邱勝華
(中鐵十二局集團(tuán)第一工程有限公司,陜西西安 710038)
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參考點(diǎn)隨機(jī)子空間模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的效率探討
邱勝華
(中鐵十二局集團(tuán)第一工程有限公司,陜西西安 710038)
摘要:結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的獲取對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、狀態(tài)監(jiān)測、振動(dòng)控制有著非常重要的意義。在橋梁健康監(jiān)測領(lǐng)域,基于環(huán)境激勵(lì)的隨機(jī)子空間方法是模態(tài)參數(shù)識(shí)別中最先進(jìn)的方法之一?;趨⒖键c(diǎn)的隨機(jī)子空間方法不僅能很好地適應(yīng)大型工程結(jié)構(gòu)測點(diǎn)分組測量的特點(diǎn),而且較傳統(tǒng)的隨機(jī)子空間方法減少了識(shí)別過程中的計(jì)算量,但對(duì)于其識(shí)別精度還沒有詳細(xì)考證。文中在闡述該方法相關(guān)理論的同時(shí),以一座梁橋的數(shù)值模擬算例進(jìn)行分析,結(jié)果表明基于參考點(diǎn)的隨機(jī)子空間方法的識(shí)別結(jié)果準(zhǔn)確可靠,并對(duì)選擇參考通道的方法提出了建議。
關(guān)鍵詞:橋梁;模態(tài)參數(shù)識(shí)別;隨機(jī)子空間;識(shí)別效率
準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析、狀態(tài)監(jiān)測和結(jié)構(gòu)控制等研究都有著非常重要的意義。但是傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別要求同時(shí)測量輸入和輸出信號(hào),這給大型工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測試帶來不少困難,如難以施加有足夠能量的激勵(lì)或激勵(lì)昂貴、測試過程中影響結(jié)構(gòu)的正常使用等。為此,研究者們提出了僅測量結(jié)構(gòu)在正常使用時(shí)的環(huán)境激勵(lì)下的響應(yīng)信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別思路,稱之為基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別或工作模態(tài)分析(OMA)。該類方法不僅無需特意施加人工激勵(lì)和測試過程中不影響結(jié)構(gòu)使用,并且識(shí)別出的模態(tài)參數(shù)反映了結(jié)構(gòu)的真實(shí)邊界條件和工作時(shí)的動(dòng)態(tài)特性,因而得到廣泛關(guān)注和研究。
基于環(huán)境激勵(lì)的方法主要分為頻域類方法和時(shí)域類方法。頻域類方法主要有峰值拾取法、頻率分解法等。時(shí)域類方法主要有:1)Ibrahim S.R.等提出的基于隨機(jī)減量技術(shù)的從白噪聲激勵(lì)下結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)中提取自由響應(yīng)進(jìn)而識(shí)別模態(tài)參數(shù)的ITD法;2)美國Sandia實(shí)驗(yàn)室James G.H.等提出的自然激勵(lì)技術(shù),他們認(rèn)為白噪聲激勵(lì)下測量通道間的互相關(guān)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)具有相同數(shù)學(xué)表達(dá)式,從而以其代替脈沖響應(yīng),再結(jié)合傳統(tǒng)的基于脈沖響應(yīng)的識(shí)別方法完成環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別;3)隨機(jī)子空間方法,該方法的主要貢獻(xiàn)者如Akaike H.首先解決了狀態(tài)空間模型的隨機(jī)實(shí)現(xiàn)問題,Overschee P.V.等于1993年提出了直接基于數(shù)據(jù)的隨機(jī)子空間方法,1999年P(guān)eeters B.等提出基于參考點(diǎn)的隨機(jī)子空間方法。在這些方法中,隨機(jī)子空間方法因無需迭代、計(jì)算量小,識(shí)別結(jié)果精確可靠而得到廣泛關(guān)注。
