李兵強(qiáng)　陳曉雷　林　輝　呂帥帥　馬冬麒

(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院　西安　710129)

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機(jī)電伺服系統(tǒng)齒隙補(bǔ)償及終端滑?？刂?/p>

李兵強(qiáng)陳曉雷林輝呂帥帥馬冬麒

(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院西安710129)

摘要針對(duì)機(jī)電伺服系統(tǒng)存在的齒隙非線性及參數(shù)時(shí)變問(wèn)題，提出無(wú)抖振全階終端滑?？刂蒲a(bǔ)償策略。設(shè)計(jì)連續(xù)可微函數(shù)逼近齒隙非線性環(huán)節(jié)的死區(qū)模型，將擬合誤差、未建模動(dòng)態(tài)及外部干擾疊加視為類(lèi)似干擾項(xiàng)，建立擬合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并劃分為3個(gè)子系統(tǒng)，采用反演控制思想設(shè)計(jì)終端滑?？刂破?，使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn)較小鄰域，實(shí)現(xiàn)對(duì)齒隙的精確補(bǔ)償。應(yīng)用Lyapunov方法分析有限時(shí)間收斂條件及控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制策略的有效性。

關(guān)鍵詞：機(jī)電伺服系統(tǒng)永磁同步電機(jī)齒隙非線性滑?？刂品囱菘刂?/p>

0引言

齒隙非線性由機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)部件存在的間隙所引發(fā)，是動(dòng)力傳遞過(guò)程不可避免的環(huán)節(jié)，也是影響機(jī)電伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的主要因素。齒隙的存在會(huì)降低系統(tǒng)穩(wěn)定性、引起振動(dòng)與噪聲，由于齒隙具有動(dòng)態(tài)及不可微特性，且難于精確測(cè)量，控制補(bǔ)償極為困難。從20世紀(jì)40年代至今，對(duì)齒隙非線性的研究伴隨著控制理論的發(fā)展而不斷深入[1，2]。近年來(lái)，隨著高性能機(jī)電伺服系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用及非線性控制理論的日趨成熟，含齒隙系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)成為控制領(lǐng)域歷久彌新的研究課題，已取得了豐碩的研究成果[1-10]。

在控制輸入端建立齒隙逆模型或近似可微逆模型，用以抵消齒隙非線性的影響，是應(yīng)用最為廣泛的補(bǔ)償策略，與此相結(jié)合的控制算法包括自適應(yīng)反演控制[3，4]、模糊控制[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、魯棒控制[7]、模型預(yù)測(cè)控制[8]、滑?？刂芠9]以及迭代學(xué)習(xí)控制[10]等。然而對(duì)于機(jī)電伺服系統(tǒng)而言，齒隙非線性環(huán)節(jié)難以簡(jiǎn)單折算到控制輸入端，逆模型補(bǔ)償策略無(wú)法適用。采用齒隙的死區(qū)模型描述力矩傳遞關(guān)系[2]更符合實(shí)際，由此含齒隙的非線性系統(tǒng)可視為非光滑三明治系統(tǒng)[11]。由于該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)其控制難度較大，研究成果并不多見(jiàn)。文獻(xiàn)[12]采用最優(yōu)控制方法，針對(duì)系統(tǒng)接觸階段及齒隙階段分別設(shè)計(jì)不同的控制策略，在補(bǔ)償齒隙作用的同時(shí)可減小齒隙造成的機(jī)械沖擊，但控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在齒隙較小時(shí)難以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間內(nèi)的最優(yōu)調(diào)節(jié)，工程實(shí)現(xiàn)難度較大。文獻(xiàn)[13]采用可微函數(shù)擬合死區(qū)模型，并設(shè)計(jì)反演控制器，不足之處在于要求系統(tǒng)模型精確已知。文獻(xiàn)[14]采用模糊函數(shù)逼近反推過(guò)程中產(chǎn)生的未知非線性函數(shù)以簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)，不足之處在于需采用擬合函數(shù)及其微分項(xiàng)作為狀態(tài)變量，系統(tǒng)狀態(tài)不具備清晰的物理涵義。

齒隙非線性是高性能機(jī)電伺服系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)必須考慮的問(wèn)題，要達(dá)到理想的齒隙補(bǔ)償效果不僅依賴于算法本身，還依賴于對(duì)從動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的精密測(cè)量以及對(duì)伺服電機(jī)的精確控制?，F(xiàn)有文獻(xiàn)均未考慮驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)自身的非線性特性以及負(fù)載變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)具有轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小、調(diào)速范圍寬、功率密度高等優(yōu)勢(shì)，具有良好的發(fā)展前景[15]，適用于作為伺服系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，然而PMSM本身具有強(qiáng)耦合特點(diǎn)[16]，考慮其非線性特性的齒隙補(bǔ)償控制設(shè)計(jì)更具有工程意義。

