機電伺服系統(tǒng)齒隙補償及終端滑?？刂?/h1>
2016-06-14 09:56:50李兵強陳曉雷呂帥帥馬冬麒
電工技術(shù)學(xué)報 2016年9期
李兵強 陳曉雷 林 輝 呂帥帥 馬冬麒
(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院 西安 710129)
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機電伺服系統(tǒng)齒隙補償及終端滑?？刂?/p>
李兵強陳曉雷林輝呂帥帥馬冬麒
(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院西安710129)
摘要針對機電伺服系統(tǒng)存在的齒隙非線性及參數(shù)時變問題，提出無抖振全階終端滑模控制補償策略。設(shè)計連續(xù)可微函數(shù)逼近齒隙非線性環(huán)節(jié)的死區(qū)模型，將擬合誤差、未建模動態(tài)及外部干擾疊加視為類似干擾項，建立擬合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并劃分為3個子系統(tǒng)，采用反演控制思想設(shè)計終端滑?？刂破?，使跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零點較小鄰域，實現(xiàn)對齒隙的精確補償。應(yīng)用Lyapunov方法分析有限時間收斂條件及控制參數(shù)對系統(tǒng)的影響。通過實驗驗證了控制策略的有效性。
關(guān)鍵詞：機電伺服系統(tǒng)永磁同步電機齒隙非線性滑?？刂品囱菘刂?/p>
0引言
齒隙非線性由機械傳動機構(gòu)中運動部件存在的間隙所引發(fā)，是動力傳遞過程不可避免的環(huán)節(jié)，也是影響機電伺服系統(tǒng)動態(tài)性能的主要因素。齒隙的存在會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性、引起振動與噪聲，由于齒隙具有動態(tài)及不可微特性，且難于精確測量，控制補償極為困難。從20世紀(jì)40年代至今，對齒隙非線性的研究伴隨著控制理論的發(fā)展而不斷深入[1，2]。近年來，隨著高性能機電伺服系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用及非線性控制理論的日趨成熟，含齒隙系統(tǒng)的控制設(shè)計成為控制領(lǐng)域歷久彌新的研究課題，已取得了豐碩的研究成果[1-10]。
在控制輸入端建立齒隙逆模型或近似可微逆模型，用以抵消齒隙非線性的影響，是應(yīng)用最為廣泛的補償策略，與此相結(jié)合的控制算法包括自適應(yīng)反演控制[3，4]、模糊控制[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、魯棒控制[7]、模型預(yù)測控制[8]、滑?？刂芠9]以及迭代學(xué)習(xí)控制[10]等。然而對于機電伺服系統(tǒng)而言，齒隙非線性環(huán)節(jié)難以簡單折算到控制輸入端，逆模型補償策略無法適用。采用齒隙的死區(qū)模型描述力矩傳遞關(guān)系[2]更符合實際，由此含齒隙的非線性系統(tǒng)可視為非光滑三明治系統(tǒng)[11]。由于該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對其控制難度較大，研究成果并不多見。文獻[12]采用最優(yōu)控制方法，針對系統(tǒng)接觸階段及齒隙階段分別設(shè)計不同的控制策略，在補償齒隙作用的同時可減小齒隙造成的機械沖擊，但控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在齒隙較小時難以實現(xiàn)有限時間內(nèi)的最優(yōu)調(diào)節(jié)，工程實現(xiàn)難度較大。文獻[13]采用可微函數(shù)擬合死區(qū)模型，并設(shè)計反演控制器，不足之處在于要求系統(tǒng)模型精確已知。文獻[14]采用模糊函數(shù)逼近反推過程中產(chǎn)生的未知非線性函數(shù)以簡化控制器設(shè)計，不足之處在于需采用擬合函數(shù)及其微分項作為狀態(tài)變量，系統(tǒng)狀態(tài)不具備清晰的物理涵義。
齒隙非線性是高性能機電伺服系統(tǒng)控制設(shè)計必須考慮的問題，要達到理想的齒隙補償效果不僅依賴于算法本身，還依賴于對從動機構(gòu)運動的精密測量以及對伺服電機的精確控制?，F(xiàn)有文獻均未考慮驅(qū)動機構(gòu)自身的非線性特性以及負載變化對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)具有轉(zhuǎn)矩脈動小、調(diào)速范圍寬、功率密度高等優(yōu)勢，具有良好的發(fā)展前景[15]，適用于作為伺服系統(tǒng)的驅(qū)動機構(gòu)，然而PMSM本身具有強耦合特點[16]，考慮其非線性特性的齒隙補償控制設(shè)計更具有工程意義。
