邱勝華

（中鐵十二局集團第一工程有限公司，陜西西安 710038）

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參考點隨機子空間模態(tài)參數(shù)識別方法的效率探討

邱勝華

（中鐵十二局集團第一工程有限公司，陜西西安 710038）

摘要：結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的獲取對結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、狀態(tài)監(jiān)測、振動控制有著非常重要的意義。在橋梁健康監(jiān)測領(lǐng)域，基于環(huán)境激勵的隨機子空間方法是模態(tài)參數(shù)識別中最先進的方法之一?；趨⒖键c的隨機子空間方法不僅能很好地適應(yīng)大型工程結(jié)構(gòu)測點分組測量的特點，而且較傳統(tǒng)的隨機子空間方法減少了識別過程中的計算量，但對于其識別精度還沒有詳細考證。文中在闡述該方法相關(guān)理論的同時，以一座梁橋的數(shù)值模擬算例進行分析，結(jié)果表明基于參考點的隨機子空間方法的識別結(jié)果準(zhǔn)確可靠，并對選擇參考通道的方法提出了建議。

關(guān)鍵詞：橋梁；模態(tài)參數(shù)識別；隨機子空間；識別效率

準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、狀態(tài)監(jiān)測和結(jié)構(gòu)控制等研究都有著非常重要的意義。但是傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別要求同時測量輸入和輸出信號，這給大型工程結(jié)構(gòu)的振動測試帶來不少困難，如難以施加有足夠能量的激勵或激勵昂貴、測試過程中影響結(jié)構(gòu)的正常使用等。為此，研究者們提出了僅測量結(jié)構(gòu)在正常使用時的環(huán)境激勵下的響應(yīng)信號的模態(tài)參數(shù)識別思路，稱之為基于環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)識別或工作模態(tài)分析（OMA）。該類方法不僅無需特意施加人工激勵和測試過程中不影響結(jié)構(gòu)使用，并且識別出的模態(tài)參數(shù)反映了結(jié)構(gòu)的真實邊界條件和工作時的動態(tài)特性，因而得到廣泛關(guān)注和研究。

基于環(huán)境激勵的方法主要分為頻域類方法和時域類方法。頻域類方法主要有峰值拾取法、頻率分解法等。時域類方法主要有：1）Ibrahim S.R.等提出的基于隨機減量技術(shù)的從白噪聲激勵下結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)中提取自由響應(yīng)進而識別模態(tài)參數(shù)的ITD法；2）美國Sandia實驗室James G.H.等提出的自然激勵技術(shù)，他們認為白噪聲激勵下測量通道間的互相關(guān)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)具有相同數(shù)學(xué)表達式，從而以其代替脈沖響應(yīng)，再結(jié)合傳統(tǒng)的基于脈沖響應(yīng)的識別方法完成環(huán)境激勵下的模態(tài)參數(shù)識別；3）隨機子空間方法，該方法的主要貢獻者如Akaike H.首先解決了狀態(tài)空間模型的隨機實現(xiàn)問題，Overschee P.V.等于1993年提出了直接基于數(shù)據(jù)的隨機子空間方法，1999年P(guān)eeters B.等提出基于參考點的隨機子空間方法。在這些方法中，隨機子空間方法因無需迭代、計算量小，識別結(jié)果精確可靠而得到廣泛關(guān)注。

在協(xié)方差驅(qū)動的參考點隨機子空間方法中，通過將識別方法中全部測試通道間的相關(guān)函數(shù)計算減少為全部通道僅和參考通道間的相關(guān)計算，顯著減少了該類方法的計算量。該方法在減少運算量的同時，是否會對模態(tài)參數(shù)識別精度帶來影響，則有待研究。該文將在闡述該方法的識別理論的基礎(chǔ)上，以一個數(shù)值算例探討參考點隨機子空間方法的識別效率，包括運算時間及結(jié)果的準(zhǔn)確性，并對參考通道的選擇提出參考意見。

