉興華和楊建梅(2007)[9]指出，證券t在時(shí)刻的收益率Rt=Nt-1×A(t). 因此，A(t)的波動(dòng)引致證券的收益率發(fā)生波動(dòng).綜上可見(jiàn)，從FMH中對(duì)投資者行為假設(shè)出發(fā)，可以得出證券收益率Rt. 如果投資者按照FMH進(jìn)行投資操作之后，證券的收益率序列一定會(huì)表現(xiàn)出分形特征，即FMH是證券收益率序列呈現(xiàn)分形特征的原因；那么，按照上述博弈過(guò)程所得到的收益率Rt的序列將出現(xiàn)分形特征.由于直接求解出上述博弈過(guò)程所得到的收益率非常困難，下文通過(guò)仿真分析判別收益率序列是否存在分形特征，進(jìn)而回答利用FMH能否對(duì)證券收益率序列中的分形特征給予解釋.

2.2仿真分析

本文的原始序列為2004年1月2日至2014年1月30日間上海證券交易所發(fā)布的所有行業(yè)指數(shù)的日收盤(pán)價(jià)，數(shù)據(jù)來(lái)源于聚源數(shù)據(jù)庫(kù).仿真時(shí)，取Nt=1001, hi(t)=3, mi(t)≤3, ci(t)=0.005; 且當(dāng)出現(xiàn)策略成功率相同的情形時(shí)，假設(shè)投資者隨機(jī)選擇策略.為了防止此處隨機(jī)選擇策略可能會(huì)對(duì)比較分析仿真和真實(shí)對(duì)數(shù)收益率序列產(chǎn)生影響，本文對(duì)所有行業(yè)指數(shù)的仿真和真實(shí)值先求均值再進(jìn)行比較.利用Matlab7.0可求出仿真收益率序列，為了形象，如下圖1同時(shí)將真實(shí)與仿真收益率序列的波動(dòng)趨勢(shì)進(jìn)行了羅列：

為了證明利用FMH可以對(duì)證券收益率序列中的分形特征給予解釋?zhuān)挛膶?duì)真實(shí)和仿真收益率序列的分形特征進(jìn)行分析.判別時(shí)間序列分形特征的常用方法之一是Kantelhardt等(2002)[10]提出的多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析法(Multifractal Detrended Fluctuation Analysis, MF-DFA).其主要的步驟如下：

圖1　真實(shí)與仿真收益率序列

第四步： 計(jì)算第m個(gè)子序列消除局部趨勢(shì)后剩余序列的方差，得到如下(6)式所示的去趨勢(shì)波動(dòng)方程.為了防止如下(6)式為0，常常要求s≥l+2

(6)

第五步： 按如下(7)式計(jì)算q階結(jié)構(gòu)化分割函數(shù)Fq(s).q的變動(dòng)有利于辨別序列中不同程度的波動(dòng)，當(dāng)q取較大的正值或較小的負(fù)值時(shí)，較大或小的Fm(s)受到Fq(s)的重視.

(7)

MF-DFA不僅能判斷時(shí)間序列中是否有分形特征，還能對(duì)單分形和多重分形特征做出區(qū)別，且具有簡(jiǎn)單易行和對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性沒(méi)有要求等眾多優(yōu)點(diǎn)，因而被Zunino等(2008)[4]和王鵬等(2009)[5]等國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛應(yīng)用.利用MF-DFA對(duì)仿真與真實(shí)收益率序列的分析結(jié)果如圖2.