反推控制(Backstepping Control)的優(yōu)勢在于具有處理非匹配不確定的能力，保證系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，是處理高階非線性系統(tǒng)強有力的工具。本文設(shè)計了連續(xù)可微函數(shù)逼近機電伺服系統(tǒng)中齒隙非線性的死區(qū)模型[17]，將擬合誤差表達為類似干擾項[3]，建立了含齒隙環(huán)節(jié)的伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。應(yīng)用反推控制的分塊設(shè)計方法，按物理結(jié)構(gòu)將擬合模型劃分為3個子系統(tǒng)進行控制設(shè)計，利用無抖振全階滑模方法設(shè)計子系統(tǒng)控制器[18]，發(fā)揮滑模控制處理匹配不確定的優(yōu)勢，抑制未知擾動并得到平滑的虛擬控制量。利用反推方法完成交、直軸電流控制器設(shè)計。與常規(guī)逐層反推控制算法相比，設(shè)計步驟大為簡化，同時控制設(shè)計具有終端滑模特性，可實現(xiàn)跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂，提升齒隙補償效果。
1含齒隙的機電伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
考慮齒隙作用，將PMSM驅(qū)動的機電伺服系統(tǒng)分解為驅(qū)動部分和從動部分，驅(qū)動部分包括伺服電機、驅(qū)動器、控制器和傳感器。假設(shè)定子為三相對稱繞組，轉(zhuǎn)子為無阻尼繞組，氣隙磁場呈正弦分布，磁路不飽和，不計磁滯和渦流損耗影響，表貼式PMSM的數(shù)學(xué)模型為[19]
(1)
式中，θ為轉(zhuǎn)子機械角位移；ω為轉(zhuǎn)子機械角速度；p為磁極對數(shù)；φf為耦合磁鏈；J為折算到電機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量；id、iq分別為定子電流矢量的d、q軸分量；bm為粘性摩擦系數(shù)；Tl為折算到電機軸上的負載力矩；R為繞組電阻；L為繞組電感；ud、uq分別為定子電壓矢量的d、q軸分量。
從動部分的動力學(xué)方程為
(2)
式中，Jl為負載轉(zhuǎn)動慣量；θl為負載輸出轉(zhuǎn)角；bl為粘性阻尼系數(shù)；η為減速比；Tf為負載力矩。
齒隙作用于連接驅(qū)動部分和從動部分的傳動機構(gòu)中，Tl與傳動機構(gòu)相對位移的關(guān)系可由死區(qū)模型表示為[13]
(3)
式中，Δθ=θ-ηθl； α為1/2齒隙寬度；k為主從動齒輪嚙合處的剛度系數(shù)。采用如下連續(xù)可微函數(shù)擬合死區(qū)模型[17]
(4)
式中，τ為擬合常數(shù)。定義擬合誤差為
TΔ=Tl-Ts=Tl-kΔθ-4kαε(Δθ)
(5)
Tl=k(θ-ηθl)+4kαε(θ-ηθl)+TΔ
(6)
(7)
將式(6)代入式(1)，機械方程可寫為
(8)
電流環(huán)動態(tài)特性與電磁轉(zhuǎn)矩相關(guān)，是衡量伺服性能的關(guān)鍵指標(biāo)。隨著電機運行中繞組溫度的變化，電機的電磁特性將發(fā)生改變(如電阻、電感等參數(shù)會有較大變動)，因此將模型誤差及未建模動態(tài)視為未知干擾。定義狀態(tài)變量x=[θl, ωl, θ, ω, iq, id]，聯(lián)立式(1)、式(2)、式(7)和式(8)可得整體系統(tǒng)狀態(tài)方程為
(9)
式中，y為系統(tǒng)輸出；uq、ud為控制量；di為未知擾動，i=1,…,4。
2控制器設(shè)計
2.1從動子系統(tǒng)控制設(shè)計
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
可知從動子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定且滑模面可在有限時間內(nèi)到達[18]，隨后系統(tǒng)可在有限時間內(nèi)，任意初始條件z1(0)≠0下沿滑模面運動到z1=0。
2.2PMSM機械子系統(tǒng)控制設(shè)計
(16)
(17)
(18)
(19)
同理可知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。
2.3PMSM電氣子系統(tǒng)設(shè)計
(20)