1　協(xié)方差驅(qū)動的參考點隨機子空間識別

1.1隨機狀態(tài)方程

一個連續(xù)彈性體結(jié)構(gòu)可通過有限元方法離散為n個自由度的有限維結(jié)構(gòu)，在動力荷載下的振動微分方程為：

式中：M、C2、K∈Rn×n分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；F（t）、U（t）∈Rn×1分別為激勵力向量和位移響應(yīng)向量；B2∈Rn×m為確定輸入位置的選擇矩陣；u（t）∈Rm×1為激勵力向量。

對式（1）進行狀態(tài)方程變換，即令狀態(tài)向量x（t）∈R2n×1、系統(tǒng)矩陣Ac∈R2n×2n和輸入矩陣Bc∈R2n×1分別為：

則式（1）可化為：

如果振動測量通道數(shù)為l個，測量物理量可以為加速度、速度或位移，即+CdU（t），其中Ca、Cv、Cd∈Rl×2n分別為對加速度、速度、位移的選擇矩陣，考慮狀態(tài)向量和響應(yīng)間的關(guān)系，即可得到輸出方程為：

式中：C=［Cd-CaM-1K Cv-CaM-1C2］；D= CaM-1B2。

式（3）和式（4）便組成聯(lián)系系統(tǒng)的確定性狀態(tài)方程組。考慮離散采樣和不可避免地存在過程噪聲wk和測量噪聲vk，該方程組可化成如下離散隨機狀態(tài)方程組：

式中：A為離散系統(tǒng)矩陣，A=exp（AcΔt）；xk為離散時間狀態(tài)向量，xk=x（kΔt）；Δt為采樣時間間隔；B為離散輸入矩陣，；向量uk∈Rm×1和yk∈Rl×1分別為系統(tǒng)在k時刻的m個輸入、l個輸出測量值；C∈Rl×2n為輸出矩陣；D∈Rl×m為直接作用矩陣。

1.2模態(tài)參數(shù)識別

在基于環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)識別中，激勵未測量，假定結(jié)構(gòu)受到零均值平穩(wěn)白噪聲激勵，則離散隨機狀態(tài)方程組化為：

式中：δpq為kronecker記號。

振動測試中，測量物理量通常為加速度信號，參考點隨機子空間方法的識別程序是首先構(gòu)造全部l個測量通道加速度與m′個參考點通道間的相關(guān)函數(shù)的Toeplitz矩陣（非參考點協(xié)方差隨機子空間方法則為全部通道間的相關(guān)函數(shù)矩陣）：

式中：

由隨機狀態(tài)方程的性質(zhì)可將Toeplitz矩陣表示為擴展觀測矩陣O和逆向隨機控制矩陣Γ的積，得到擴展觀測矩陣表達式為：

則離散系統(tǒng)矩陣A可由擴展觀測矩陣的移位結(jié)構(gòu)關(guān)系得到：

C矩陣可直接取擴展觀測矩陣O的上2n行得到。模態(tài)頻率、阻尼及振型fk、ξk、φk可通過對離散系統(tǒng)矩陣A進行特征值分解A=ΨλΨT后由下式得到：

值得注意的是：在式（10）中，理論上系統(tǒng)真實階次可由不為零的奇異值數(shù)量決定，但在實際應(yīng)用中，奇異值普遍不為零，甚至它們的值之間也不會出現(xiàn)顯著差異。這時根據(jù)虛擬模態(tài)（計算模態(tài)）將不會穩(wěn)定出現(xiàn)的特點，可假定系統(tǒng)階次在一定范圍內(nèi)變化，在各階次中穩(wěn)定出現(xiàn)的總次數(shù)來判斷其是否是真實的物理模態(tài)，即穩(wěn)定圖方法。

2　數(shù)值算例

應(yīng)用MIDAS/Civil軟件建立一平面等截面簡支梁，計算跨徑32 m，斷面為GB-YB工字形，型號為I100×68×4.5/7.6，材料為Q235鋼材，彈性模量206 GPa，有限元離散劃分為16個平面梁單元，單元長度2.0 m（如圖1所示）。在橋梁半跨內(nèi)的第2～9號節(jié)點豎向同時施加有限帶寬白噪聲動荷載模擬環(huán)境激勵。根據(jù)響應(yīng)結(jié)果，對照非參考點隨機子空間方法研究參考點識別方法的識別精度，同時探討參考點的選擇方法。