在協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的參考點(diǎn)隨機(jī)子空間方法中,通過將識(shí)別方法中全部測試通道間的相關(guān)函數(shù)計(jì)算減少為全部通道僅和參考通道間的相關(guān)計(jì)算,顯著減少了該類方法的計(jì)算量。該方法在減少運(yùn)算量的同時(shí),是否會(huì)對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度帶來影響,則有待研究。該文將在闡述該方法的識(shí)別理論的基礎(chǔ)上,以一個(gè)數(shù)值算例探討參考點(diǎn)隨機(jī)子空間方法的識(shí)別效率,包括運(yùn)算時(shí)間及結(jié)果的準(zhǔn)確性,并對(duì)參考通道的選擇提出參考意見。
1.1隨機(jī)狀態(tài)方程
一個(gè)連續(xù)彈性體結(jié)構(gòu)可通過有限元方法離散為n個(gè)自由度的有限維結(jié)構(gòu),在動(dòng)力荷載下的振動(dòng)微分方程為:
式中:M、C2、K∈Rn×n分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;F(t)、U(t)∈Rn×1分別為激勵(lì)力向量和位移響應(yīng)向量;B2∈Rn×m為確定輸入位置的選擇矩陣;u(t)∈Rm×1為激勵(lì)力向量。
對(duì)式(1)進(jìn)行狀態(tài)方程變換,即令狀態(tài)向量x(t)∈R2n×1、系統(tǒng)矩陣Ac∈R2n×2n和輸入矩陣Bc∈R2n×1分別為:
則式(1)可化為:
如果振動(dòng)測量通道數(shù)為l個(gè),測量物理量可以為加速度、速度或位移,即+CdU(t),其中Ca、Cv、Cd∈Rl×2n分別為對(duì)加速度、速度、位移的選擇矩陣,考慮狀態(tài)向量和響應(yīng)間的關(guān)系,即可得到輸出方程為:
式中:C=[Cd-CaM-1K Cv-CaM-1C2];D= CaM-1B2。
式(3)和式(4)便組成聯(lián)系系統(tǒng)的確定性狀態(tài)方程組??紤]離散采樣和不可避免地存在過程噪聲wk和測量噪聲vk,該方程組可化成如下離散隨機(jī)狀態(tài)方程組:
式中:A為離散系統(tǒng)矩陣,A=exp(AcΔt);xk為離散時(shí)間狀態(tài)向量,xk=x(kΔt);Δt為采樣時(shí)間間隔;B為離散輸入矩陣,;向量uk∈Rm×1和yk∈Rl×1分別為系統(tǒng)在k時(shí)刻的m個(gè)輸入、l個(gè)輸出測量值;C∈Rl×2n為輸出矩陣;D∈Rl×m為直接作用矩陣。
1.2模態(tài)參數(shù)識(shí)別
在基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中,激勵(lì)未測量,假定結(jié)構(gòu)受到零均值平穩(wěn)白噪聲激勵(lì),則離散隨機(jī)狀態(tài)方程組化為:
式中:δpq為kronecker記號(hào)。
振動(dòng)測試中,測量物理量通常為加速度信號(hào),參考點(diǎn)隨機(jī)子空間方法的識(shí)別程序是首先構(gòu)造全部l個(gè)測量通道加速度與m′個(gè)參考點(diǎn)通道間的相關(guān)函數(shù)的Toeplitz矩陣(非參考點(diǎn)協(xié)方差隨機(jī)子空間方法則為全部通道間的相關(guān)函數(shù)矩陣):
式中:
由隨機(jī)狀態(tài)方程的性質(zhì)可將Toeplitz矩陣表示為擴(kuò)展觀測矩陣O和逆向隨機(jī)控制矩陣Γ的積,得到擴(kuò)展觀測矩陣表達(dá)式為:
則離散系統(tǒng)矩陣A可由擴(kuò)展觀測矩陣的移位結(jié)構(gòu)關(guān)系得到:
C矩陣可直接取擴(kuò)展觀測矩陣O的上2n行得到。模態(tài)頻率、阻尼及振型fk、ξk、φk可通過對(duì)離散系統(tǒng)矩陣A進(jìn)行特征值分解A=ΨλΨT后由下式得到:
值得注意的是:在式(10)中,理論上系統(tǒng)真實(shí)階次可由不為零的奇異值數(shù)量決定,但在實(shí)際應(yīng)用中,奇異值普遍不為零,甚至它們的值之間也不會(huì)出現(xiàn)顯著差異。這時(shí)根據(jù)虛擬模態(tài)(計(jì)算模態(tài))將不會(huì)穩(wěn)定出現(xiàn)的特點(diǎn),可假定系統(tǒng)階次在一定范圍內(nèi)變化,在各階次中穩(wěn)定出現(xiàn)的總次數(shù)來判斷其是否是真實(shí)的物理模態(tài),即穩(wěn)定圖方法。