(21)
式中，c3、 c4為正實數(shù)；0<α3,α4<1。
設(shè)計交軸電壓uq為
(22)
設(shè)計直軸電壓ud為
(23)
2.4穩(wěn)定性分析
引理1：若a1,a2,…,an皆為正實數(shù)，δ∈(0,2)，則下列不等式成立[21]
(24)
引理2：若連續(xù)可微Lyapunov函數(shù)V(t)滿足如下不等式[22]
(25)
式中，α, β>0，0<γ<1，則V(t)可在有限時間內(nèi)收斂到零點，收斂時間為
(26)
定理1：對式(9)所示含齒隙的機電伺服系統(tǒng)，虛擬控制量設(shè)計如式(11)和式(17)所示，采用式(22)和式(23)所示反饋控制律，若滿足假設(shè)1和假設(shè)2，取適當(dāng)?shù)幕Ｃ鎱?shù)及控制器參數(shù)ηi、 κi，則滑模面有限時間內(nèi)可達，跟蹤誤差隨后在有限時間內(nèi)收斂為零。
證明：選取整體系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為
(27)
對式(27)求微分得
(28)
(29)
(30)
由引理2可知，系統(tǒng)可在有限時間內(nèi)到達滑模面
(31)
結(jié)合終端滑模面性質(zhì)，可知跟蹤誤差隨后在有限時間收斂為零。終端滑?？刂凭哂休^強的魯棒性，但齒隙補償效果及誤差收斂速度仍依賴模型先驗知識，通過對參數(shù)τ的合理設(shè)置提高齒隙擬合準(zhǔn)確度可縮小TΔ，從而減小V(t0)，縮短滑模面到達時間。
3實驗驗證
3.1實驗平臺
為驗證控制算法的有效性，在自行研制的機電伺服系統(tǒng)實驗臺上進行實驗，平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示。實驗平臺主要由驅(qū)動電機、控制器、傳感器、傳動機構(gòu)、減速齒輪及電源等構(gòu)成。為檢測系統(tǒng)在時變載荷下的控制性能，設(shè)計負載模擬器作為加載裝置，實現(xiàn)對負載力矩的閉環(huán)控制。控制器采用TMS320F2812，逆變單元采用IGBT組成全橋結(jié)構(gòu)，通過光電編碼器進行位置測量。驅(qū)動電機采用表貼式PMSM，參數(shù)為：p=5，φf=0.143 Wb，J=2.84×10-4kg·m2，bm=1.0×10-4N·m/rad/s，R=1.73 Ω，L=7 mH，額定轉(zhuǎn)矩Te=4.7 N·m，直流母線電壓Vdc=270 V。從動機構(gòu)參數(shù)為：Jl=0.4 kg·m2，bl=0.12 N·m/(rad/s)，η=30。齒隙參數(shù)為：k=200 N·m/rad，τ=22，α=0.023 rad。
圖1 實驗平臺Fig.1 Experimental platform
3.2與線性控制對比結(jié)果
與不考慮齒隙作用的線性控制進行對比，PMSM速度環(huán)及電流環(huán)采用PI控制器，位置環(huán)采用PID控制，反饋信號為θl。 實驗結(jié)果如圖2所示。
由圖2a、圖2b可知，當(dāng)指令信號運動方向發(fā)生改變時，齒隙導(dǎo)致從動機構(gòu)實際運動出現(xiàn)滯后效應(yīng)，跟蹤誤差逐漸增大，在渡過齒隙階段后由于沖擊作用導(dǎo)致跟蹤誤差呈現(xiàn)明顯的振蕩，隨后在控制作用下誤差逐漸變小。由圖2c、圖2d可看出，齒隙非線性對電機轉(zhuǎn)速和電流產(chǎn)生持續(xù)的干擾作用。
圖2 線性控制實驗結(jié)果Fig.2 Results of classical linear control method
驗證本文方法的齒隙補償效果，滑模面參數(shù)設(shè)置為：c12=c22=7，c11=c21=10，c3=c4=5，α12=α22=α3=α4=9/16，α11=α21=9/23； 控制器參數(shù)設(shè)置為：Ti=0.1，kdi=4，kT1+η1=kT2+η2=6，kT3+η3=kT4+η4=3。 κ1=κ2=200，κ3=κ4=100。 實驗結(jié)果如圖3所示。
圖3 本文方法實驗結(jié)果Fig.3 Results of the proposed method
由圖3a可知，考慮齒隙非線性因素進行控制律設(shè)計，有效抑制了齒隙影響，使跟蹤誤差顯著減小，控制質(zhì)量得到顯著提升。由圖3b、圖3c可知，主動對齒隙進行補償時，在齒隙作用階段存在控制量激增的過程，使系統(tǒng)快速渡過齒隙階段，消除齒隙影響。
3.3齒隙擬合參數(shù)τ對系統(tǒng)影響
由式(3)和式(4)可知，當(dāng)齒隙特性完全確定時，τ是惟一決定擬合準(zhǔn)確度的參數(shù)，文獻[14]得到特定條件下的最佳τ取值方法。文獻[17]采用滑模觀測器辨識齒隙參數(shù)，從實驗結(jié)果來看，與理想齒隙模型相比，真實傳動機構(gòu)的齒隙特征更為復(fù)雜?？紤]齒隙模型參數(shù)時變將導(dǎo)致問題復(fù)雜性，τ取不同值時的跟蹤誤差如圖4所示。
