趙佳婧，　吳嘎日迪

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 呼和浩特010022)

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新正線性算子在Orlicz空間內(nèi)逼近的強(qiáng)逆不等式

趙佳婧，吳嘎日迪

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 呼和浩特010022)

[摘要]Agrawal和Thamer定義了一類新正線性算子，本文利用光滑模、Hardy-Littlewood極大函數(shù)、N函數(shù)的凸性及Jensen不等式,討論了該算子在Orlicz空間內(nèi)逼近的性質(zhì)，給出并證明了該算子在Orlicz空間內(nèi)逼近的強(qiáng)型逆定理.

[關(guān)鍵詞]算子； Orlicz空間； 逼近； 強(qiáng)逆不等式

1引言和主要結(jié)果

關(guān)于算子逼近的問題,在連續(xù)空間和Lp空間中已有大量研究成果,Agrawal等[1]定義了一類新的正線性算子

其中

約定pn,k(x)=0,k<0.權(quán)函數(shù)φ2(x)=x(1+x).李景斌[2]等研究了該算子在Lp空間內(nèi)的逼近性質(zhì),文獻(xiàn)[3]討論了該算子在Orlicz空間內(nèi)逼近的正逆定理，本文將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究該算子在Orlicz空間內(nèi)逼近的強(qiáng)型逆定理.

的可測函數(shù)的全體{u(x)},由文獻(xiàn)[4]知,上述Orlicz范數(shù)還可以由

文中C表示與n和x都無關(guān)的常數(shù),不同位置取值不一定相同.

本文的主要結(jié)果如下：

文獻(xiàn)[5]定義了K-泛函和二階光滑模

和一階連續(xù)模

則有

其中

P(D)g(x)=(φ2(x)g′(x))′.

2若干引理

引理1[6]對任意n∈N,k≥0,x∈[0,∞),有

證由Taylor展式

以及矩量估計(jì)式[1]有

Mn(f;x)-f(x)

由文獻(xiàn)[7]的引理1.1知

則有

‖A1‖M≤2n-1‖f′‖M,‖A2‖M≤24n-2‖φ2f″‖M,

由此可以完成引理2的證明.

‖(Mnf)′‖M≤C‖f′‖M.

(1)

‖(Mnf)″‖M≤Cn‖f′‖M.

(2)

‖(Mnf)?‖M≤Cn2‖f′‖M.

(3)

證這里只證(3)式，類似可得(1)，(2)式.

記an(k)=λn,k(f), Δan(k)=an(k+1)-an(k), Δran(k)=Δ(Δr-1an(k)), r∈N.由文獻(xiàn)[7]知

并且當(dāng)k≥0時(shí),有

經(jīng)過計(jì)算可得

Δ3an(k)=an(k+3)-3an(k+2)+3an(k+1)-an(k)

=Δan(k+2)-2Δan(k+1)+Δan(k)

則有

=∶‖I1‖M+2‖I2‖M+‖I3‖M.

則有‖I1‖M≤Cn2‖f′‖M.同理可得‖I2‖M≤Cn2‖f′‖M,‖I3‖M≤Cn2‖f′‖M,(3)式得證.

證由文獻(xiàn)[7]知

利用H?lder不等式知

而

因此

可用類似于文獻(xiàn)[7]中引理1.3的討論方法得出

所以有

‖φ2g″‖M≤C(p)‖P(D)g‖M,

‖g′‖M≤C(p)‖P(D)g‖M.

證仿照文獻(xiàn)[8]中引理5的證明過程,即可完成本引理的證明.

3定理的證明

(4)

(5)

(6)

(7)

利用引理2和引理5,結(jié)合(4)-(7)式得

當(dāng)l≥Ln時(shí),由文獻(xiàn)[6],以及文獻(xiàn)[3]的引理3和引理5知

‖Mnf‖M≤C‖f‖M,‖φ2(Mnf)″‖M≤Cn‖f‖M,

則有

從而有

因此

定理2的證明由K-泛函和光滑模的等價(jià)性,結(jié)合引理5可得

[參考文獻(xiàn)]

[1]Agrawal P N,Thamer K J.Approximation of unbounded functions by a new sequence of linear position operators[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1998,225(2):660-672.

[2]李景斌.一類新線性正算子的Steckin-Marchaund型不等式[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào),2008,44(6):107-111.

[3]趙佳婧,吳嘎日迪.一類新線性正算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2016, 45(2):1-4.

[4]吳從炘,王廷輔.奧爾里奇空間及其應(yīng)用[M].哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社,1983.

[5]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.

[6]Heilmann M.Direct and converse results for operators of Baskakov-Durrmeyer type[J].Approx Theory& Its Appl,1989,5(1):105-127.

[7]劉國軍，等.一類線性正算子Lp空間逼近的強(qiáng)逆不等式[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào),2014,37(6):814-819.

[8]丁春梅.Baskakov-Durrmeyer型算子的強(qiáng)逆不等式[J].信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),1999,12(1):8-13.

[9]Ramazanov A R K.On approximation and rational functions in Orlicz spaces[J].Analysis Mathematica, 1984(10):117-132.

[10]Wu Garidi.On Approximation by Polynomials in Orlicz Spaces[J].Approximation Theory and its Applications,1991,7(3):97-110.

Approximation of New Positive Linear Operators Strong Converse Inequality in Orlicz Space

ZHAOJia-jing,WUGaridi

(College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022, China)

Abstract:Agrawal and Thamer gives a definition to a new class of positive linear operators. This dissertation discusses about the nature of its approach within the Orlicz Space on the basis of analyzing the following four concepts modulus of smoothness, Hardy-Littlewood great function,N-function and Jensen inequality,showing us proof of the approximation strong type inverse theorem.

Key words:operator;Orlicz space;approximation; strong converse inequality

[收稿日期]2015-11-24；[修改日期] 2016-03-25

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11161033)；內(nèi)蒙古師范大學(xué)人才工程基金(RCPY-2-2012-K-036)

[作者簡介]趙佳婧(1990-)，女，碩士研究生，從事函數(shù)逼近論方面的研究. Email:961604159@qq.com

[中圖分類號]O174.41

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2016)02-0017-05