應(yīng)用MIDAS/Civil軟件建立一平面等截面簡支梁,計(jì)算跨徑32 m,斷面為GB-YB工字形,型號(hào)為I100×68×4.5/7.6,材料為Q235鋼材,彈性模量206 GPa,有限元離散劃分為16個(gè)平面梁單元,單元長度2.0 m(如圖1所示)。在橋梁半跨內(nèi)的第2~9號(hào)節(jié)點(diǎn)豎向同時(shí)施加有限帶寬白噪聲動(dòng)荷載模擬環(huán)境激勵(lì)。根據(jù)響應(yīng)結(jié)果,對(duì)照非參考點(diǎn)隨機(jī)子空間方法研究參考點(diǎn)識(shí)別方法的識(shí)別精度,同時(shí)探討參考點(diǎn)的選擇方法。
圖1 簡支梁數(shù)值模型
2.1生成白噪聲激勵(lì)信號(hào)
采用的目標(biāo)時(shí)域白噪聲激勵(lì)力信號(hào)的峰值為1 k N,采樣頻率fs為50 Hz,持續(xù)時(shí)間T為180 s。該信號(hào)采用MATLAB程序首先由白噪聲的已知功率譜密度函數(shù)推求頻譜函數(shù),再疊加隨機(jī)相位譜后經(jīng)傅里葉逆變換生成。有限帶寬白噪聲功率譜密度值指定在0.01~100 Hz區(qū)段為1.0,原始采樣頻率f?s為400 Hz,其他頻率區(qū)間為零,生成信號(hào)的功率譜密度如圖2所示。將該信號(hào)經(jīng)1/8倍重采樣和峰值調(diào)整后便得到目標(biāo)信號(hào)(如圖3所示)。連續(xù)執(zhí)行8次得到所需的8個(gè)節(jié)點(diǎn)動(dòng)荷載歷程。
圖2 生成信號(hào)的功率譜密度
圖3 節(jié)點(diǎn)動(dòng)荷載時(shí)程
2.2模態(tài)參數(shù)識(shí)別
取各階振型阻尼比均為3%,應(yīng)用MIDAS程序中振型疊加法進(jìn)行時(shí)程分析,得到第2~16號(hào)節(jié)點(diǎn)180 s內(nèi)的加速度響應(yīng)歷程。如果將所有通道的響應(yīng)都作為參考通道,即應(yīng)用傳統(tǒng)的協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別,得到10 Hz內(nèi)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定圖和前5階頻率分別如圖4、表1所示。圖4中的穩(wěn)定判別準(zhǔn)則取頻率分辨Δf=2%,阻尼分辨率Δξ=10%,屬于相同階模態(tài)的模態(tài)保證準(zhǔn)則最小值為0.95,即取ΔMAC=5%,數(shù)據(jù)Toeplitz矩陣塊行為30,即計(jì)算相關(guān)矩陣的最大時(shí)延為59Δt,狀態(tài)空間模型階次取80~160,判定為物理模態(tài)的穩(wěn)定次數(shù)為≥20,計(jì)算時(shí)間為19.47 s(計(jì)算機(jī)CPU為Intel Core i3-2350M,主頻2.3 GHz,內(nèi)存4 G。圖4中也顯示出了全部通道的平均功率譜密度函數(shù)圖形(縱坐標(biāo)已和模型階次變化范圍匹配),可以清晰地得出系統(tǒng)物理模態(tài)位置區(qū)域,與隨機(jī)子空間識(shí)別結(jié)果一致。
圖4 非參考點(diǎn)隨機(jī)子空間識(shí)別的穩(wěn)定圖
選取節(jié)點(diǎn)3、7~11、15共7個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)子空間識(shí)別的穩(wěn)定圖如圖5所示,計(jì)算時(shí)間為11.32 s,節(jié)約約40%的計(jì)算時(shí)間。識(shí)別的頻率、阻尼結(jié)果等如表1所示。由表1可見:參考點(diǎn)方法與非參考點(diǎn)方法相比,頻率及振型識(shí)別結(jié)果差別甚微,阻尼有一定差別,該算例中部分振型(如第1及第5階)阻尼比更趨于真值(3%)。
基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法是大型工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、振動(dòng)控制等研究與應(yīng)用的發(fā)展方向之一。近年提出的基于參考點(diǎn)的隨機(jī)子空間模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論進(jìn)一步提高了隨機(jī)子空間方法的計(jì)算效率,其中協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的參考點(diǎn)隨機(jī)子空間方法步驟簡練,在選取可觀測性好的自由度通道作為參考點(diǎn)時(shí)其識(shí)別結(jié)果準(zhǔn)確可靠,值得推廣。