圖4 不同τ值控制結(jié)果Fig.4 Results with different τ
對比圖3a可看出跟蹤誤差有一定程度的增加，這是由于可微函數(shù)擬合準(zhǔn)確度有所降低，導(dǎo)致非匹配不確定項的增大，但滑?？刂凭哂泻軓姷母蓴_抑制能力，合理調(diào)節(jié)τ仍可實現(xiàn)較好的控制效果，這也體現(xiàn)出本文算法與常規(guī)反演算法相比具有抗擾動能力及魯棒性的優(yōu)勢。
4結(jié)論
針對PMSM驅(qū)動的機電伺服系統(tǒng)中存在的齒隙非線性，基于反演控制思想，設(shè)計全階無抖振終端滑?？刂破鳎玫揭韵陆Y(jié)論：
1)本文算法可有效實現(xiàn)齒隙補償，在負載和齒隙特征發(fā)生變化時具有強魯棒性。
2)利用分塊設(shè)計思想虛擬控制量，可降低常規(guī)反演或動態(tài)面控制需逐層遞推的復(fù)雜程度，適用于高階非線性系統(tǒng)，與高階滑?？刂破髟O(shè)計相比，避免了精確線性化過程依賴模型準(zhǔn)確度的困難。
3)考慮伺服電機本身的非線性因素，設(shè)計無抖振滑模控制得到連續(xù)的電流控制律，并分析了影響齒隙補償控制效果的若干因素，研究方法亦可推廣到其他驅(qū)動機構(gòu)的伺服系統(tǒng)及多關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)齒隙補償設(shè)計。
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作者簡介
李兵強男，1982年生，副教授，博士，研究方向為電機伺服控制理論、迭代學(xué)習(xí)控制。
E-mail：libingqiang@nwpu.edu.cn
陳曉雷男，1980年生，博士研究生，研究方向為伺服系統(tǒng)及非線性控制。
E-mail：chenilc@126.com(通信作者)
Terminal Sliding Mode Control for Mechatronic Servo Systems with Backlash Nonlinearity Compensation
Li BingqiangChen XiaoleiLin HuiLü ShuaishuaiMa Dongqi
(School of AutomationNorthwestern Polytechnical UniversityXi’an710129China)
AbstractIn order to overcome the problem of backlash nonlinearity and parameter time-varying in mechatronic servo systems，a chattering free full order sliding mode control strategy is proposed.The dead zone model of the backlash nonlinearity can be approximated by the proposed differentiable function.The superposition of the approximation error，the unmodeled dynamics，and the external disturbance can be regarded as the disturbance-like term.The continuous state-space model of the servo systems with the backlash nonlinearity is established and divided into three subsystems.The terminal sliding mode control law is constructed based on the backstepping design principle，which can make the tracking error converge to an arbitrarily small residual within finite time and achieve the precise compensation of the backlash.The finite-time convergence condition of the closed-loop system is analyzed using the Lyapunov theory.The experimental test verifies the effectiveness of the proposed control approach.