反推控制(Backstepping Control)的優(yōu)勢(shì)在于具有處理非匹配不確定的能力，保證系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，是處理高階非線性系統(tǒng)強(qiáng)有力的工具。本文設(shè)計(jì)了連續(xù)可微函數(shù)逼近機(jī)電伺服系統(tǒng)中齒隙非線性的死區(qū)模型[17]，將擬合誤差表達(dá)為類(lèi)似干擾項(xiàng)[3]，建立了含齒隙環(huán)節(jié)的伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。應(yīng)用反推控制的分塊設(shè)計(jì)方法，按物理結(jié)構(gòu)將擬合模型劃分為3個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)，利用無(wú)抖振全階滑模方法設(shè)計(jì)子系統(tǒng)控制器[18]，發(fā)揮滑?？刂铺幚砥ヅ洳淮_定的優(yōu)勢(shì)，抑制未知擾動(dòng)并得到平滑的虛擬控制量。利用反推方法完成交、直軸電流控制器設(shè)計(jì)。與常規(guī)逐層反推控制算法相比，設(shè)計(jì)步驟大為簡(jiǎn)化，同時(shí)控制設(shè)計(jì)具有終端滑模特性，可實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，提升齒隙補(bǔ)償效果。

1含齒隙的機(jī)電伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

考慮齒隙作用，將PMSM驅(qū)動(dòng)的機(jī)電伺服系統(tǒng)分解為驅(qū)動(dòng)部分和從動(dòng)部分，驅(qū)動(dòng)部分包括伺服電機(jī)、驅(qū)動(dòng)器、控制器和傳感器。假設(shè)定子為三相對(duì)稱(chēng)繞組，轉(zhuǎn)子為無(wú)阻尼繞組，氣隙磁場(chǎng)呈正弦分布，磁路不飽和，不計(jì)磁滯和渦流損耗影響，表貼式PMSM的數(shù)學(xué)模型為[19]

(1)

式中，θ為轉(zhuǎn)子機(jī)械角位移；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；p為磁極對(duì)數(shù)；φf(shuō)為耦合磁鏈；J為折算到電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；id、iq分別為定子電流矢量的d、q軸分量；bm為粘性摩擦系數(shù)；Tl為折算到電機(jī)軸上的負(fù)載力矩；R為繞組電阻；L為繞組電感；ud、uq分別為定子電壓矢量的d、q軸分量。

從動(dòng)部分的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式中，Jl為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θl為負(fù)載輸出轉(zhuǎn)角；bl為粘性阻尼系數(shù)；η為減速比；Tf為負(fù)載力矩。

齒隙作用于連接驅(qū)動(dòng)部分和從動(dòng)部分的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，Tl與傳動(dòng)機(jī)構(gòu)相對(duì)位移的關(guān)系可由死區(qū)模型表示為[13]

(3)

式中，Δθ=θ-ηθl； α為1/2齒隙寬度；k為主從動(dòng)齒輪嚙合處的剛度系數(shù)。采用如下連續(xù)可微函數(shù)擬合死區(qū)模型[17]

(4)

式中，τ為擬合常數(shù)。定義擬合誤差為

TΔ=Tl-Ts=Tl-kΔθ-4kαε(Δθ)

(5)

Tl=k(θ-ηθl)+4kαε(θ-ηθl)+TΔ

(6)

(7)

將式(6)代入式(1)，機(jī)械方程可寫(xiě)為

(8)

電流環(huán)動(dòng)態(tài)特性與電磁轉(zhuǎn)矩相關(guān)，是衡量伺服性能的關(guān)鍵指標(biāo)。隨著電機(jī)運(yùn)行中繞組溫度的變化，電機(jī)的電磁特性將發(fā)生改變(如電阻、電感等參數(shù)會(huì)有較大變動(dòng))，因此將模型誤差及未建模動(dòng)態(tài)視為未知干擾。定義狀態(tài)變量x=[θl, ωl, θ, ω, iq, id]，聯(lián)立式(1)、式(2)、式(7)和式(8)可得整體系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(9)

式中，y為系統(tǒng)輸出；uq、ud為控制量；di為未知擾動(dòng)，i=1,…,4。

2控制器設(shè)計(jì)

2.1從動(dòng)子系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

可知從動(dòng)子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定且滑模面可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)[18]，隨后系統(tǒng)可在有限時(shí)間內(nèi)，任意初始條件z1(0)≠0下沿滑模面運(yùn)動(dòng)到z1=0。

