尹禮壽

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系, 太原030008)

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具有非線性感染力的一類SIR傳染病模型的閾值分析

尹禮壽

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系, 太原030008)

[摘要]文章針對一類SIR傳染病模型進(jìn)行了改進(jìn)，考慮了非線性感染力對閾值的影響.主要分四種情形對非線性感染力下的傳染病閾值進(jìn)行了計算與分析.對結(jié)果分析可知，傳染病的傳播閾值與非線性感染力有著密切關(guān)系，同時，免疫率μ對傳染病閾值λc也起著非常關(guān)鍵的決定性作用.

[關(guān)鍵詞]非線性感染力； 傳播閾值； 穩(wěn)定性

1引言

隨著對傳染病動力學(xué)行為研究的發(fā)展，發(fā)生在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的動力學(xué)傳播行為也成為一個熱點(diǎn)問題.目前廣泛研究的模型有SIS，SIR，SEIR等，已經(jīng)取得了許多實用價值很高的研究成果.在對傳染病閾值的分析計算中，大多數(shù)傳染病模型都假設(shè)節(jié)點(diǎn)的感染力等于節(jié)點(diǎn)的度，節(jié)點(diǎn)的度越大，感染其它節(jié)點(diǎn)的概率就越大，但在文獻(xiàn)[1-5]中指出，有些疾病的傳播機(jī)制是與這種假設(shè)是不符合的(比如性疾病)，一個染病的個體節(jié)點(diǎn)可能擁有較多的鄰居節(jié)點(diǎn)，但在單位時間內(nèi)其不可能與其所有的鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行接觸.因此，文獻(xiàn)[1-5]中提出了非線性感染力.

2模型介紹

對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，平均度〈k〉不再是網(wǎng)絡(luò)的特征表示，為了刻畫網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對傳播的影響，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，將節(jié)點(diǎn)按度分為不同的組Sk(t),Ik(t),Rk(t)，各組中節(jié)點(diǎn)具有相同的度，Sk(t),Ik(t),Rk(t)分別代表在時刻t度為k的易感節(jié)點(diǎn)、感染節(jié)點(diǎn)、免疫節(jié)點(diǎn)的密度.本文主要在文獻(xiàn)[1]得到的結(jié)論啟示下，考慮了免疫率μ對模型的影響，進(jìn)行改進(jìn)后得到的模型如下

(1)

模型中，ω>0代表免疫失效率，感染率為λ，以及個體的免疫率μ.θ(t)代表的是網(wǎng)絡(luò)中任意一個連接指向一個感染者個體的概率.對于無尺度網(wǎng)絡(luò)，其具體表達(dá)式為

(2)

(2)式中p(k)代表網(wǎng)絡(luò)中任意一個節(jié)點(diǎn)度為k的概率，φ(k)代表度為k的染病節(jié)點(diǎn)的感染力，文獻(xiàn)[2-3] 中都假設(shè)φ(k)=k，也就是一個染病節(jié)點(diǎn)能感染它所有的易感鄰居節(jié)點(diǎn).顯然，這對有些傳染病的傳播機(jī)制是不相符的，因此，文獻(xiàn)[4]采用φ(k)=A，φ(k)=kα(0<α<1)，文獻(xiàn) [5] 中提出了更一般的非線性感染力

φ(k)=akc/(1+bkc)，

其中a>0,b≥0，本文基于文獻(xiàn)[7]中提出非線性感染力，分析討論模型(1)在不同情形下的傳染病閾值.

3穩(wěn)定狀態(tài)及閾值計算

假設(shè)模型(1)中方程式等于零,得模型(1)的線性近似系統(tǒng)為

兩式相加求解得

(3)

(4)

為得到關(guān)于θ的自適應(yīng)方程，把(4)式代入(2)式中，求解得

(5)

顯然，θ=0是(5)式的一個零解，為得到θ(0≤θ≤1)的非零解，有

(6)

從(6)式求解得閾值

(7)

4a,b,c不同取值情形下的閾值計算分析

本節(jié)中，假設(shè)染病節(jié)點(diǎn)具有非線性感染力

其中0≤c≤1，a>0，b≥0.下面對φ(k)式中a,b,c的不同取值情形對傳染病閾值造成的影響進(jìn)行討論：

(i) 當(dāng)c=1,b=0時，φ(k)=ak.在此情形下

(iii) 當(dāng)0

(iv) 當(dāng)a,b,c≠0時，

在此種情形下

5結(jié)論分析

[參考文獻(xiàn)]

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Threshold Analysis of an SIR Epidemic Model with Nonlinear Infectious

YINGLi-Shou

(Taiyuan Institute of Technology, Department of Physiology,Taiyuan 030008, China)

Abstract:Taking into account the effect of nonlinear infectivity on threshold value，this paper has improved a kind of SIR epidemic model. And the threshold for epidemic under the nonlinear infectivity is analyzed respectively according to four cases. From the result, we know that the thre-shold for epidemic is intimately linked with nonlinear infectivity. At the same time, the immunization rate μ has important effects on the threshold for epidemicλc.

Key words:nonlinear infectivity; threshold value; stability

[收稿日期]2015-09-15；[修改日期] 2016-02-16

[基金項目]山西省自然科學(xué)基金項目(2012011002-2)；2015年山西省高等學(xué)校教學(xué)改革項目(118)；山西省教育廳科技研發(fā)基金項目(20091041)；太原工業(yè)學(xué)院理科重點(diǎn)基金項目(2009LZ02)

[作者簡介]尹禮壽(1982—)，男，講師，碩士，從事傳染病的數(shù)學(xué)建模與動力學(xué)分析理論研究. Email: 1071864370@qq.com

[中圖分類號]O19

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]B

[文章編號]1672-1454(2016)02-0022-04