虞　懿　　　　　　　　　　　吳微慶

(浙江省金華市第六中學(xué)，321000)　(浙江省金華廣播電視大學(xué)(浙江商貿(mào)學(xué)校)，321000)

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○高考之窗○

探析幾何關(guān)系代數(shù)化的有效策略
——以2015年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第20題為例

虞懿吳微慶

(浙江省金華市第六中學(xué)，321000)(浙江省金華廣播電視大學(xué)(浙江商貿(mào)學(xué)校)，321000)

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì),核心思想是“數(shù)形結(jié)合”.2015年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第20題,保持了全國(guó)卷背景熟悉、入口寬泛、解法多樣的一貫風(fēng)格,細(xì)細(xì)品讀深感底蘊(yùn)純厚,緊扣解析幾何的思想精髓.本文從解決解析幾何問題的核心方法思想出發(fā),探析該題第(2)問的解法.

一、試題展現(xiàn)

(1)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

(2) y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

二、解法探析

對(duì)于第(2)問有以下幾種求解策略.

策略1選擇恰當(dāng)形式,實(shí)現(xiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)表示

幾何關(guān)系代數(shù)化是解決解析幾何問題的關(guān)鍵.在本題中的幾何關(guān)系是∠OPM=∠OPN,用什么樣的代數(shù)關(guān)系來表示這個(gè)幾何關(guān)系?對(duì)于直線與坐標(biāo)軸所成角的問題,很自然地想到直線的傾斜角.解析幾何中描述傾斜角的代數(shù)形式就是斜率,由此想到用斜率表示幾何關(guān)系“∠OPM=∠OPN”,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解法1設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.

將y=kx+a代入C的方程，得

x2-4kx-4a=0，

故x1+x2=4k,x1x2=-4a，

當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ).

故∠OPM=∠OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.

設(shè)直線PM,PN的斜率分別為k1,k2，當(dāng)k≠0時(shí),有x1+x2≠0,于是

當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故

∠OPM=∠OPN；

當(dāng)k=0時(shí),若b=-a,亦使得∠OPM=∠OPN.

綜上,點(diǎn)P(0,-a)符合題意.

解法3直線y=kx+a(a>0)交y軸于點(diǎn)(0,a),則可設(shè)此直線為

代入C的方程，得

cos2α·t2-4sinα·t-4a=0,

設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(t1cosα,a+t1sinα),N(t2cosα,a+t2sinα),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2，于是

+2sinαcosα·t1t2]

當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故∠OPM=∠OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.

評(píng)注直線與拋物線的相交問題,解法1將拋物線與直線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可簡(jiǎn)化運(yùn)算,這是解析幾何常見的解題思路.

近期， 有單位和讀者向本刊反映， 有中介機(jī)構(gòu)或網(wǎng)站宣稱代理《草原與草坪》征集稿件， 并向投稿者收取費(fèi)用，承諾可以在本刊發(fā)表文章，此舉已對(duì)本刊聲譽(yù)造成不良影響。對(duì)此， 本刊聲明如下：

解法2借助拋物線的參數(shù)方程來設(shè)點(diǎn),避免了方程的聯(lián)立,簡(jiǎn)化了計(jì)算.

解法3利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,避免了繁瑣的計(jì)算,使得方程的聯(lián)立簡(jiǎn)便易得.

策略2利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理,實(shí)現(xiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)表示

將y=kx+a代入C的方程，得x2-4kx-4a=0,則x1+x2=4k,x1·x2=-4a.

假設(shè)存在點(diǎn)P(0,b),使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN,則由角平分線分線段成比例定理，得

當(dāng)b=a時(shí),唯有k=0時(shí)成立,所以b=-a,故y軸上存在點(diǎn)P(0,-a)符合題意.

評(píng)注這里巧用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理探討a與b的相互關(guān)系,簡(jiǎn)化了代數(shù)運(yùn)算過程，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美結(jié)合.

策略3構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn),實(shí)現(xiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)表示

對(duì)稱是平面幾何中重要的幾何關(guān)系,對(duì)稱圖形中包含很多相等的幾何量和某些特殊的幾何圖形,如角、線段、角平分線、線段的垂直平分線等,為解決本題打開了更廣闊的思路.

于是直線MN的方程為

于是直線MN1的方程為

評(píng)注數(shù)學(xué)美無(wú)處不在,最常見的有簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美、定值定點(diǎn)美等.本解法通過構(gòu)造點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N1,尋找對(duì)稱后的代數(shù)關(guān)系,這本身就是創(chuàng)造美、發(fā)現(xiàn)美的過程.

策略4回歸向量知識(shí)本質(zhì),實(shí)現(xiàn)幾何關(guān)系的代數(shù)表示

向量具有代數(shù)、幾何雙重身份,融數(shù)形于一體,是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.它可以將幾何問題坐標(biāo)化、數(shù)量化,因此它是解決解析幾何問題的重要工具.

解法6設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2).

當(dāng)k≠0時(shí),有x1+x2≠0,將y=kx+a代入C的方程，得

x2-4kx-4a=0，

故x1+x2=4k,x1·x2=-4a.

=b(b-y1),

若cos∠OPM=cos∠OPN,則

化簡(jiǎn)得b2=a2,即b=-a或b=a(舍).

從而當(dāng)b=-a時(shí),有cos∠OPM=cos∠OPN,即∠OPM=∠OPN.

當(dāng)k=0時(shí),若b=-a,亦使得∠OPM=∠OPN.

綜上,點(diǎn)P(0,-a)符合題意.

評(píng)注本解法另辟蹊徑,構(gòu)建平面向量,利用數(shù)量積的定義求夾角,簡(jiǎn)潔明了.在探究解題思路時(shí),要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識(shí)的聯(lián)系,在平面解析幾何中有關(guān)長(zhǎng)度、角度的計(jì)算及有關(guān)平行、三點(diǎn)共線、垂直等位置關(guān)系問題都可以用向量知識(shí)解決.

三、解題啟示

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題.在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系,將已知的幾何條件表示成代數(shù)式,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果,最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題.在這個(gè)過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號(hào)語(yǔ)言之間的多重轉(zhuǎn)換,因此,我們必須重視對(duì)幾何關(guān)系的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當(dāng)表示題目中的幾何關(guān)系,同時(shí)有利于代數(shù)運(yùn)算,從而形成正確的解題策略.

三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理:三角形的內(nèi)角平分線內(nèi)分對(duì)邊成兩條線段,那么這兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.