◇　北京　高　宇　鄭拴平

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高中“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)設(shè)計

◇北京高宇鄭拴平

“直線與圓的位置關(guān)系”一課是應(yīng)學(xué)校要求,面向“國培計劃”培訓(xùn)老師的一節(jié)研究課,在本節(jié)課的設(shè)計、實施等環(huán)節(jié)中,有不少值得思考的問題初中教材利用直線和圓的公共點個數(shù)定義了直線和圓的位置關(guān)系,并給出了利用圓心到直線距離與圓半徑的比較判斷位置關(guān)系的方法．高中階段再學(xué)習(xí)該內(nèi)容,與初中比較有什么區(qū)別呢?

筆者認(rèn)為高中教材關(guān)于直線與圓位置關(guān)系的判定,是對初中定義和判定方法的解析、詮釋，是后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的基礎(chǔ),所以在高中階段學(xué)習(xí)“直線與圓的位置關(guān)系”,研究問題的方法與初中相比發(fā)生了根本的變化．鑒于此，筆者對本課的教學(xué)進(jìn)行了如下設(shè)計,側(cè)重于探究直線與圓方程聯(lián)立所得方程組解的情況與幾何位置的關(guān)系．

1學(xué)情分析

題號解答情況1百分率/%解答情況2百分率/%正確率/%1相離、相切、相交1001002用直線與圓的交點個數(shù)判斷68用圓心到直線的距離與半徑比較判斷321003(1,3),(9,-13)98984代數(shù)方法:聯(lián)立后判斷kx2+x-1=0根的個數(shù)(考慮到k=0情況的僅占14%)69幾何方法:數(shù)形結(jié)合判斷過定點(0,1)、斜率存在的直線y=kx+1與反比例函數(shù)圖象交點的個數(shù)3151

從測試結(jié)果看,學(xué)生清楚直線與圓的位置關(guān)系,知道通過圓心到直線的距離與半徑的比較判定直線與圓的位置關(guān)系,會解簡單的二元二次方程組,大多數(shù)學(xué)生知道通過聯(lián)立方程判斷2條曲線交點的個數(shù),具備了一定用代數(shù)方法研究幾何問題的意識,但思維缺乏一定的深度、嚴(yán)謹(jǐn)性不足;少部分學(xué)生能通過直線的方程分析直線的幾何特征,具備一定的數(shù)形結(jié)合意識和能力,但對相切位置缺乏深入細(xì)致思考．

2教學(xué)重點與難點

由于直線與圓的位置關(guān)系是直線與圓錐曲線學(xué)習(xí)的開端,如果不對“為什么可以通過方程組解的個數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系”“消元后是否一定是一元二次方程”“該方程的解有哪些情況”等問題問個究竟,學(xué)生會將現(xiàn)有認(rèn)識“自然遷移”到后續(xù)的學(xué)習(xí)中,造成盲目列方程、解方程的程序化操作,而不問其中蘊含的幾何意義,偏離了解析幾何教學(xué)的宗旨．另一方面,學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)解析幾何,對于其基本思想的理解缺少豐富實例的支撐,用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系,是學(xué)生體會解析幾何基本思想的良好載體,有必要引導(dǎo)學(xué)生通過思考對方程組解的情況與其幾何含義(曲線的位置關(guān)系)有清晰的認(rèn)識．基于此,設(shè)定了本課的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重、難點．

2.1教學(xué)目標(biāo)

1) 掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的2種方法;

2) 經(jīng)歷“利用方程研究直線與圓位置關(guān)系”的過程，體會研究解析幾何的基本方法和數(shù)形結(jié)合思想;

3) 通過對“利用判別式判定直線與圓的位置關(guān)系”方法正確性的思辨和應(yīng)用過程中提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性．

2.2教學(xué)重點與難點

3教學(xué)過程

3.1復(fù)習(xí)引入

問題1初中學(xué)習(xí)過的直線與圓有哪些位置關(guān)系?分別是如何定義的?如何判斷?

問題2平面幾何是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,所以初中階段從幾何直觀的出發(fā),得到了直線與圓的位置關(guān)系和判斷方法.高中階段再談直線與圓的位置關(guān)系,你認(rèn)為研究的角度和方法應(yīng)該有什么樣的變化?

