盤 川，侯 暢，鄔依林

(1. 東北林業(yè)大學(xué)信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040；2. 廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510310)

海洋柔性立管二維振動(dòng)的輸出反饋控制*

盤 川1，侯 暢1，鄔依林2

(1. 東北林業(yè)大學(xué)信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040；2. 廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣州 510310)

考慮了海洋柔性立管在時(shí)變內(nèi)流和海流作用下二維振動(dòng)控制問題。柔性立管系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為由兩個(gè)偏微分方程和六個(gè)常微分方程描述。為提高其振動(dòng)控制效果并避免控制溢出,直接基于其無(wú)限維分布參數(shù)模型,利用Lyapunov直接法和高增益觀測(cè)器技術(shù)研發(fā)了輸出反饋邊界控制來控制立管的二維振動(dòng)。隨后證明了海流擾動(dòng)作用下控制系統(tǒng)的一致最終有界穩(wěn)定性和閉環(huán)狀態(tài)的一致有界性。最后,仿真結(jié)果驗(yàn)證了文中所設(shè)計(jì)二維輸出反饋邊界控制算法的有效性。

海洋立管；二維振動(dòng)；邊界控制；輸出反饋控制；Lyapunov直接法

海洋立管在海底石油鉆探和天然氣開發(fā)工程中起到至關(guān)重要的作用，因此其振動(dòng)問題也受到越來越多的關(guān)注[1-4]。隨著資源開采進(jìn)入深水域，所面臨的環(huán)境也更加嚴(yán)酷，海洋柔性立管在管內(nèi)流體和海流等載荷作用下的振動(dòng)也將更加劇烈。而過多的振動(dòng)將使立管過早疲勞破壞，這將產(chǎn)生昂貴的維修費(fèi)用，更為甚者，將會(huì)帶來嚴(yán)重的環(huán)境污染。因此，為了保證海洋立管的生產(chǎn)效率，亟需研發(fā)機(jī)電控制系統(tǒng)以抑制立管的振動(dòng)。

近年來，為避免基于模型近似或者離散化方法所產(chǎn)生的控制溢出問題[5-8]，海內(nèi)外很多學(xué)者研究了海洋柔性立管的邊界控制[1-4, 9-14]。然而，目前國(guó)外關(guān)于柔性立管的振動(dòng)控制研究中，卻都忽略了內(nèi)流對(duì)立管動(dòng)力學(xué)的影響[9-14]。在國(guó)內(nèi)，筆者前期研究成果設(shè)計(jì)了諸如PD邊界控制、魯棒邊界控制、自適應(yīng)邊界控制、二維邊界控制等[1-4]，并取得了較好的控制效果，同時(shí)也驗(yàn)證了內(nèi)流動(dòng)力學(xué)的作用能減小立管系統(tǒng)的自然頻率。然而，在文獻(xiàn)[1-4，9-14]中，作者都假定控制器中的系統(tǒng)狀態(tài)均可直接由傳感器測(cè)得或應(yīng)用差分算法獲得。而在實(shí)際中，來自傳感器的噪聲是不可避免的，尤其是那些在對(duì)時(shí)間微分過程中產(chǎn)生的系統(tǒng)狀態(tài)，將影響文獻(xiàn)[1-4，9-14]中所設(shè)計(jì)控制器的執(zhí)行。因此，為了解決這個(gè)問題，本文將使用高增益觀測(cè)器來設(shè)計(jì)輸出反饋邊界控制來抑制立管的振動(dòng)。

本文以耦合內(nèi)流動(dòng)力學(xué)的海洋柔性立管系統(tǒng)二維振動(dòng)主動(dòng)控制為研究對(duì)象，基于其原始無(wú)窮維分布參數(shù)模型，融合Lyapunov綜合法和邊界控制技術(shù)設(shè)計(jì)了二維輸出反饋邊界控制用于抑制立管的振動(dòng)偏移量。此外，高增益觀測(cè)器用于估計(jì)不可測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)量，解決了因差分算法來獲得系統(tǒng)狀態(tài)而帶來的噪音放大問題，從而提高控制系統(tǒng)的性能。其后，對(duì)海流擾動(dòng)作用下控制系統(tǒng)的一致最終有界穩(wěn)定性和和閉環(huán)狀態(tài)的一致有界性進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)輸出反饋邊界控制器的有效性。

