李 靜

一類利用卷積定義的p葉解析函數(shù)類的系數(shù)邊界

李 靜

(江漢大學(xué)文理學(xué)院，湖北武漢430056)

卷積是研究解析函數(shù)的有效工具，對(duì)于解析函數(shù)的系數(shù)研究起到很大的作用．利用卷積定義了一類在單位圓盤(pán)U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)的p葉解析函數(shù)類MDδ，pa，c(λ，b，α，β)，利用正實(shí)部函數(shù)族的系數(shù)性質(zhì)，得到了它的全體系數(shù)邊界，同時(shí)推廣了一些常用的結(jié)論．

卷積;算子;系數(shù);星象函數(shù);凸函數(shù)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A(p)表示單位圓盤(pán)U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)具有泰勒級(jí)數(shù)

f(z)與g(z)的卷積定義為

R．M．Goel等［2］定義了線性算子

其中

其中

經(jīng)計(jì)算得:

為了敘述方便，下文記

近期對(duì)于上述相關(guān)算子的研究，可以參看文獻(xiàn)［7－16］．另外，還注意到

且

下面是一些特殊的函數(shù)類:

2 主要結(jié)論

引理1［23］若h(z)=1+c1z+c2z2+…(z∈U)為正實(shí)部解析函數(shù)，即Rh(z)＞0，則|ck|≤2，k=1，2，…．

則

移項(xiàng)得

即

由于≤α≤β，易知0≤ξ＜1，所以

其中，η =(1－β)cos λ+i(1－α)sin λ．

定義函數(shù)p(z)滿足等式

其中p(z)在U內(nèi)解析且p(0)=1，Rp(z)＞0．現(xiàn)記

將(7)式代入(6)式得

將上式進(jìn)行變形得到

利用(3)式得

即

比較上式2邊項(xiàng)zn+p－1的系數(shù)得

利用引理1得

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．在(8)式中令n =2得

這就證明了(4)式．令n=3，并利用(9)式得

假設(shè)(5)式對(duì)n=k成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)有

這就證明了(5)式．

推論1［19］設(shè)f(z)∈SD(α，β)，則

證明 在定理2中令a=c，δ=0，p=1，λ= 0，b=2．

推論2 設(shè)f(z)∈S*(β)，則

證明 在推論1中令α=0．

推論3［20］設(shè)f(z)∈KD(α，β)，則

證明 在定理2中令a=c，δ=1，p=1，λ= 0，b=1．

推論4 設(shè)f(z)∈K(β)，則

證明 在推論3中令α=0．

定理3 設(shè)f(z)∈A(p)由(1)式定義，若滿足下面不等式

證明 為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，記

則要證明的結(jié)論即為

利用(3)式，經(jīng)計(jì)算得

由于

所以

結(jié)合(11)式，如果(12)式的最后一個(gè)式子有上界1，即

上式經(jīng)整理得

此式即為(10)式．此時(shí)由(12)式有

推論5［24］設(shè)f(z)∈A(p)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈Sp*(β)．

證明 在定理3中令a=c，δ=－p+1，λ= 0，b=2，α=0．

推論6［25］設(shè)f(z)∈A(1)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈S*(β)．

證明 在推論5中令p=1．

推論7［24］設(shè)f(z)∈A(p)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈Kp(β)．

證明 在定理3中令a=c，δ=－p+2，λ= 0，b=1，α=0．

推論8［26］設(shè)f(z)∈A(1)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈S*(β)．

證明 在推論5中令p=1．

［1］SAITOH H．A linear operator and its application of first order differential subordinations［J］．Math Jpn，1966，44:31－38．

［2］GOEL R M，SOHI N．A new criterion for p－valent functions［J］．Proc Am Math Soc，1980，78:353－357．

［3］CHO N ，KWON O S，SRIVASTAVA H M．Inclusion relationships and argument properties for certain subclasses of multivalent functions associated with a family of linear operator［J］．J Math Anal Appl，2004，292(2):470－483．

［4］LIU J L，NOOR K I．Some properties of Noor integral operator［J］．J Nat Geom，2002，21:81－90．

［5］NOOR K I，ARIF M．Generalized integral operators related with p－valent analytic functions［J］．Math Inequal Appl，2009，12(1):91－98．