Keywords：Mechatronic servo systems，permanent magnet synchronous motor，backlash nonlinearity，sliding mode control，backstepping control
中圖分類號：TP273
國家自然科學(xué)基金(51407143)、高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20136102120049)、陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃(2014JQ7264，2015JM5227)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(3102014JCQ01066)和陜西省微特電機及驅(qū)動技術(shù)重點實驗室開放基金(2013SSJ1002)資助項目。
收稿日期2015-08-11改稿日期2016-01-12
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李兵強 陳曉雷 林 輝 呂帥帥 馬冬麒
(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院 西安 710129)
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機電伺服系統(tǒng)齒隙補償及終端滑?？刂?/p>
李兵強陳曉雷林輝呂帥帥馬冬麒
(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院西安710129)
摘要針對機電伺服系統(tǒng)存在的齒隙非線性及參數(shù)時變問題，提出無抖振全階終端滑模控制補償策略。設(shè)計連續(xù)可微函數(shù)逼近齒隙非線性環(huán)節(jié)的死區(qū)模型，將擬合誤差、未建模動態(tài)及外部干擾疊加視為類似干擾項，建立擬合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并劃分為3個子系統(tǒng)，采用反演控制思想設(shè)計終端滑?？刂破?，使跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零點較小鄰域，實現(xiàn)對齒隙的精確補償。應(yīng)用Lyapunov方法分析有限時間收斂條件及控制參數(shù)對系統(tǒng)的影響。通過實驗驗證了控制策略的有效性。
關(guān)鍵詞：機電伺服系統(tǒng)永磁同步電機齒隙非線性滑?？刂品囱菘刂?/p>
0引言
齒隙非線性由機械傳動機構(gòu)中運動部件存在的間隙所引發(fā)，是動力傳遞過程不可避免的環(huán)節(jié)，也是影響機電伺服系統(tǒng)動態(tài)性能的主要因素。齒隙的存在會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性、引起振動與噪聲，由于齒隙具有動態(tài)及不可微特性，且難于精確測量，控制補償極為困難。從20世紀(jì)40年代至今，對齒隙非線性的研究伴隨著控制理論的發(fā)展而不斷深入[1，2]。近年來，隨著高性能機電伺服系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用及非線性控制理論的日趨成熟，含齒隙系統(tǒng)的控制設(shè)計成為控制領(lǐng)域歷久彌新的研究課題，已取得了豐碩的研究成果[1-10]。
在控制輸入端建立齒隙逆模型或近似可微逆模型，用以抵消齒隙非線性的影響，是應(yīng)用最為廣泛的補償策略，與此相結(jié)合的控制算法包括自適應(yīng)反演控制[3，4]、模糊控制[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、魯棒控制[7]、模型預(yù)測控制[8]、滑?？刂芠9]以及迭代學(xué)習(xí)控制[10]等。然而對于機電伺服系統(tǒng)而言，齒隙非線性環(huán)節(jié)難以簡單折算到控制輸入端，逆模型補償策略無法適用。采用齒隙的死區(qū)模型描述力矩傳遞關(guān)系[2]更符合實際，由此含齒隙的非線性系統(tǒng)可視為非光滑三明治系統(tǒng)[11]。由于該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對其控制難度較大，研究成果并不多見。文獻[12]采用最優(yōu)控制方法，針對系統(tǒng)接觸階段及齒隙階段分別設(shè)計不同的控制策略，在補償齒隙作用的同時可減小齒隙造成的機械沖擊，但控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在齒隙較小時難以實現(xiàn)有限時間內(nèi)的最優(yōu)調(diào)節(jié)，工程實現(xiàn)難度較大。文獻[13]采用可微函數(shù)擬合死區(qū)模型，并設(shè)計反演控制器，不足之處在于要求系統(tǒng)模型精確已知。文獻[14]采用模糊函數(shù)逼近反推過程中產(chǎn)生的未知非線性函數(shù)以簡化控制器設(shè)計，不足之處在于需采用擬合函數(shù)及其微分項作為狀態(tài)變量，系統(tǒng)狀態(tài)不具備清晰的物理涵義。