圖2　真實(shí)與仿真收益率序列的多重分形分析

由圖2可知，仿真收益率序列如同真實(shí)的收益率序列，具有出分形特征，且是多重分形.可見(jiàn)，投資者按照FMH進(jìn)行投資操作之后，證券的收益率序列一定會(huì)表現(xiàn)出分形特征.因此，利用FMH可以對(duì)證券收益率序列的分形特征做出解釋?zhuān)現(xiàn)MH是證券收益率序列具有分形特征的充分條件.需要說(shuō)明的是，圖2中仿真收益率序列h(q)總是偏高，其原因在于本文基于仿真的便利，在參數(shù)設(shè)置時(shí)，對(duì)市場(chǎng)參與者人數(shù)Nt設(shè)置遠(yuǎn)小于實(shí)際市場(chǎng)的參與者，同時(shí)對(duì)投資者i在時(shí)刻t對(duì)價(jià)格序列的關(guān)注長(zhǎng)度mi(t)，以及投資者i在時(shí)刻t對(duì)私人信息的記錄長(zhǎng)度hi(t)也設(shè)定的比實(shí)際的情況要小，這樣會(huì)導(dǎo)致仿真收益率相比實(shí)際收益率序列有更大的波動(dòng)(見(jiàn)前文圖1)，從而由前文(7)式可知會(huì)導(dǎo)致Fq(s)偏高，最終導(dǎo)致h(q)偏高.

3小結(jié)

本文針對(duì)證券收益率序列存在分形特征但其原因鮮為人知的現(xiàn)實(shí)背景，通過(guò)構(gòu)建博弈模型和仿真分析表明，投資者根據(jù)FMH對(duì)證券進(jìn)行投資交易，證券收益率序列必然會(huì)表現(xiàn)出分形特征.因而，可以利用FMH對(duì)證券收益率序列的分形特征做出解釋.本文的結(jié)果深化了對(duì)分形時(shí)間序列的相關(guān)研究，為FMH提供了數(shù)理基礎(chǔ)，為FMH和分形時(shí)間序列之間的關(guān)系提供了數(shù)理基礎(chǔ).本文仍存在一些不足.一是本文的模型無(wú)法直接計(jì)算出收益率的波動(dòng)趨勢(shì).二是本文定量分析仍顯欠缺.對(duì)這些缺陷進(jìn)行彌補(bǔ)是未來(lái)重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容之一.

[參考文獻(xiàn)]

[1]施錫銓,艾克鳳. 股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的多重分形分析[J]. 統(tǒng)計(jì)研究, 2004, 21(9): 33-36.

[2]Shi W B, et al. Multiscale Multifractal Detrended Cross-correlation Analysis of Financial Time Series[J]. Physica A, 2014, 403(6): 35-44.

[3]Peters E E. Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics[M]. New York: John Wiley & Sons Inc., 1994.

[4]Zunino L, et al. A Multifractal Approach for Stock Marke Inefficiency[J]. Physica A, 2008, 387(26): 6558-6566.

[5]王鵬, 魏宇, 張蕾. 中國(guó)交易所債券市場(chǎng)分形特征的實(shí)證研究[J]. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理, 2009, 28(2): 324-330.

[6]宋光輝, 吳栩, 詹素卿，等. 行業(yè)指數(shù)相關(guān)關(guān)系的多重分形時(shí)變性及實(shí)證分析[J]. 統(tǒng)計(jì)與信息論壇, 2013, 28(7): 32-36.

[7]Challet D, et al. Modeling Market Mechanism with Minority Game[J]. Physca A: Statistical Mechanics and its Applications, 2000, 276(2): 284-315.

[8]Andersen J V, Didier S. The $-game[J]. The European Physical Journal B, 2003, 31(1): 141-145.

[9]劉興華, 楊建梅. 多樣性和歸納推理與證券市場(chǎng)動(dòng)力機(jī)制[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2007, 27(5): 35-41.

[10]Kantelhardt J W, et al. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series[J]. Physica A, 2002, 316(1):87-114.

Analysis of Fractal Features of Financial Time Series Based on Fractal Market Hypothesis

MAFu-ling

(Department of Public Courses, Zhongshan Torch Polytechnic, Zhongshan Guangdong 528436, China)

Abstract:Fractal characteristics exist in the sequence of securities’ yields, but people rarely know the reasons for the formation. This paper constructs the game model based on the fractal market hypothesis, and use it explains the cause of formation of fractal features. The results show that the fractal market hypothesis can explain the reasons of the fractal characteristics in the sequence of securities’ yields.

Key words:fractal time series; fractal market hypothesis; cause analysis

[收稿日期]2015-09-14；[修改日期] 2016-03-25

[作者簡(jiǎn)介]馬芙玲(1963-)，女，副教授，從事數(shù)理金融研究. Email: flima@sina.com

[中圖分類(lèi)號(hào)]F830.91

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]B

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0026-04