胡晴，王芳貴，熊濤

非交換環(huán)上的強(qiáng)余撓模

胡晴，王芳貴*，熊濤

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

設(shè)R是任何環(huán)，L是R－模.若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M，有Ext1R(M，L)=0，則L稱(chēng)為強(qiáng)余撓模.證明(F∞，SC)是余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)l.FFD(R)＜∞，其中F∞和SC分別表示平坦維數(shù)有限的模類(lèi)和強(qiáng)余撓模類(lèi).還證明若w.gl.dim(R)＜∞，則強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模.最后證明每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán)，且l.FFD(R)=0.

余撓模;強(qiáng)余撓模;平坦維數(shù);左完全環(huán);環(huán)的弱finitistic維數(shù)

1 預(yù)備知識(shí)

本文恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均指左模.用fdRL和pdRL分別表示R－模L的平坦維數(shù)和投射維數(shù);gl.dim(R)和w.gl.dim(R)分別表示環(huán)R的整體維數(shù)和弱整體維數(shù).

D.K.Harrison［1］為了刻畫(huà)非有限的Abelian群的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，引入了余撓模的概念.R－模C稱(chēng)為余撓模，是指對(duì)一切平坦模F，都有Ext1R(F，C)=0.其后E.E.Enochs［2］對(duì)余撓模的刻畫(huà)做了大量的研究工作.J.Z.Xu［3］系統(tǒng)地討論了余撓模的相關(guān)性質(zhì)，證明了平坦模類(lèi)F與余撓模類(lèi)C二者構(gòu)成了余撓理論，還證明了每個(gè)R－模是余撓模當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是左完全環(huán).L.Bican等［4］解決了平坦蓋的猜測(cè)，即證明了對(duì)任何環(huán)R，每一R－模都有平坦蓋;等價(jià)于說(shuō)，每一R－模都有余撓包.

余撓模的研究按照平坦維數(shù)在進(jìn)一步發(fā)展.S.B.Lee［5］引入弱內(nèi)射模來(lái)刻畫(huà)幾乎完全整環(huán).R－模W稱(chēng)為弱內(nèi)射模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)不超過(guò)1的模M，都有Ext1R(M，W)=0.交換環(huán)R稱(chēng)為幾乎完全環(huán)，是指R的任何真商環(huán)都是完全環(huán)［6］.借助于弱內(nèi)射模，文獻(xiàn)［7－9］證明了整環(huán)R是幾乎完全整環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)平坦維數(shù)不超過(guò)1的模的投射維數(shù)也不超過(guò)1;當(dāng)且僅當(dāng)可除模是弱內(nèi)射模.

E.E.Enochs等［10］按照余撓模的研究思路考察了更一般的情形，他們稱(chēng)之為n－余撓模.不過(guò)n－余撓模的不同的定義在文獻(xiàn)［11］已經(jīng)出現(xiàn)，熊濤［12］遵循S.B.Lee［5］的思路，把Enochs意義下的n－余撓模稱(chēng)為L(zhǎng)n－內(nèi)射模.R－模L稱(chēng)為L(zhǎng)n－內(nèi)射模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)不超過(guò)n的模M，都有Ex(M，L)=0.

在這些研究的基礎(chǔ)上，討論文獻(xiàn)［3］引入的強(qiáng)余撓模.R－模L稱(chēng)為強(qiáng)余撓模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M，都有Ext1R(M，L)=0.D.Bennis等［13］證明了若R是交換環(huán)，則每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán).H.Y.Yan［14］在一般的非交換環(huán)上也討論了強(qiáng)余撓模的性質(zhì).本文借助環(huán)的弱finitistic維數(shù)來(lái)刻畫(huà)強(qiáng)余撓模的相關(guān)性質(zhì).

2 強(qiáng)余撓模的基本性質(zhì)

定義2.1［3］設(shè)L是R－模.若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M有

Ext1R(M，L)=0，則L稱(chēng)為強(qiáng)余撓模.

例2.21)顯然，內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模;

2)對(duì)任何n≥0，強(qiáng)余撓模是Ln－內(nèi)射模.因此，強(qiáng)余撓模是弱內(nèi)射模(自然也余撓模).

命題2.3對(duì)任何R－模L，以下等價(jià):

1)L是強(qiáng)余撓模;

3)形如0→L→B→C→0的正合列是分裂的，其中fdRC＜∞;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中fdRC＜∞，則

0→HomR(C，L)→HomR(B，L)→HomR(A，L)→0也是正合列.

證明1)?2)設(shè)0→A→P→M→0是正合列，其中P是投射模.于是對(duì)任何k≥1有

ExtkR(A，L)≌Extk+1R(M，L).

注意fdRA＜∞.于是斷言由對(duì)k使用歸納法即證.

2)?1)顯然.

1)?3)由文獻(xiàn)［15］的推論7.20即知.

1)?4)由Ext1R(C，L)=0即得.

4)?1)考慮正合列0→A→P→C→0，其中P是投射模.于是

是正合列.由假設(shè)得到正合列

0→Ext1R(C，L)→0，

因此有Ext1R(C，L)=0，即L是強(qiáng)余撓模.