齒隙非線性是高性能機電伺服系統(tǒng)控制設(shè)計必須考慮的問題，要達到理想的齒隙補償效果不僅依賴于算法本身，還依賴于對從動機構(gòu)運動的精密測量以及對伺服電機的精確控制?，F(xiàn)有文獻均未考慮驅(qū)動機構(gòu)自身的非線性特性以及負載變化對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)具有轉(zhuǎn)矩脈動小、調(diào)速范圍寬、功率密度高等優(yōu)勢，具有良好的發(fā)展前景[15]，適用于作為伺服系統(tǒng)的驅(qū)動機構(gòu)，然而PMSM本身具有強耦合特點[16]，考慮其非線性特性的齒隙補償控制設(shè)計更具有工程意義。
反推控制(Backstepping Control)的優(yōu)勢在于具有處理非匹配不確定的能力，保證系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，是處理高階非線性系統(tǒng)強有力的工具。本文設(shè)計了連續(xù)可微函數(shù)逼近機電伺服系統(tǒng)中齒隙非線性的死區(qū)模型[17]，將擬合誤差表達為類似干擾項[3]，建立了含齒隙環(huán)節(jié)的伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。應(yīng)用反推控制的分塊設(shè)計方法，按物理結(jié)構(gòu)將擬合模型劃分為3個子系統(tǒng)進行控制設(shè)計，利用無抖振全階滑模方法設(shè)計子系統(tǒng)控制器[18]，發(fā)揮滑模控制處理匹配不確定的優(yōu)勢，抑制未知擾動并得到平滑的虛擬控制量。利用反推方法完成交、直軸電流控制器設(shè)計。與常規(guī)逐層反推控制算法相比，設(shè)計步驟大為簡化，同時控制設(shè)計具有終端滑模特性，可實現(xiàn)跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂，提升齒隙補償效果。
1含齒隙的機電伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
考慮齒隙作用，將PMSM驅(qū)動的機電伺服系統(tǒng)分解為驅(qū)動部分和從動部分，驅(qū)動部分包括伺服電機、驅(qū)動器、控制器和傳感器。假設(shè)定子為三相對稱繞組，轉(zhuǎn)子為無阻尼繞組，氣隙磁場呈正弦分布，磁路不飽和，不計磁滯和渦流損耗影響，表貼式PMSM的數(shù)學(xué)模型為[19]
(1)
式中，θ為轉(zhuǎn)子機械角位移；ω為轉(zhuǎn)子機械角速度；p為磁極對數(shù)；φf為耦合磁鏈；J為折算到電機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量；id、iq分別為定子電流矢量的d、q軸分量；bm為粘性摩擦系數(shù)；Tl為折算到電機軸上的負載力矩；R為繞組電阻；L為繞組電感；ud、uq分別為定子電壓矢量的d、q軸分量。
從動部分的動力學(xué)方程為
(2)
式中，Jl為負載轉(zhuǎn)動慣量；θl為負載輸出轉(zhuǎn)角；bl為粘性阻尼系數(shù)；η為減速比；Tf為負載力矩。
齒隙作用于連接驅(qū)動部分和從動部分的傳動機構(gòu)中，Tl與傳動機構(gòu)相對位移的關(guān)系可由死區(qū)模型表示為[13]
(3)
式中，Δθ=θ-ηθl； α為1/2齒隙寬度；k為主從動齒輪嚙合處的剛度系數(shù)。采用如下連續(xù)可微函數(shù)擬合死區(qū)模型[17]
(4)
式中，τ為擬合常數(shù)。定義擬合誤差為
TΔ=Tl-Ts=Tl-kΔθ-4kαε(Δθ)
(5)
Tl=k(θ-ηθl)+4kαε(θ-ηθl)+TΔ
(6)
(7)
將式(6)代入式(1)，機械方程可寫為
(8)
電流環(huán)動態(tài)特性與電磁轉(zhuǎn)矩相關(guān)，是衡量伺服性能的關(guān)鍵指標(biāo)。隨著電機運行中繞組溫度的變化，電機的電磁特性將發(fā)生改變(如電阻、電感等參數(shù)會有較大變動)，因此將模型誤差及未建模動態(tài)視為未知干擾。定義狀態(tài)變量x=[θl, ωl, θ, ω, iq, id]，聯(lián)立式(1)、式(2)、式(7)和式(8)可得整體系統(tǒng)狀態(tài)方程為
(9)
式中，y為系統(tǒng)輸出；uq、ud為控制量；di為未知擾動，i=1,…,4。
2控制器設(shè)計
2.1從動子系統(tǒng)控制設(shè)計
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
可知從動子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定且滑模面可在有限時間內(nèi)到達[18]，隨后系統(tǒng)可在有限時間內(nèi)，任意初始條件z1(0)≠0下沿滑模面運動到z1=0。
2.2PMSM機械子系統(tǒng)控制設(shè)計
(16)
(17)
(18)
(19)
同理可知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。
2.3PMSM電氣子系統(tǒng)設(shè)計
(20)
(21)
式中，c3、 c4為正實數(shù)；0<α3,α4<1。
