石煥南，張鑒，顧春

凸數(shù)列的幾個(gè)加權(quán)和性質(zhì)的控制證明

石煥南，張鑒，顧春

(北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院基礎(chǔ)部，北京100011)

利用受控理論并結(jié)合概率方法給出凸數(shù)列的幾個(gè)加權(quán)和性質(zhì)的新證明.

凸數(shù)列;加權(quán)和;受控;概率方法;不等式

受控理論(Theory of Majorization)，亦稱控制不等式理論是不等式研究的有力武器.近些年我國(guó)學(xué)者在國(guó)內(nèi)外已發(fā)表了眾多有關(guān)該領(lǐng)域的研究論文，例如文獻(xiàn)［1－6］，詳細(xì)的內(nèi)容請(qǐng)參見文獻(xiàn)［7］.

在本文中，Rn和分別表示n維實(shí)數(shù)集和n維非負(fù)整數(shù)集，并記R1=R，=Z+.N*表示正整數(shù)集.若實(shí)數(shù)列{ai}(有限的{ai}或無限的{ai})滿足條件

其中i=2，3，…，n－1或i≥2，則稱{ai}是一個(gè)凸數(shù)列.若上述不等式反向，則稱數(shù)列{ai}是一個(gè)凹數(shù)列.

文獻(xiàn)［8－9］利用數(shù)學(xué)歸納法和Abel變換給出了凸數(shù)列的幾個(gè)有趣的加權(quán)和性質(zhì)，即下述5個(gè)定理.本文利用受控理論并結(jié)合概率方法給出這些結(jié)果的新的證明.

定理1［8］若{ai}是一個(gè)凸數(shù)列，p∈Z+，則對(duì)任意的n∈N*有

定理2［8］若{ai}是一個(gè)凸數(shù)列，p∈Z+，則對(duì)任意的n∈N*有

定理3［9］若{ai}是一個(gè)凸數(shù)列，則對(duì)任意的n∈N*，n≥3有

定理4［9］若{ai}是一個(gè)凸數(shù)列，則對(duì)任意的n∈N*，n≥3有

定理5［9］若{ai}是一個(gè)凸數(shù)列，則對(duì)任意的n∈N*，n≥2有

其中k、m是不小于n的正整數(shù).

1 定義和引理

需要如下定義和引理.

定義1［10－11］設(shè)x=(x1，…，xn)和y=(y1，…，yn)滿足:

其中x［1］≥…≥x［n］和y［1］≥…≥y［n］是x和y的遞減重排，則稱x被y所控制，記作x

引理1［10－11］設(shè)x=(x1，…，xn)∈Rn，則

引理2［12－13］設(shè)n≥2，數(shù)列{ai}是凸數(shù)列的充要條件為:對(duì)于一切p，q∈，若p

引理3［10－11］設(shè)x，y∈Rn，x1≥x2≥…≥xn且若存在k，1≤k＜n，使得xi≤yi， i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，n，則x

引理4［9］對(duì)任意n∈N*，有下列等式:

下面用概率方法證明幾個(gè)組合恒等式.

引理5設(shè)p∈Z+，則對(duì)任意的n∈N*有

證明考慮隨機(jī)試驗(yàn):從自然數(shù)1到p+n+1中任取p+1個(gè)數(shù)，令A(yù)i表示取出的p+1個(gè)數(shù)的最大數(shù)是p+i+1，則

顯然諸Ai互不相容，由此即得(15)式.

引理6設(shè)p∈Z+，則對(duì)任意的n∈N*，及任意不小于n的正整數(shù)k、m有

證明考慮隨機(jī)試驗(yàn):袋里裝有n+k個(gè)球，其中m個(gè)紅球，k個(gè)白球.現(xiàn)從中任取n(n≤k，n≤m)個(gè)球，令X表示取出的n個(gè)球中的白球數(shù)，則

若令

則X=X1+…+Xk，而

E(Xi)=P(Xi=1)=P(若第i個(gè)白球被取出)=

于是

結(jié)合(18)和(20)式即得(17)式.

引理7設(shè)p∈Z+，則對(duì)任意n∈N*有

證明考慮隨機(jī)試驗(yàn):從自然數(shù)1到p+n+1中任取p+1個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量X表示取出的最大數(shù)與p+1的差，則

從而有

即

又有

另一方面，據(jù)文獻(xiàn)［14］，對(duì)于整值隨機(jī)變量X有

結(jié)合(24)和(25)式有

(21)式得證.

對(duì)(21)式作變換n－i→i，可知

(22)式得證.

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明令

由(23)式有

又由(21)式有

再由x和y的結(jié)構(gòu)，易見存在k，1≤k≤m，使得xi≤yi，i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，m，故據(jù)引理3知x

令

由(15)式有

又由(22)式有

再由u和v的結(jié)構(gòu)，易見存在k，1≤k≤m，使得ui≤vi，i=1，2，…，k，ui≥vi，i=k+1，…，m，故據(jù)引

理3知u

定理2的證明令

注意

定理3的證明令

再由x和y的結(jié)構(gòu)，易見存在k，1≤k≤m，使得xi≤yi，i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，m，故據(jù)引理3知x

定理4的證明令

令

由引理4有

注意n2≤2n－3n(n+3)，易見存在k，1≤k≤m，使得ui≤vi，i=1，2，…，k，ui≥vi，i=k+1，…，m，故據(jù)引理3知u

定理5的證明令

令

由引理7有

再由u和v的結(jié)構(gòu)，易見存在j，1≤j≤s，使得ui≤vi，i=1，2，…，j，ui≥vi，i=j+1，…，s，故據(jù)引理3知u

［1］張小明，李世杰.兩個(gè)與初等對(duì)稱函數(shù)有關(guān)的S－幾何凸函數(shù)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，30(2):188－190.

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Majorized Proof of Several Weighted Sum Properties for Convex Sequence

SHI Huannan，ZHANG Jian，GU Chun
(Department of Basic Courses，College of Teacher’s，Beijing Union University，Beijing 100011)

Using the theory of majorization with the probability method，a new proof of several weighted sum properties for convex sequence is given.

convex sequence;weighted sum;majorization;probability method;inequality

O178

A

1001－8395(2016)03－0373－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.013

(編輯余毅)

2015－03－31

北京市教育委員會(huì)科技計(jì)劃面上項(xiàng)目(KM201111417006)

石煥南(1948—)，男，教授，主要從事解析不等式的研究，E－mail:sfthuannan@buu.edu.cn

2010 MSC:26B25;26D15