圖1　簡支梁數(shù)值模型

2.1生成白噪聲激勵信號

采用的目標(biāo)時域白噪聲激勵力信號的峰值為1 k N，采樣頻率fs為50 Hz，持續(xù)時間T為180 s。該信號采用MATLAB程序首先由白噪聲的已知功率譜密度函數(shù)推求頻譜函數(shù)，再疊加隨機相位譜后經(jīng)傅里葉逆變換生成。有限帶寬白噪聲功率譜密度值指定在0.01～100 Hz區(qū)段為1.0，原始采樣頻率f?s為400 Hz，其他頻率區(qū)間為零，生成信號的功率譜密度如圖2所示。將該信號經(jīng)1/8倍重采樣和峰值調(diào)整后便得到目標(biāo)信號（如圖3所示）。連續(xù)執(zhí)行8次得到所需的8個節(jié)點動荷載歷程。

圖2　生成信號的功率譜密度

圖3　節(jié)點動荷載時程

2.2模態(tài)參數(shù)識別

取各階振型阻尼比均為3%，應(yīng)用MIDAS程序中振型疊加法進行時程分析，得到第2～16號節(jié)點180 s內(nèi)的加速度響應(yīng)歷程。如果將所有通道的響應(yīng)都作為參考通道，即應(yīng)用傳統(tǒng)的協(xié)方差驅(qū)動隨機子空間方法進行模態(tài)參數(shù)識別，得到10 Hz內(nèi)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定圖和前5階頻率分別如圖4、表1所示。圖4中的穩(wěn)定判別準(zhǔn)則取頻率分辨Δf=2%，阻尼分辨率Δξ=10%，屬于相同階模態(tài)的模態(tài)保證準(zhǔn)則最小值為0.95，即取ΔMAC=5%，數(shù)據(jù)Toeplitz矩陣塊行為30，即計算相關(guān)矩陣的最大時延為59Δt，狀態(tài)空間模型階次取80～160，判定為物理模態(tài)的穩(wěn)定次數(shù)為≥20，計算時間為19.47 s（計算機CPU為Intel Core i3-2350M，主頻2.3 GHz，內(nèi)存4 G。圖4中也顯示出了全部通道的平均功率譜密度函數(shù)圖形（縱坐標(biāo)已和模型階次變化范圍匹配），可以清晰地得出系統(tǒng)物理模態(tài)位置區(qū)域，與隨機子空間識別結(jié)果一致。

圖4　非參考點隨機子空間識別的穩(wěn)定圖

選取節(jié)點3、7～11、15共7個節(jié)點為參考點進行隨機子空間識別的穩(wěn)定圖如圖5所示，計算時間為11.32 s，節(jié)約約40%的計算時間。識別的頻率、阻尼結(jié)果等如表1所示。由表1可見：參考點方法與非參考點方法相比，頻率及振型識別結(jié)果差別甚微，阻尼有一定差別，該算例中部分振型（如第1及第5階）阻尼比更趨于真值（3%）。

3　結(jié)論

基于環(huán)境激勵的模態(tài)參數(shù)識別方法是大型工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、振動控制等研究與應(yīng)用的發(fā)展方向之一。近年提出的基于參考點的隨機子空間模態(tài)參數(shù)識別理論進一步提高了隨機子空間方法的計算效率，其中協(xié)方差驅(qū)動的參考點隨機子空間方法步驟簡練，在選取可觀測性好的自由度通道作為參考點時其識別結(jié)果準(zhǔn)確可靠，值得推廣。

圖5　參考點隨機子空間識別的穩(wěn)定圖

表1　參考點隨機子空間方法識別結(jié)果與非參考點方法對比

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中圖分類號：U441

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-2668（2016）03-0198-04

收稿日期：2016-03-07