2.2PMSM機(jī)械子系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)

(16)

(17)

(18)

(19)

同理可知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2.3PMSM電氣子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

(20)

(21)

式中，c3、 c4為正實(shí)數(shù)；0<α3,α4<1。

設(shè)計(jì)交軸電壓uq為

(22)

設(shè)計(jì)直軸電壓ud為

(23)

2.4穩(wěn)定性分析

引理1：若a1,a2,…,an皆為正實(shí)數(shù)，δ∈(0,2)，則下列不等式成立[21]

(24)

引理2：若連續(xù)可微Lyapunov函數(shù)V(t)滿足如下不等式[22]

(25)

式中，α, β>0，0<γ<1，則V(t)可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn)，收斂時(shí)間為

(26)

定理1：對(duì)式(9)所示含齒隙的機(jī)電伺服系統(tǒng)，虛擬控制量設(shè)計(jì)如式(11)和式(17)所示，采用式(22)和式(23)所示反饋控制律，若滿足假設(shè)1和假設(shè)2，取適當(dāng)?shù)幕Ｃ鎱?shù)及控制器參數(shù)ηi、 κi，則滑模面有限時(shí)間內(nèi)可達(dá)，跟蹤誤差隨后在有限時(shí)間內(nèi)收斂為零。

證明：選取整體系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(27)

對(duì)式(27)求微分得

(28)

(29)

(30)

由引理2可知，系統(tǒng)可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面

(31)

結(jié)合終端滑模面性質(zhì)，可知跟蹤誤差隨后在有限時(shí)間收斂為零。終端滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性，但齒隙補(bǔ)償效果及誤差收斂速度仍依賴模型先驗(yàn)知識(shí)，通過(guò)對(duì)參數(shù)τ的合理設(shè)置提高齒隙擬合準(zhǔn)確度可縮小TΔ，從而減小V(t0)，縮短滑模面到達(dá)時(shí)間。

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為驗(yàn)證控制算法的有效性，在自行研制的機(jī)電伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、控制器、傳感器、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、減速齒輪及電源等構(gòu)成。為檢測(cè)系統(tǒng)在時(shí)變載荷下的控制性能，設(shè)計(jì)負(fù)載模擬器作為加載裝置，實(shí)現(xiàn)對(duì)負(fù)載力矩的閉環(huán)控制。控制器采用TMS320F2812，逆變單元采用IGBT組成全橋結(jié)構(gòu)，通過(guò)光電編碼器進(jìn)行位置測(cè)量。驅(qū)動(dòng)電機(jī)采用表貼式PMSM，參數(shù)為：p=5，φf(shuō)=0.143 Wb，J=2.84×10-4kg·m2，bm=1.0×10-4N·m/rad/s，R=1.73 Ω，L=7 mH，額定轉(zhuǎn)矩Te=4.7 N·m，直流母線電壓Vdc=270 V。從動(dòng)機(jī)構(gòu)參數(shù)為：Jl=0.4 kg·m2，bl=0.12 N·m/(rad/s)，η=30。齒隙參數(shù)為：k=200 N·m/rad，τ=22，α=0.023 rad。

圖1　實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.1　Experimental platform

3.2與線性控制對(duì)比結(jié)果

與不考慮齒隙作用的線性控制進(jìn)行對(duì)比，PMSM速度環(huán)及電流環(huán)采用PI控制器，位置環(huán)采用PID控制，反饋信號(hào)為θl。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

由圖2a、圖2b可知，當(dāng)指令信號(hào)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變時(shí)，齒隙導(dǎo)致從動(dòng)機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)滯后效應(yīng)，跟蹤誤差逐漸增大，在渡過(guò)齒隙階段后由于沖擊作用導(dǎo)致跟蹤誤差呈現(xiàn)明顯的振蕩，隨后在控制作用下誤差逐漸變小。由圖2c、圖2d可看出，齒隙非線性對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速和電流產(chǎn)生持續(xù)的干擾作用。

圖2　線性控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2　Results of classical linear control method

驗(yàn)證本文方法的齒隙補(bǔ)償效果，滑模面參數(shù)設(shè)置為：c12=c22=7，c11=c21=10，c3=c4=5，α12=α22=α3=α4=9/16，α11=α21=9/23； 控制器參數(shù)設(shè)置為：Ti=0.1，kdi=4，kT1+η1=kT2+η2=6，kT3+η3=kT4+η4=3。 κ1=κ2=200，κ3=κ4=100。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3　本文方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3　Results of the proposed method

