張　易

(同濟大學數學系，上海200092)

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具有非負Ricci曲率流形的一些拓撲性質

張易

(同濟大學數學系，上海200092)

[摘要]自從Milnor的基礎性論文[5]發(fā)表以來，研究非負Ricci曲率的完備非緊流形的拓撲性質就成為一個熱門的研究領域，其中代表性的問題為Milnor猜想.Anderson應用體積估計和萬有覆蓋空間的方法，對此類流形的拓撲性質進行了一定的研究[1-2].本文擴展Anderson的方法，進一步的給出更加一般條件下此類流形的拓撲性質，并對高階同倫群的研究給出了一些方法.

[關鍵詞]非負Ricci曲率； 拓撲性質； 體積估計

在[3]中，Cheeger證明了一個關于滿足KM≥-λ，volM≥v和diamM≤D條件的緊致Rieman流形M的最短非平凡閉測地線的長度的估計l(γ).在[1]中，若[γ]在π1(M)足夠的非平凡，則在條件RicM≥-λ，volM≥v和diamM≤D下，Anderson給出了關于γ的長度的估計.在本文中，我們應用這幾篇文章[1-3]的技巧，來給出有關非負Ricci曲率流形的一些拓撲性質.

首先，陳述記號以及M滿足的條件.

(1)

(2)

則有

(3)

dist(g(p),p)≤r·l(γ)

對任何g∈U(r)成立.現在選取最小的r=r0使得|U(r0)|≥N，由三角不等式得

(4)

對(4)式兩邊同時取體積，計算可得

(5)

(6)

(7)

ord(g)=min{s:gs=e,s∈N+}.

(8)

定理2設M為一個完備非緊RicM≥0的流形，且存在一個α>0和一個ε>0，使得對任何的R，都有

vol(BR(p))≥αRn-1+ε，

則對任意的g∈π1(M,p)，有ord(g)<∞.

則dist(gp,p)≤r·maxl(γi)對任何g∈U(r)成立.因此類似上文的論證，可得

(9)

倘若|Γ|≥N.

注2應用注1和定理1的論證，可得下述定理3和推論1，[2]和[4]采用了不同的方法得到此結果.

類似的，應用注1和定理2的論證，可得

定理4設M為一個完備非緊RicM≥0的流形，且存在一個α>0和一個ε>0，使得對任何的R，都有vol(BR(p))≥αRn-1+ε， 則對任何有限生成的?！堞?(M,p)，有|Γ|<∞.

注3證明的核心思想是，當對流形放縮的時候，M的拓撲性質是不變的，但M的一些幾何性質在變化.因此當一些拓撲條件可以導出一些幾何量的控制時，就可以通過這些控制導出一些矛盾，由此得到一些拓撲信息.例如，在一些拓撲條件下，對某些非平凡的k維胞腔Sk，有估計

vol(Sk)≥C·vol(B1(p)),

(10)

則用放縮后，可得

vol(Sk)≥C·Rkvol(BR(p)).

(11)

倘若M的塌縮速度不是特別的快，使得當R→∞時，(11)式的右側也能趨于∞，則我們可以得到一個矛盾，由此給出流形的拓撲信息.

最后，給出定理3的一些進一步的結果.記

假設|U(r)|≥c0rk.采用這些記號，有

(12)

記l=maxl(γi)，則有

c0rk·vol(B1(p))≤ωn(r·l+1)n.

(13)

對于放縮后的流形Mi，由上面得到的不等式，得到

(14)

(15)

令Ri→∞，則(15)式的右邊趨于ωn.然而若

就得到了一個矛盾.因此得到

定理5設M為一個完備非緊RicM≥0的流形，且存在0<α<1，ε>0和v0>0，使得

vol(BR(p))≥v0Rn-αk+ε，

則不存在有限生成的Γ≤π1(M,p)，滿足其增長階大于k.

固定k，對于任何有限生成的Γ≤π1(M,p)，記

其中c(Γ)可以是∞.有上述討論，給定任何ε>0，對于某些充分大的R，有

(c(Γ)-ε)Rαk-n·vol(BR(p))≤ωn(Rα-1·l+1)n.

(16)

假設

定理6設M為一個完備非緊RicM≥0的流形，且對于某個0<α<1，有

推論2設M為一個完備非緊RicM≥0的流形，且對于某個s>0，有

注4若我們知道，對任何有限生成的Γ≤π1(M,p)，存在一個一致的R，使得對任何r≥R，有|U(r)|≤2c0rk，那么對于這樣的假設情形，易知π1(M,p)是有限生成的，且其增長階≤k.

[參考文獻]

[1]Anderson M T. Short geodesics and gravitational instantons[J]. J. Diff. Geom.,1990(31): 265-275.

[2]Anderson M T. On the topology of complete manifolds of non-negative Ricci curvature[J]. Topology, 1990，29(1): 51-55.

[3]Cheeger J. Finiteness theorems for Riemannian manifolds[J]. Amer. J. Math., 1970(92): 61-74.

[4]Li P. Large time behavior of the heat equation on complete manifolds with non-negative Ricci curvature[J]. Ann. Math. Second Series, 1986，124(1): 1-21.

[5]Milnor J. A note on curvature and fundamental group[J]. J. Diff. Geom., 1968(2): 1-7.

Some Topological Information of Manifolds with Non-negative Ricci Curvature

ZHANGYi

(Institute of Mathematics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:From the fundamental paper of Milnor[5], the research of complete, non-compact and non-negative Ricci curvature is very hot. The representative problem of this field is Milnor’s conjecture. By using the methods of volume estimate and universal covering space, Anderson gives some results of topology of these manifolds. In this paper[1-2], we generalize the methods of Anderson and give some topological results of these manifolds under some generalized conditions and some methods for researching the higher order homotopy groups.

Key words:non-negative Ricci; topological properties; volume estimates

作者簡介：開曉山，合肥工業(yè)大學數學學院副教授，博士，碩士生導師，長期從事編碼理論研究工作，主持國家自然科學基金面上項目、安徽省自然科學基金項目、東南大學移動通信國家重點實驗室開放研究基金項目、中央高校基本研究基金項目等課題研究. 在IEEE Transactions on Information Theory、Designs Codes & Crytography、Finite Fields and Their Applications、Discrete Mathematics等國際期刊上發(fā)表SCI論文20余篇. 2014年，在國際期刊IEEE Transactions on Information Theory上發(fā)表的論文：Constacyclic codes and some new MDS codes入選ESI高被引用論文. 張易(1989-),男，博士研究生，從事黎曼幾何與度量幾何的研究. Email:08zhangyi@#edu.cn

[收稿日期]2016-02-01；[修改日期] 2016-03-25

[基金項目]國家自然科學基金(11471247)

[中圖分類號]O186.12

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2016)02-0008-04