張城兵

(浙江省蘭溪市第一中學，321102)

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極化恒等式的妙用

張城兵

(浙江省蘭溪市第一中學，321102)

眾所周知,為求向量數(shù)量積最值或范圍，一般有定義法、基底法、坐標法、幾何意義法.下面例題均選自我省2015屆高三模擬試題,難度中等偏上,這些題目用上述方法固然可

行,但從解答情況看較為繁瑣.本文舉例說明極化恒等式的應用,供讀者參考.

一、兩向量共同的起點為動點

評注從解答過程看,并沒有用條件“BC=3,AC=4”,可見它是多余的,命題者給出這多余的條件是想用坐標法,并要分別討論點A在三邊時的情況.

二、兩向量終點均為動點

解取BC的中點N,連結AN，取其中點D,如圖4,則

三、兩向量的起點和終點均為動點

解由已知易求得外接圓半徑為2.因為圓心O是EF的中點,所以

綜觀上述例題解法,因為兩向量都是動態(tài)的,不是用極化恒等式能一勞永逸的,但它最大作用是化“多元變量”為“一元變量”,再加上必要時要構造圖形,借助形的直觀,發(fā)現(xiàn)最值何時取到就輕松解決問題.