設(shè)計交軸電壓uq為
(22)
設(shè)計直軸電壓ud為
(23)
2.4穩(wěn)定性分析
引理1：若a1,a2,…,an皆為正實數(shù)，δ∈(0,2)，則下列不等式成立[21]
(24)
引理2：若連續(xù)可微Lyapunov函數(shù)V(t)滿足如下不等式[22]
(25)
式中，α, β>0，0<γ<1，則V(t)可在有限時間內(nèi)收斂到零點，收斂時間為
(26)
定理1：對式(9)所示含齒隙的機電伺服系統(tǒng)，虛擬控制量設(shè)計如式(11)和式(17)所示，采用式(22)和式(23)所示反饋控制律，若滿足假設(shè)1和假設(shè)2，取適當(dāng)?shù)幕Ｃ鎱?shù)及控制器參數(shù)ηi、 κi，則滑模面有限時間內(nèi)可達，跟蹤誤差隨后在有限時間內(nèi)收斂為零。
證明：選取整體系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為
(27)
對式(27)求微分得
(28)
(29)
(30)
由引理2可知，系統(tǒng)可在有限時間內(nèi)到達滑模面
(31)
結(jié)合終端滑模面性質(zhì)，可知跟蹤誤差隨后在有限時間收斂為零。終端滑?？刂凭哂休^強的魯棒性，但齒隙補償效果及誤差收斂速度仍依賴模型先驗知識，通過對參數(shù)τ的合理設(shè)置提高齒隙擬合準(zhǔn)確度可縮小TΔ，從而減小V(t0)，縮短滑模面到達時間。
3實驗驗證
3.1實驗平臺
為驗證控制算法的有效性，在自行研制的機電伺服系統(tǒng)實驗臺上進行實驗，平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示。實驗平臺主要由驅(qū)動電機、控制器、傳感器、傳動機構(gòu)、減速齒輪及電源等構(gòu)成。為檢測系統(tǒng)在時變載荷下的控制性能，設(shè)計負載模擬器作為加載裝置，實現(xiàn)對負載力矩的閉環(huán)控制。控制器采用TMS320F2812，逆變單元采用IGBT組成全橋結(jié)構(gòu)，通過光電編碼器進行位置測量。驅(qū)動電機采用表貼式PMSM，參數(shù)為：p=5，φf=0.143 Wb，J=2.84×10-4kg·m2，bm=1.0×10-4N·m/rad/s，R=1.73 Ω，L=7 mH，額定轉(zhuǎn)矩Te=4.7 N·m，直流母線電壓Vdc=270 V。從動機構(gòu)參數(shù)為：Jl=0.4 kg·m2，bl=0.12 N·m/(rad/s)，η=30。齒隙參數(shù)為：k=200 N·m/rad，τ=22，α=0.023 rad。
圖1 實驗平臺Fig.1 Experimental platform
3.2與線性控制對比結(jié)果
與不考慮齒隙作用的線性控制進行對比，PMSM速度環(huán)及電流環(huán)采用PI控制器，位置環(huán)采用PID控制，反饋信號為θl。 實驗結(jié)果如圖2所示。
由圖2a、圖2b可知，當(dāng)指令信號運動方向發(fā)生改變時，齒隙導(dǎo)致從動機構(gòu)實際運動出現(xiàn)滯后效應(yīng)，跟蹤誤差逐漸增大，在渡過齒隙階段后由于沖擊作用導(dǎo)致跟蹤誤差呈現(xiàn)明顯的振蕩，隨后在控制作用下誤差逐漸變小。由圖2c、圖2d可看出，齒隙非線性對電機轉(zhuǎn)速和電流產(chǎn)生持續(xù)的干擾作用。
圖2 線性控制實驗結(jié)果Fig.2 Results of classical linear control method
驗證本文方法的齒隙補償效果，滑模面參數(shù)設(shè)置為：c12=c22=7，c11=c21=10，c3=c4=5，α12=α22=α3=α4=9/16，α11=α21=9/23； 控制器參數(shù)設(shè)置為：Ti=0.1，kdi=4，kT1+η1=kT2+η2=6，kT3+η3=kT4+η4=3。 κ1=κ2=200，κ3=κ4=100。 實驗結(jié)果如圖3所示。
圖3 本文方法實驗結(jié)果Fig.3 Results of the proposed method
由圖3a可知，考慮齒隙非線性因素進行控制律設(shè)計，有效抑制了齒隙影響，使跟蹤誤差顯著減小，控制質(zhì)量得到顯著提升。由圖3b、圖3c可知，主動對齒隙進行補償時，在齒隙作用階段存在控制量激增的過程，使系統(tǒng)快速渡過齒隙階段，消除齒隙影響。
3.3齒隙擬合參數(shù)τ對系統(tǒng)影響
由式(3)和式(4)可知，當(dāng)齒隙特性完全確定時，τ是惟一決定擬合準(zhǔn)確度的參數(shù)，文獻[14]得到特定條件下的最佳τ取值方法。文獻[17]采用滑模觀測器辨識齒隙參數(shù)，從實驗結(jié)果來看，與理想齒隙模型相比，真實傳動機構(gòu)的齒隙特征更為復(fù)雜?？紤]齒隙模型參數(shù)時變將導(dǎo)致問題復(fù)雜性，τ取不同值時的跟蹤誤差如圖4所示。
圖4 不同τ值控制結(jié)果Fig.4 Results with different τ
對比圖3a可看出跟蹤誤差有一定程度的增加，這是由于可微函數(shù)擬合準(zhǔn)確度有所降低，導(dǎo)致非匹配不確定項的增大，但滑?？刂凭哂泻軓姷母蓴_抑制能力，合理調(diào)節(jié)τ仍可實現(xiàn)較好的控制效果，這也體現(xiàn)出本文算法與常規(guī)反演算法相比具有抗擾動能力及魯棒性的優(yōu)勢。