【設(shè)計意圖】在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上思考并感悟解析幾何研究問題的方法,明確本節(jié)課要研究的問題及研究方法,使學(xué)生對學(xué)習(xí)任務(wù)有明確的認(rèn)識.

3.2初步嘗試與分享

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生嘗試解決問題并分享不同的解題方法．在交流中明確不同方法中方程的作用,初步感受利用代數(shù)方法研究幾何問題的思想.建立“方程組的解”與“曲線的交點”之間的聯(lián)系,為進(jìn)一步的研究做好準(zhǔn)備．

3.3思考辨析、完善認(rèn)識

【設(shè)計意圖】用判別式可判斷一元二次方程根的個數(shù),所以在這里也可用判別式判斷直線與圓的交點個數(shù)——這是學(xué)生在知識遷移過程中很容易產(chǎn)生的一種感性認(rèn)識,然而一元二次方程解的個數(shù)是否等價于方程組的個數(shù),這樣的方法是否合理、正確,學(xué)生也許并未思考太多．問題3的提出促使學(xué)生思考感性認(rèn)識的結(jié)果是否嚴(yán)謹(jǐn)、正確,完善對知識的理解和認(rèn)識．

3.4歸納思辨、加深認(rèn)識

問題4請歸納判斷直線l:Ax+By+C=0 與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0位置關(guān)系的方法.

方法2聯(lián)立直線方程與圓的方程,利用判別式.當(dāng)Δ>0時,相交;Δ=0時,相切;Δ<0時,相離.

【設(shè)計意圖】歸納判定直線與圓位置關(guān)系的方法,明確方程在判定過程中的作用,體會解析幾何通過研究方程來研究幾何問題的基本方法,突出重點．

問題5聯(lián)立直線方程與圓的方程消元后得到的一定是一元二次方程嗎?

問題6判別式能判斷相應(yīng)一元二次方程根的個數(shù),可以用它判斷方程組解的個數(shù)嗎?為什么?

【設(shè)計意圖】促使學(xué)生思考并分析利用判別式判斷直線與圓的位置關(guān)系方法的嚴(yán)謹(jǐn)性,加深學(xué)生對該方法的理解和認(rèn)識、對知識形成一定的理性認(rèn)識,突破難點．同時提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,養(yǎng)成理性思維的習(xí)慣,為之后學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線(尤其是直線與雙曲線、拋物線)位置關(guān)系打好基礎(chǔ)．

3.5課堂練習(xí)、鞏固知識

學(xué)生活動:2人一組,學(xué)生互相出題并解決——給出直線和圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系.

【設(shè)計意圖】初步應(yīng)用知識生成課堂教學(xué)資源．通過展示和交流,評價方法的優(yōu)化問題．加深學(xué)生對知識的認(rèn)識,增強優(yōu)化意識．如學(xué)生出示如下練習(xí)：

1) 直線x=2與圓x2+y2=1;

2) 直線x=2與圓x2+y2-2x+y-1=0;

3) 直線3x+4y-5=0與圓x2+y2-2x+y-1=0.

通過評價，明確練習(xí)1)解方程最簡捷，練習(xí)2)適合用判別式判斷,而練習(xí)3)則利用圓心到直線的距離判斷最簡捷．

方法3直線l變形為y-1=a(x-1),恒過定點P(1,1),且點P在圓C內(nèi),故相交.

【設(shè)計意圖】一題多解開闊思路,提升思維靈活性.通過對不同方法的比較,加深認(rèn)識和理解．

3.6課堂小結(jié)

1) 知識:直線與圓的位置關(guān)系及判斷方法.

2) 方法:體會解析幾何“利用代數(shù)方法研究幾何問題”的方法.

3) 思維習(xí)慣:注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4教學(xué)效果

本課從學(xué)生實際出發(fā),以問題為導(dǎo)向進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,取得了良好的教學(xué)效果．設(shè)計緊密切合學(xué)生實際,在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)計問題串,通過對問題的思考、辨析，突破本課難點．在很大程度上關(guān)注學(xué)生思維能力的提升,引導(dǎo)學(xué)生思考解題方法的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性．此外,注重在課堂上為學(xué)生搭建交流、展示與評價的平臺,開發(fā)學(xué)習(xí)資源,加深對知識的認(rèn)識．

(作者單位：北京市第十二中學(xué))

重點:判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法.

難點:對“利用判別式判定直線與圓的位置關(guān)系”代數(shù)方法正確性的思辨.