陳妹

一、 冪的運(yùn)算

本章核心內(nèi)容是冪的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算是一般到特殊的過程，學(xué)生要能正確進(jìn)行計(jì)算，能“以理馭算”，為后續(xù)整式乘法的學(xué)習(xí)做鋪墊.

【內(nèi)容】對(duì)于任意底數(shù)a，b，當(dāng)m，n為正整數(shù)時(shí)，有

am·an=am+n（同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加）

（am）n=amn（冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘）

（ab）n=anan（積的乘方，把積的每一個(gè)因式乘方，再把所得的冪相乘）

am÷an=am-n（同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減）

a0=1（a≠0）（任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1）

a-n=1/an（a≠0）（任何不等于0 的數(shù)的-n次冪等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)）

【舉例】教材第1節(jié)中，計(jì)算“地球與太陽(yáng)之間的距離”；第2節(jié)中，解決“100個(gè)104相乘黑板上寫不下”的問題；第3節(jié)中“我國(guó)人均水資源量”的問題，通過這些問題引導(dǎo)學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)的本質(zhì).

二、 整式乘法與因式分解

本章核心內(nèi)容為整式乘法與因式分解，其中整式乘法中包含：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的基本法則及完全平方公式和平方差公式的運(yùn)用.

【內(nèi)容】1. 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.如： ac5bc2=（a·b）·（c5·c2）=abc5+2

=abc7.

2. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，書中用不同方法計(jì)算長(zhǎng)（b+c+d）、寬a的長(zhǎng)方形的面積得到a（b+c+d）=ab+ac+ad.

【說明】計(jì)算過程中要不重不漏，按照順序，注意常數(shù)項(xiàng)、負(fù)號(hào)，理解單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的本質(zhì)是乘法分配律.

3. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相乘，例如：（a+b）（m+n）=am+an+

bm+bn.

4. 乘法公式：

（1） 平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

字母表示：（a+b）（a-b）=a2-b2.

（2） 完全平方公式：兩數(shù)和[或差]的平方，等于它們的平方和加[或減]它們積的2倍.

（a±b）2=a2±2ab+b2.

5. 因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

【解讀】

（1） 提公因式法. 關(guān)鍵：找出公因式.

公因式三部分：①系數(shù)（數(shù)字）——各項(xiàng)系數(shù)最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù).步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

【說明】注意：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

（2） 公式法.①a2-b2=（a+b）（a-b），其中 a、b可以是數(shù)也可是式子；②a2±2ab+b2=（a±b）2.

因式分解三要素：（1） 分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式；（2） 因式分解必須是恒等變形；（3） 因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

三、 二元一次方程組

本章核心概念有：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解.概念簡(jiǎn)單，但方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是解決問題的重要工具，因此熟練掌握二元一次方程組尤為重要.

【內(nèi)容】1. 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程.

【解讀】既要看原始形式，又要看它的最終形式.

【舉例】x+y-1=2x.

2. 含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的方程組叫作二元一次方程組.

3. 二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫作二元一次方程組的解.

4. （1） 代入消元法：把二元一次方程中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種方法叫作代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.

（2） 加減消元法：當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.

四、 一元一次不等式

本章核心概念有：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式、不等式的性質(zhì)，生活中處處都有量與量之間的不等關(guān)系，不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界不等關(guān)系的有效模型.

【內(nèi)容】

知識(shí)點(diǎn)一：不等式的概念

1. 不等式：

用“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式.用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

【解讀】（1） 不等號(hào)的類型：

① “≠”讀作“不等于”，它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不等的，但不能明確兩個(gè)量哪個(gè)大哪個(gè)??；

（2） 要正確用不等式表示兩個(gè)量的不等關(guān)系，就要正確理解“非負(fù)數(shù)”、“非正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的含義.

2. 不等式的解：

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解.

【解讀】由不等式的解的定義可以知道，當(dāng)對(duì)不等式中的未知數(shù)取一個(gè)數(shù)，若該數(shù)使不等式成立，則這個(gè)數(shù)就是不等式的一個(gè)解，我們可以和方程的解進(jìn)行對(duì)比理解，一般地，要判斷一個(gè)數(shù)是否為不等式的解，可將此數(shù)代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進(jìn)行判斷.

3. 不等式的解集：

一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.求不等式的解集的過程叫作解不等式.如：不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值.二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集.

【解讀】不等式的解集必須符合兩個(gè)條件：

（1） 解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立；

（2） 能夠使不等式成立的所有的數(shù)值都在解集中.

知識(shí)點(diǎn)二：不等式的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；

符號(hào)語(yǔ)言表示為：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；

基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

符號(hào)語(yǔ)言表示為：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc（或>）；

基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

符號(hào)語(yǔ)言表示為：如果a>b，并且c<0，那么ac

【解讀】（1） 不等式的基本性質(zhì)1的學(xué)習(xí)與等式的性質(zhì)的學(xué)習(xí)類似，可對(duì)比等式的性質(zhì)掌握；

（2） 要理解不等式的基本性質(zhì)1中的“同一個(gè)整式”的含義不僅包括相同的數(shù)，還有相同的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；

（3） “不等號(hào)的方向不變”，指的是如果原來是“>”，那么變化后仍是“>”；如果原來是“≤”，那么變化后仍是“≤”；“不等號(hào)的方向改變”指的是如果原來是“>”，那么變化后將成為“<”；如果原來是“≤”，那么變化后將成為“≥”；

（4） 運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)3，在乘（除）同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，要記住不等號(hào)的方向一定要改變.

知識(shí)點(diǎn)三：一元一次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0.這樣的不等式，叫作一元一次不等式.

【解讀】（1） 一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解：

①左右兩邊都是整式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式），②只含有一個(gè)未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)為1；

（2） 一元一次不等式和一元一次方程可以對(duì)比理解.

相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是1，左右兩邊都是整式；

不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系（用“>”“<”“≥”“≤”連接），一元一次方程表示相等關(guān)系（用“=”連接） .

知識(shí)點(diǎn)四：一元一次不等式的解法

1. 解不等式：

求不等式解的過程叫作解不等式.

2. 一元一次不等式的解法：

與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，解一元一次不等式的一般步驟為：（1） 去分母；（2） 去括號(hào)；（3） 移項(xiàng)；（4） 合并同類項(xiàng)；（5） 系數(shù)化為1.

【解讀】（1） 在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈活運(yùn)用.

（2） 解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變.

3. 不等式的解集在數(shù)軸上表示：

在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無(wú)限多個(gè)解，它對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助.

【解讀】在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：

（1） 邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左.

【說明】1. 不等式的基本性質(zhì)是解不等式的主要依據(jù)（性質(zhì)2、3要倍加小心）.

2. 檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)值是不是已知不等式的解，只要把這個(gè)數(shù)代入不等式，然后判斷不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立，則就不是不等式的解.

3. 解一元一次不等式是一個(gè)有目的、有根據(jù)、有步驟的不等式變形，最終目的是將原不等式變?yōu)閤>a或x

4. 將一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí).

5. 用一元一次不等式解答實(shí)際問題，關(guān)鍵在于尋找問題中的不等關(guān)系，從而列出不等式并求出不等式的解集，最后解決實(shí)際問題.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）