4結(jié)論
針對PMSM驅(qū)動的機電伺服系統(tǒng)中存在的齒隙非線性，基于反演控制思想，設(shè)計全階無抖振終端滑?？刂破鳎玫揭韵陆Y(jié)論：
1)本文算法可有效實現(xiàn)齒隙補償，在負載和齒隙特征發(fā)生變化時具有強魯棒性。
2)利用分塊設(shè)計思想虛擬控制量，可降低常規(guī)反演或動態(tài)面控制需逐層遞推的復(fù)雜程度，適用于高階非線性系統(tǒng)，與高階滑?？刂破髟O(shè)計相比，避免了精確線性化過程依賴模型準(zhǔn)確度的困難。
3)考慮伺服電機本身的非線性因素，設(shè)計無抖振滑模控制得到連續(xù)的電流控制律，并分析了影響齒隙補償控制效果的若干因素，研究方法亦可推廣到其他驅(qū)動機構(gòu)的伺服系統(tǒng)及多關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)齒隙補償設(shè)計。
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作者簡介
李兵強男，1982年生，副教授，博士，研究方向為電機伺服控制理論、迭代學(xué)習(xí)控制。
E-mail：libingqiang@nwpu.edu.cn
陳曉雷男，1980年生，博士研究生，研究方向為伺服系統(tǒng)及非線性控制。
E-mail：chenilc@126.com(通信作者)
Terminal Sliding Mode Control for Mechatronic Servo Systems with Backlash Nonlinearity Compensation
Li BingqiangChen XiaoleiLin HuiLü ShuaishuaiMa Dongqi
(School of AutomationNorthwestern Polytechnical UniversityXi’an710129China)
AbstractIn order to overcome the problem of backlash nonlinearity and parameter time-varying in mechatronic servo systems，a chattering free full order sliding mode control strategy is proposed.The dead zone model of the backlash nonlinearity can be approximated by the proposed differentiable function.The superposition of the approximation error，the unmodeled dynamics，and the external disturbance can be regarded as the disturbance-like term.The continuous state-space model of the servo systems with the backlash nonlinearity is established and divided into three subsystems.The terminal sliding mode control law is constructed based on the backstepping design principle，which can make the tracking error converge to an arbitrarily small residual within finite time and achieve the precise compensation of the backlash.The finite-time convergence condition of the closed-loop system is analyzed using the Lyapunov theory.The experimental test verifies the effectiveness of the proposed control approach.
Keywords：Mechatronic servo systems，permanent magnet synchronous motor，backlash nonlinearity，sliding mode control，backstepping control
中圖分類號：TP273
國家自然科學(xué)基金(51407143)、高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20136102120049)、陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃(2014JQ7264，2015JM5227)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(3102014JCQ01066)和陜西省微特電機及驅(qū)動技術(shù)重點實驗室開放基金(2013SSJ1002)資助項目。
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