命題2.4設(shè)0→A→B→C→0是正合列.若A是強(qiáng)余撓模，則B是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)C是強(qiáng)余撓模.

證明設(shè)M是R－模，fdRM＜∞，由正合列

并引用命題2.3的2)即得.

命題2.5設(shè){Li}是一簇R－模，則∏iLi是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)每一Li是強(qiáng)余撓模.

證明設(shè)M是R－模，fdRM＜∞.由同構(gòu)關(guān)系即得所證.

下面給出強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模的一個(gè)充分條件.

定理2.6設(shè)L是強(qiáng)余撓模.若fdRL＜∞，且fdRE(L)＜∞，其中E(L)是模L的內(nèi)射包，則L是內(nèi)射模.

證明考慮正合列0→L→E(L)→C→0，由條件有fdRC＜∞.由命題2.3，此正合列分裂，因此有L是內(nèi)射模.

因此，可以得到如下推論:

推論2.7若w.gl.dim(R)＜∞，則每一強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模.

在文獻(xiàn)［16］中定義了模的余撓維數(shù)和環(huán)的整體余撓維數(shù)(cot.D(R)).相應(yīng)地，在文獻(xiàn)［13］中也定義了模的強(qiáng)余撓維數(shù)和環(huán)的整體強(qiáng)余撓維數(shù)S.cot.D(R).由于w.gl.dim(R)＜∞時(shí)強(qiáng)余撓模就是內(nèi)射模，故得到下面的結(jié)果.

推論2.8［16］若w.gl.dim(R)＜∞，則

gl.dim(R)=S.cot.D(R).

回顧環(huán)R稱(chēng)為左IF環(huán)，是指每一內(nèi)射R－模是平坦模［17］.由定理2.6，可以得到以下推論.

推論2.9若R是左IF環(huán)，L是強(qiáng)余撓模，且fdRL＜∞，則L是內(nèi)射模.

3 模類(lèi)F∞與模類(lèi)SC

設(shè)(A，B)是一個(gè)模類(lèi)對(duì).記

A⊥={B∈RM|對(duì)任何A∈A，Ex(A，B)=0}，以及

⊥B={A∈RM|對(duì)任何B∈B，Ex(A，B)=0}.若A=⊥B，且B=A⊥，則(A，B)稱(chēng)為一個(gè)余撓對(duì)或一個(gè)余撓理論.J.Z.Xu［3］證明了平坦模類(lèi)與余撓模類(lèi)(F，C)構(gòu)成了余撓理論.S.B.Lee［5］證明了平坦維數(shù)不超過(guò)1的模類(lèi)與弱內(nèi)射模類(lèi)(F1，WI)構(gòu)成了余撓理論.更一般地，用Fn表示平坦維數(shù)不超過(guò)n的模類(lèi)，Ln表示Ln－內(nèi)射模類(lèi)，熊濤［12］證明了(Fn，Ln)構(gòu)成了余撓理論.用F∞表示平坦維數(shù)有限的模類(lèi)，SC表示強(qiáng)余撓模類(lèi).由定義2.1知SC= F∞

⊥，F(xiàn)∞?⊥SC.下面證明一般地有(F∞，SC)不構(gòu)成余撓理論.

命題3.1

證明第一個(gè)等式是顯然的，第二個(gè)等式在文獻(xiàn)［10］中已經(jīng)指出.

定義3.2［18］環(huán)R的弱finitistic維數(shù)定義為

命題3.3若l.FFD(R)=∞，則存在R－模M，使得fdRM=∞，但對(duì)任何L∈SC有

證明由條件l.FFD(R)=∞，有對(duì)任何正整數(shù)n，存在R－模Mn，使得fdRMn=n.令

則

由于對(duì)任何L∈SC，有Ext1R(Mn，L)=0，因此有

推論3.4若l.FFD(R)=∞，則(F∞，SC)不構(gòu)成余撓理論.

引理3.5設(shè)R為環(huán)，F(xiàn)∞=⊥SC當(dāng)且僅當(dāng)F∞在直和下封閉.

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］的命題2.14.

文獻(xiàn)［14］證明了(F∞，SC)構(gòu)成余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)F∞在直和下封閉.也可以用弱finitistic維數(shù)給出(F∞，SC)何時(shí)構(gòu)成余撓理論的刻畫(huà).為此，需要下面的引理.

引理3.6設(shè)n是自然數(shù)，M和L是R－模，則:

1)M∈Fn當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何

2)L∈Ln當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［12］.

定理3.7對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)l.FFD(R)＜∞;

2)存在自然數(shù)n，使得Fn=F∞;

3)存在自然數(shù)n，使得Ln=SC;

4)存在自然數(shù)n，使得每一Ln－內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模;

5)(F∞，SC)構(gòu)成余撓理論.

證明1)?2)設(shè)l.FFD(R)=n，則當(dāng)fdRM＜∞時(shí)，就有fdRM≤n.由此得到Fn=F∞.