1 問題描述

1.1 立管動(dòng)力學(xué)建模

一類典型海洋柔性立管系統(tǒng)如圖1所示，其中O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，L為立管長(zhǎng)度，w(即w(x,t))和v(即v(x,t))分別為立管的橫向和縱向偏移量，Uw(即Uw(t))和Uv(即Uv(t))分別為立管的橫向和縱向控制器，f(即f(x,t))為時(shí)變海流。

圖1 一個(gè)典型的海洋柔性立管系統(tǒng)Fig.1 A typical flexible marine riser system

本文所研究立管系統(tǒng)模型將引用研究成果文獻(xiàn)[1]，即由文獻(xiàn)[1]中式(9)-(11)可得本文所研究的柔性立管系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

其中mr和mf分別為立管單位質(zhì)量和內(nèi)流單位質(zhì)量，Vi為時(shí)變內(nèi)流速度，c1和c2分別為結(jié)構(gòu)橫向和縱向阻尼系數(shù)，T、EI和EA分別為立管張力、彎曲剛度和軸向剛度，f(x,t)為時(shí)變海流干擾載荷，表示為

(2)

其中ρs為海水密度，D為立管外徑，β為相位角，AD為阻力振蕩部分幅值，CD(即CD(x,t))和Vs(即Vs(x,t))分別為阻力系數(shù)和時(shí)變海流流速，fv=StVs/D為渦旋脫落頻率，St為斯特勞哈爾數(shù)。

1.2 預(yù)備知識(shí)

為方便隨后章節(jié)的工作，本小節(jié)將列出如下引理[7-8]。

引理1 設(shè)φ1(x,t),φ2(x,t)∈R，σ>0其中x∈[0,L]，t∈[0, +∞)，下列不等式成立

(3)

引理2 設(shè)φ(x,t)∈R為定義在x∈[0,L]，t∈[0, +∞)的函數(shù)，且滿足如下邊界條件

(4)

則有如下不等式組成立

(5)

2 控制設(shè)計(jì)

控制目標(biāo)是抑制柔性立管在內(nèi)外流作用下的二維振動(dòng)。在本節(jié)中，我們采用Lyapunov直接法、邊界控制技術(shù)和高增益觀測(cè)器在立管上邊界構(gòu)造兩個(gè)輸出反饋邊界控制器，并證明閉環(huán)系統(tǒng)的一致有界穩(wěn)定性。

引理3 假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的輸出y(t)和它的n階微分都是有界的并滿足|y(k)|0)，我們考慮如下線性系統(tǒng)[15]

(6)

(7)

(8)

其中定義π2動(dòng)力學(xué)和x2(t)的誤差為

(9)

(10)

其中我們定義π02動(dòng)力學(xué)和y2(t)的誤差為

(11)

所研究立管系統(tǒng)模型如式(1)描述，為使該系統(tǒng)穩(wěn)定，本文提出以下控制律

(12)

其中k1,k2,k3,k4,k5,k6>0為控制增益。

注2 邊界控制中的信號(hào)x1(t)=w(L,t)，y1(t)=v(L,t)可由立管頂端的激光位移傳感器測(cè)得，w′(L,t)和v′(L,t)可由傾角計(jì)測(cè)得。此控制器設(shè)計(jì)獨(dú)立于系統(tǒng)參數(shù)，因此對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的變化具有穩(wěn)定魯棒性。

若給定Lyapunov函數(shù)為

(13)

其中

(14)

其中ζ,λ1,λ2是正的權(quán)重常數(shù)。

引理4 由式(13)給定的Lyapunov函數(shù)具有如下上下界

(15)

其中?1和?2是兩個(gè)正常數(shù)，θ(t)為

(16)

