白瑞蒲,高彥沙,張穎華

(河北大學 數(shù)學與信息科學學院,河北 保定　071002)

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Perfect 3-李代數(shù)的T-導子

白瑞蒲,高彥沙,張穎華

(河北大學 數(shù)學與信息科學學院,河北 保定071002)

摘要:在3-李代數(shù)上定義T-導子的概念,得到了3-李代數(shù)的T-導子李代數(shù)TDer(L),對T-導子代數(shù)的結構進行了研究，并討論了T-導子代數(shù)與導子代數(shù)和內(nèi)導子代數(shù)的關系,證明了內(nèi)導子代數(shù)是T-導子代數(shù)的理想在特征不為5的域F上的Perfect 3-李代數(shù),它的內(nèi)導子代數(shù)及導子代數(shù)在T-導子代數(shù)的中心化子為零.

關鍵詞:3-李代數(shù)；T-導子；導子；內(nèi)導子

MSC2010:17B05；17B30

3-李代數(shù)[1-2]在數(shù)學和物理學中有著廣泛的應用[3-5]，特別是數(shù)域上的度量3-李代數(shù)為膜理論中的模型建立提供了重要依據(jù)[5-7].一個代數(shù)系統(tǒng)的導子代數(shù)在代數(shù)結構的研究中起著非常重要的作用.為了研究代數(shù)結構,研究者們在2-元代數(shù)系統(tǒng)上定義了導子、次導子、廣義導子等概念[8-9].本文將在3-李代數(shù)上定義T-導子,并對其性質(zhì)以及T-導子代數(shù)與導子代數(shù)和內(nèi)導子代數(shù)的關系進行研究.

1預備知識

首先給出本文要用到的基本概念[9-11].

2主要性質(zhì)

定義2設L是域F上的3-李代數(shù),D是L→L的線性變換.如果對于?x、y、u、v、w∈L有D[x,y,[u,v,w]]=[Dx,y,[u,v,w]]+[x,Dy,[u,v,w]]+[x,y,[Du,v,w]]+[x,y,[u,Dv,w]]+[x,y,[u,v,Dw]]成立,那么D叫做L的T-導子,記TDer(L)為所有T-導子的集合.

定理1對于任意的3-李代數(shù)L,TDer(L)是一個線性李代數(shù).

證明:令D1,D2∈TDer(L),x、y、u、v、w∈l,只需驗證[D1,D2]∈TDer(L)即可.根據(jù)定義2 直接計算可得[D1,D2]([x,y,[u,v,w]])=D1D2([x,y,[u,v,w]])-D2D1([x,y,[u,v,w]])=[[D1,D2]x,y,[u,v,w]]+[x,[D1,D2]y,[u,v,w]]+[x,y,[[D1,D2]u,v,w]]+[x,y,[u,[D1,D2]v,w]]+[x,y,[u,v,[D1,D2]w]],因此,[D1,D2]∈TDer(L).定理得證.

通過下面的例子,可以看出T-導子代數(shù)不等于導子代數(shù).

例1設L是4維3-李代數(shù),e1、e2、e3、e4是它的一組基.假設dimL1=2,L具有乘法表

[e1,e3,e4]=e2，[e2,e3,e4]=e1,[e1,e2,e3]=0,[e1,e2,e4]=0.

首先求出內(nèi)導子李代數(shù).由定義2和3-李代數(shù)L的乘法表直接計算可得ad(L)的一組基在3-李代數(shù)L的基e1、e2、e3、e4的矩陣為

所以任意一個內(nèi)導子的矩陣為

定理2如果L是Perfect 3-李代數(shù),則ad(L)是李代數(shù)TDer(L)的理想.

注:如果L是Perfect3-李代數(shù),那么Der(L)一定不是李代數(shù)TDer(L)的理想.在例1中,E11+E22、E33-E44、E12+E21、E13、E14、E23、E24、E34、E43是Der(L)的一組基.而E11、E22、E33-E44、E12、E13、E14、E21、E23、E24、E34、E43是TDer(L)的一組基.

令D1=E11+2E22+E33-E44+E12+E13+E14+E21+E23+E24+E34+E43,D=E11+E22+E33-E44+E12+E21+E13+E14+E23+E24+E34+E43,其中D∈Der(L)，D1∈TDer(L).因為[D1,D]=E21-E12+E23+E24?Der(L)，所以,[TDer(L)，Der(L)]?Der(L),即Der(L)不是李代數(shù)TDer(L)的理想.

定理3設L是域F上的Perfect3-李代數(shù),CharF≠5,那么ad(L)在李代數(shù)TDer(L)中的中心化子CTDer(L)(ad(L))=0.