由圖3a可知，考慮齒隙非線性因素進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，有效抑制了齒隙影響，使跟蹤誤差顯著減小，控制質(zhì)量得到顯著提升。由圖3b、圖3c可知，主動(dòng)對(duì)齒隙進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，在齒隙作用階段存在控制量激增的過(guò)程，使系統(tǒng)快速渡過(guò)齒隙階段，消除齒隙影響。

3.3齒隙擬合參數(shù)τ對(duì)系統(tǒng)影響

由式(3)和式(4)可知，當(dāng)齒隙特性完全確定時(shí)，τ是惟一決定擬合準(zhǔn)確度的參數(shù)，文獻(xiàn)[14]得到特定條件下的最佳τ取值方法。文獻(xiàn)[17]采用滑模觀測(cè)器辨識(shí)齒隙參數(shù)，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，與理想齒隙模型相比，真實(shí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的齒隙特征更為復(fù)雜?？紤]齒隙模型參數(shù)時(shí)變將導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜性，τ取不同值時(shí)的跟蹤誤差如圖4所示。

圖4　不同τ值控制結(jié)果Fig.4　Results with different τ

對(duì)比圖3a可看出跟蹤誤差有一定程度的增加，這是由于可微函數(shù)擬合準(zhǔn)確度有所降低，導(dǎo)致非匹配不確定項(xiàng)的增大，但滑?？刂凭哂泻軓?qiáng)的干擾抑制能力，合理調(diào)節(jié)τ仍可實(shí)現(xiàn)較好的控制效果，這也體現(xiàn)出本文算法與常規(guī)反演算法相比具有抗擾動(dòng)能力及魯棒性的優(yōu)勢(shì)。

4結(jié)論

針對(duì)PMSM驅(qū)動(dòng)的機(jī)電伺服系統(tǒng)中存在的齒隙非線性，基于反演控制思想，設(shè)計(jì)全階無(wú)抖振終端滑模控制器，得到以下結(jié)論：

1)本文算法可有效實(shí)現(xiàn)齒隙補(bǔ)償，在負(fù)載和齒隙特征發(fā)生變化時(shí)具有強(qiáng)魯棒性。

2)利用分塊設(shè)計(jì)思想虛擬控制量，可降低常規(guī)反演或動(dòng)態(tài)面控制需逐層遞推的復(fù)雜程度，適用于高階非線性系統(tǒng)，與高階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)相比，避免了精確線性化過(guò)程依賴模型準(zhǔn)確度的困難。

3)考慮伺服電機(jī)本身的非線性因素，設(shè)計(jì)無(wú)抖振滑?？刂频玫竭B續(xù)的電流控制律，并分析了影響齒隙補(bǔ)償控制效果的若干因素，研究方法亦可推廣到其他驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的伺服系統(tǒng)及多關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)齒隙補(bǔ)償設(shè)計(jì)。

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作者簡(jiǎn)介

李兵強(qiáng)男，1982年生，副教授，博士，研究方向?yàn)殡姍C(jī)伺服控制理論、迭代學(xué)習(xí)控制。

E-mail：libingqiang@nwpu.edu.cn

陳曉雷男，1980年生，博士研究生，研究方向?yàn)樗欧到y(tǒng)及非線性控制。

E-mail：chenilc@126.com(通信作者)

Terminal Sliding Mode Control for Mechatronic Servo Systems with Backlash Nonlinearity Compensation

Li BingqiangChen XiaoleiLin HuiLü ShuaishuaiMa Dongqi

(School of AutomationNorthwestern Polytechnical UniversityXi’an710129China)

AbstractIn order to overcome the problem of backlash nonlinearity and parameter time-varying in mechatronic servo systems，a chattering free full order sliding mode control strategy is proposed.The dead zone model of the backlash nonlinearity can be approximated by the proposed differentiable function.The superposition of the approximation error，the unmodeled dynamics，and the external disturbance can be regarded as the disturbance-like term.The continuous state-space model of the servo systems with the backlash nonlinearity is established and divided into three subsystems.The terminal sliding mode control law is constructed based on the backstepping design principle，which can make the tracking error converge to an arbitrarily small residual within finite time and achieve the precise compensation of the backlash.The finite-time convergence condition of the closed-loop system is analyzed using the Lyapunov theory.The experimental test verifies the effectiveness of the proposed control approach.

Keywords：Mechatronic servo systems，permanent magnet synchronous motor，backlash nonlinearity，sliding mode control，backstepping control

中圖分類(lèi)號(hào)：TP273

國(guó)家自然科學(xué)基金(51407143)、高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金(20136102120049)、陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃(2014JQ7264，2015JM5227)、中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)(3102014JCQ01066)和陜西省微特電機(jī)及驅(qū)動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(2013SSJ1002)資助項(xiàng)目。

收稿日期2015-08-11改稿日期2016-01-12