圖5 參考點(diǎn)隨機(jī)子空間識(shí)別的穩(wěn)定圖
表1 參考點(diǎn)隨機(jī)子空間方法識(shí)別結(jié)果與非參考點(diǎn)方法對(duì)比
參考文獻(xiàn):
[1] Peters B,Roeck D G.Stochastic system identification for operational modal analysis:a review[J].Journal of Dynamics,Measurement,and Control,ASME,2001,123 (4).
[2] 續(xù)秀忠,華宏星,陳兆能.基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別綜述[J].振動(dòng)與沖擊,2002,21(3).
[3] 鄭棟梁,李中付.環(huán)境激勵(lì)下線性結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的最新進(jìn)展[J].測試技術(shù)學(xué)報(bào),2002(16).
[4] Brinker R,Zhang L,Anderden P.Modal identification from ambient responses using frequency domain decomposition[A].Proceedings of 18th IMAC[C].2000.
[5] Ibrahim S R.Random decrement technique for modal identification of structure[J].Journal of Spacecraft and Rockets,1977,14(11).
[6] Ibrahim S R,Mikulcik E C.A method for the direct identification of vibration parameters from the free response [J].The Shock and Vibration Bulletin,1977,47(4).
[7] James G H,Garne T G.Thenatural excitation technique(NEx T)for modal parameter extraction from ambient operating structure[J].The International Journal of Analytical and Experimental Analysis,1995,10(4).
[8] Akaike H.Stochastic theory of minimal realization[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1974,19.
[9] Overschee P V,Moor B D.Subspace algorithm for the stochastic identification problem[J].Automatic,1993,29(3).
[10] Peeter B,Roeck G D.Reference-based stochastic subspace identification for output-only modal analysis [J].Mechanical System and Signal Processing,1999,3(6).
[11] 常軍.隨機(jī)子空間方法在橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用研究[D].上海:同濟(jì)大學(xué),2006.
[12] 張小寧.基于隨機(jī)子空間方法的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)識(shí)別[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2012.
[13] 常軍,孫利民,張啟偉.基于兩階段穩(wěn)定圖的隨機(jī)子空間識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)[J].地震工程與工程振動(dòng),2008,28(3).
[14] 姚志遠(yuǎn),汪鳳泉,劉艷.工程結(jié)構(gòu)模態(tài)的連續(xù)型隨機(jī)子空間分解識(shí)別方法[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,34(3).
中圖分類號(hào):U441
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A
文章編號(hào):1671-2668(2016)03-0198-04
收稿日期:2016-03-07