證明:令D∈CTDer(L)(ad(L)),對于?x、y∈L有[D，ad(x,y)]=0.因此,?x、y、z∈L，D([x,y,z])-[x,y,Dz]=[D,ad(x,y)](z)=0.所以D([x,y,z])=[x,y,Dz].類似的討論可以得到D([x,y,z])=[x,y,Dz]=[Dx,y,z]=[x,Dy,z],?x、y、z∈L.對于x1、x2、x3、x4、x5∈L,由定義2得D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=[Dx1,x2,[x3,x4,x5]]+[x1,Dx2,[x3,x4,x5]]+[x1,x2,[Dx3,x4,x5]]+[x1,x2,[x3,Dx4,x5]]+[x1,x2,[x3,x4,Dx5]].由于D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=[Dx1,x2[x3,x4,x5]]=[x1,Dx2,[x3,x4,x5]]=[x1,x2,[Dx3,x4,x5]]=[x1,x2,[x3,Dx4，x5]]=[x1,x2,[x3,x4,Dx5]].因此,D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=5D([x1,x2,[x3,x4,x5]]).由于CharF≠5,所以D([x1,x2,[x3,x4,x5]])=0.因為L是Perfect3-李代數(shù),L的每一個元素都能夠表示成[x1,x2,[x3,x4,x5]]的線性組合.所以D=0,即TDer(L)的中心化子CTDer(L)(ad(L))=0.

推論1設L是域F上的Perfect3-李代數(shù),CharF≠5,那么Der(L)在李代數(shù)TDer(L)中的中心化子CTDer(L)(Der(L))=0.證畢.

證明:如果CTDer(L)(Der(L))≠0,則存在D∈TDer(L)≠0,使得[D，Der(L)]=0.因為ad(L)?Der(L),得到[D,ad(L)]=0,所以CTDer(L)(ad(L))≠0,與定理3矛盾.結論證畢.

3結論

定義了T-導子的概念,通過給出3個定理和1個推論對T-導子代數(shù)的結構進行了研究,證明了內(nèi)導子代數(shù)是T-導子代數(shù)的理想.在特征不為5的域上Perfect 3-李代數(shù),它的內(nèi)導子代數(shù)及導子代數(shù)在T-導子代數(shù)的中心化子為零.

參考文獻：

[1]FILIPPOV V T.n-Lie algebras[J].Sib Mat Zh,1985,26(6):126-140.DOI:10.1007/BF00969110.

[2]KASYMOV S.On a theory of n-Lie algebras[J].Algebra Logika,1987,26(3):277-297.DOI:10.1007/BF02009328.

[3]NAMBU Y.Generalized Hamiltonian dynamics[J].Phys Rev D,1973(7)：2405-2412.DOI:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.7.2405.

[4]TAKHTAJAN L.On foundation of the generalized Nambu mechanics[J].Comm Math Phys,1994,160:295-315.DOI:10.1007/BF02103278.

[5]BAGGER J,LAMBERT N.Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-branes[J].Phys Rev D,2008,77,065008.DOI:http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.77.065008.

[6]BAI R P,BAI C M,WANG J X.Realizations of 3-Lie algebras[J].Journal Math Phys,2010,51：063505.DOI:10.1063/1.3436555.

[7]BAI R P,WU Y.Constructions of 3-Lie algebras[J].Linear and Multilinear Algebra,2015,63(11),2171-2186.DOI:10.1080/03081087.2014.986121.

[8]ZHANG Jianhua,WU Baowei,CAO Huaixin.Lie triple derivations of nest algebras[J].Linear Algebra Applications,2005,416:559-567.DOI:10.1016/j.laa.2005.12.003.

[9]ZHOU J H.Triple derivations of perfect Lie algebras[J].Comm Algebra,2013,41:1647-1654.DOI:10.1080/00927872.2011.649224.

[10]白瑞蒲,李奇勇,王偉東,等.素域Fp上的3-李代數(shù)[J].河北大學學報(自然科學版),2013,33(5):449-452.DOI:10.3969/j.issn.1000-1565.2013.05.001.

BAI Ruipu,LI Qiyong,WANG Weidong,et al.Structures of 3-Lie algebras over a prime field Fp[J].Journal of Hebei University(Natural Science Edition),2013,33(5):449-452.DOI:10.3969/j.issn.1000-1565.2013.05.001.

[11]白瑞蒲,王偉東,周恒.一類無限維3-李代數(shù)的Hom結構[J].黑龍江大學自然科學學報,2014,31(1):26-31.DOI：10.13482/j.issn1001-7011.2014.01.005.

BAI Ruipu,WANG Weidong,ZHOU Heng.Hom-structure of a class of infinite dimensional 3-Lie algebras[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University,2014,31(1):26-31.DOI:10.13482/j.issn1001-7011.2014.01.005.

(責任編輯：王蘭英)

T-derivations of perfect 3-Lie algebras

BAI Ruipu,GAO Yansha,ZHANG Yinghua

(College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China)

Abstract:The T-derivations of 3-Lie algebras,T-derivation Lie algebra TDer(L),and its structure were studied.The relations between TDer(L) and Der(L),ad(L) were discussed.It is proved that the inner derivation algebra ad(L) is an ideal of TDer(L).If L is a perfect 3-Lie algebra over a field F with Char F≠5,centralizers of derivation algebra and inner derivation algebra in TDer(L) are both zero.

Key words:3- Lie algebra；T-derivation；derivation；inner derivation

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2016.01.002

收稿日期：2015-09-13

基金項目:國家自然科學基金資助項目(11371245)；河北省自然科學基金資助項目(A2014201006)

中圖分類號:O175.1

文獻標志碼：A

文章編號：1000-1565(2016)01-0007-04

第一作者:白瑞蒲(1960—),女,河北保定人,河北大學教授,博士,主要從事李群、李代數(shù)研究.

E-mail:bairuipu@hbu.edu.cn