［6］NOOR K I．On new classes of integral operators［J］．J Nat Geom，1996，16:71－80．

［7］SRIVASTAVA H M，GABOURY S．A new class of analytic functions defined by means of a generalization of the Srivastava－Attiya operator［J］．J Inequal Appl，2015，39:1－15．

［8］劉文娟，彭娟，楊清．與Noor積分算子有關(guān)的多葉解析函數(shù)子類的性質(zhì)［J］．揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，15(3):8－11．

［9］吳春．全純函數(shù)差分算子的值分布［J］．四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，52(6):1－6．

［10］SEOUDY T M，AOUF M K．Inclusion properties for some subclasses of analytic functions associated with generalized integral operator［J］．J Egyptian Math Soc，2013，21(1):11－15．

［11］XU Q H，XIAO H G，SRIVASTAVA H M．Some applications of differential subordination and the Dziok－Srivastava convolution operator［J］．Appl Math Comput，2014，230:496－508．

［12］秦川，李小飛．一類利用復(fù)合算子函數(shù)定義的解析函數(shù)類的包含性質(zhì)［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，38(3):376－340．

［13］田琳，韓紅偉．算子解析函數(shù)的系數(shù)不等式［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44(18):239－245．

［14］李書(shū)海，湯獲，馬麗娜，等．與條形區(qū)域有關(guān)的解析函數(shù)新子類［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2015，35(5):970－986．

［15］張兆霞，劉名生．涉及Dziok－Srivastava算子的某些多葉解析函數(shù)子類的性質(zhì)［J］．華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，45(3):37－41．

［16］鮑春梅．由線性算子定義的解析函數(shù)子類的Fekete－Szego不等式［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44(19):292－296．

［17］ARIF M．On certain suffciency criteria for p－valent meromorphic spiralike functions［J］．Abs Appl Anal，2012，1:1－9．

［18］ROBERTSON M S．Univalent functions f(z)for wich zf'(z)is spirallike［J］．Michigan Math J，1969，16:97－101．

［19］OWA S，POLATOGLU Y，YAVUZ E．Coefficient inequalities for classes of uniformly starlike and convex functions［J］．J Inequal Pure Appl Math，2006，7(5):1－6．

［20］SHAMS S，KULKARNI S R，JAHANGIRI J M．Classes of uniformly starlike and convex functions［J］．Int J Math Math Sci，2004，55:2959－2961．

［21］RAVICHANDRAN V，SELVARAJ C，RAJGOPAL R．On uniformly convex spiral functions and uniformly spirallike function［J］．Soochow J Math，2003，29(4):392－405．

［22］LATHA S．Coefficient inequalities for certain classes of ruscheweyh type analytic functions［J］．J Inequal Pure Appl Math，2008，9(2):1－5．

［23］POMMERENKE C H．Univalent Functions［M］．Gotingen:Vandenhoeck and Rupercht，1975．

［24］MUHAMMAD A，JANUSZ S，MAHAMMAD A．Coefficient inequalities for a subclass of p－valent analytic functions［J］．The Scientific World J，2014，2014:1－5．

［25］MERKES E P，ROBERTSON M S，SCOTT W T．On products of starlike functions［J］．Proc Am Math Soc，1962，13:960－964．

［26］SILVERMAN H．Univalent functions with negative coeffcients［J］．Proc Am Math Soc，1975，51:109－116．

Coefficient Bounds for a Subclass of p-valent Analytic Functions by Convolution

LI Jing

(College of Arts and Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei)

Convolution is an effective tool to study analytic functions，which plays a significant role in the study of the coefficient of analytic functions．In this paper，a subclass(λ，b，α，β)of p-valent analytic functions defined by convolution in the open disc U ={z∈C:|z|＜1}is introduced．The aim of the paper is to study all coefficient bounds of the above class with coefficient properties of real part functions．Many known results are generalized．

convolution;operator;coefficient;starlike function;convex function

O174．51

A

1001－8395(2016)05－0686－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．013

(編輯 余 毅)

2015－09－25

湖北省教育廳規(guī)劃課題(2014B354)

李 靜(1984—)，女，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，E－mai:2935788547@qq．com

2010 MSC:30C45