2)?3)顯然，這是因?yàn)?/p>

3)?4)這是平凡的.

4)?1)設(shè)M是R－模，fdRM＜∞，則對(duì)任何L∈Ln，由條件，L是強(qiáng)余撓模，故由引理3.6，fdRM≤n.于是有l(wèi).FFD(R)≤n＜∞.

2)+3)?5)由文獻(xiàn)［12］，(Fn，Ln)構(gòu)成余撓理論.

5)?1)由推論3.4可知.

對(duì)定理3.7的證明作適當(dāng)變更，容易得以下定理.

定理3.8設(shè)n是自然數(shù)，對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)l.FFD(R)≤n;

2)Fn=F∞;

3)Ln=SC;

4)每一Ln－內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模.

推論3.9每一余撓模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)l.FFD(R)=0.

推論3.10每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán)，且l.FFD(R)=0.

證明若每一R－模是強(qiáng)余撓模，則每一R－模是余撓模.由文獻(xiàn)［3］的命題3.3.1，R是左完全環(huán).由推論3.9，l.FFD(R)=0.

反之，設(shè)R是左完全環(huán)，且l.FFD(R)=0.設(shè)C是任何R－模，M是R－模，fdRM＜∞.由于

［1］HARRISON D K.Infinite abelian groups and homological methods［J］.Ann Math，1959，69(2):366－391.

［2］ENOCHS E E.Flat Covers and flat cotorsion modules［J］.Proc AMS，1984，92(2):179－184.

［3］XU J Z.Flat Covers of Modules［M］.New York:Springer－Verlag，1996.

［4］BICAN L，BASHIR E，ENOCHS E E.All modules have flat covers［J］.Bull London Math Soc，2001，33:385－390.

［5］LEE S B.Weak－injective modules［J］.Commum Algebra，2006，34:361－370.

［6］BAZZONI S，SALCE L.Almost perfect domain［J］.Colloq Math，2003，95:285－301.

［7］FUCHS L，LEE S B.Weak－injectivity and almost perfect domains［J］.J Algebra，2009，321:18－27.

［8］FUCHA L，LEE S B.On weak－injective modules over integral domains［J］.J Algebra，2010，323:1872－1878.

［9］SALCE L.Almost perfect domains and their modules［C］//Commutaive Algebra.New York:Springer－Verlag，2010:363－386.

［10］ENOCHS E E，HUANG Z Y.Injective envelopes and(Gorenstein)flat covers［J］.Algebra Rep Theory，2012，15:1131－1145.

［11］MAO L X，DING N Q.Relative cotorsion modules and relative flat modules［J］.Commum Algebra，2006，34:2303－2317.

［12］熊濤.Ln－內(nèi)射模與Ln－內(nèi)射維數(shù)［D］.成都:四川師范大學(xué)，2015.

［13］BENNIS D，JHILAL A.Strongly cotorsion dimension［J］.Advances in Algebra，2009，2(1):31－37.

［14］YAN H Y.Strongly cotorsion(torsion－free)modules and cotorsion pairs［J］.Bull Korean Math，2010，47(5):1041－1052.

［15］ROTMAN J J.An Introduction to Homological Algebra［M］.London:Academic Press，1979.

［16］MAO L X，Ding N Q.The cotorsion dimension of modules and rings［C］//A Series of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics.Boca Raton:Chapamn Hall/CRC，2006:217－233.

［17］JAIN S.Flat and FP－injective［J］.Proc AMS，1973，41(2):437－442.

［18］BASS H.Finitistic dimension and a homological generalization of semi－primary rings［J］.Trans AMS，1960，95:466－488.

［19］JENSEN C U.On the vanishing of［J］.J Algebra，1970，15:155－166.

［20］KAPLANSKY I.Commutative Rings［M］.Revised Ed.Chicago:Univ of Chicago Press，1974.

［21］熊濤，王芳貴，胡葵.余純投射模與CPH環(huán)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，36(2):198－200.

［22］王芳貴.交換環(huán)與星型算子理論［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

Strongly Cotorsion Modules over Non-commutative Rings

HU Qing，WANG Fanggui，XIONG Tao
(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and L an R-module.If Ext1R(M，L)=0 for all R-module M with finite flat dimension，then L is called strongly cotorsion.In this paper，it is shown that(F∞，SC)is a cotorsion theory if and only if l.FFD(R)＜∞，where F∞and SC denote respectively the class of modules with finite flat dimension and the class of strongly cotorsion modules.It is also shown that if w.gl.dim (R)＜∞，then all strongly cotorsion modules are injective.It is finally proved that every R-module is strongly cotorsion if and only if R is left perfect with l.FFD(R)=0.

cotorsion module;strongly cotorsion module;flat dimension;left perfect ring;weak finitistic dimension of a ring

O154

A

1001－8395(2016)03－0314－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.002

(編輯陶志寧)

2014－08－30

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)和教育部博士點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金(20125134110002)

*通信作者簡(jiǎn)介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163.com

2010 MSC:16D50;16E10;16E30