證明 應(yīng)用不等式(3)和文獻(xiàn)[16]中不等式2[v′(x,t)]2≤[w′(x,t)]2可得

(17)

其中μ為正常數(shù)。

結(jié)合式(14)第一項(xiàng)和式(17)有

(18)

其中

對(duì)V2(t)應(yīng)用不等式(3)可得

(19)

其中

不等式(19)可寫為

(20)

結(jié)合式(18)和式(20)，有

(21)

選取適當(dāng)?shù)摩?μ,λ1,λ2，可以得到

(22)

將式(22)代入式(21)可得

(23)

不等式(23)兩邊加上V3(t)，有

(24)

其中?1=min(α1,1)和?2=max(α2,1)是正常數(shù)。證畢。

引理5 由式(13)給定的Lyapunov函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)具有如下上下界

(25)

其中?>0，ω>0。

證明 將式(13)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有

(26)

對(duì)V1(t)求導(dǎo)，將式(1)代入，應(yīng)用分部積分并結(jié)合式(3)，可得

(27)

其中δ1為任意正常數(shù)。

對(duì)V2(t)求導(dǎo)，將式(1)代入，應(yīng)用分部積分并結(jié)合不等式(3)-(5)，有

(28)

其中δ2,δ3,δ4,δ5為任意正常數(shù)。

對(duì)V3(t)求導(dǎo)可得

(29)

將式(27)-(29)代入式(26)并結(jié)合不等式(3)-(5)可得

(30)

其中δ6～δ18為任意正常數(shù)。選擇適當(dāng)參數(shù)值ζ，λ1，λ2，k1～k6，δ1～δ18滿足如下條件：

由不等式(24)和(30)，得出

(31)

3 穩(wěn)定性分析

定理1 對(duì)由式(1)描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在邊界控制器(12)的作用下，系統(tǒng)具有如下的穩(wěn)定性

(32)

證明 將式(25)乘以e?t，有

(33)

對(duì)上述不等式積分得

(34)

其中上式表明V(t)是有界的。

類似的，利用不等式(5)和不等式2[v′(x,t)]2≤[w′(x,t)]2并結(jié)合(15)和(18)，可得

(35)

重排上述兩不等式有

(36)

?(x,t)∈[0,L]×[0,∞)。

從上式我們進(jìn)一步可得

(37)

?x∈[0,L]，證畢。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)將采用有限差分法來數(shù)值仿真研究在內(nèi)流和海流同時(shí)擾動(dòng)作用下柔性立管的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并對(duì)所設(shè)計(jì)控制器(12)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。柔性立管的系統(tǒng)參數(shù)為:L=1 000 m，EI=1.5×107Nm2，EA=4×109Ns/m，T=8.11×107N，mr=350 kg/m，mf=100 kg/m，c1=c2=5 Ns/m2。

海洋洋流速度與深度關(guān)系可表示為[2]

(38)

其中V0(t)為洋流表面流速表示為

i=1,2,3,4

(39)

Vi(t)=0.5+0.2cos(0.867t)

(40)

圖2 無(wú)控制時(shí)的立管偏移量圖Fig.2 Displacement of the riser without control

圖3 控制作用下的立管偏移量Fig.3 Displacement of the riser with control

圖4 立管橫向偏移量：(a) x=1 000 m，(b) x=500 mFig.4 Transverse Displacements of the riser

圖5 立管縱向偏移量：(a) x=1 000 m，(b) x=500 mFig.5 Longitudinal displacements of the riser

圖6 輸出反饋控制輸入Fig.6 Output feedback control inputs

圖2和圖3分別給出了立管在無(wú)/有控制作用下三維橫、縱向偏移圖，圖4和圖5則分別給出了立管在x=1000 m和x=500 m處無(wú)/有控制作用下二維橫、縱向振動(dòng)偏移圖。圖6給出了二維輸出反饋邊界控制輸入。

由仿真結(jié)果圖2-圖6可得出如下結(jié)論：

1)當(dāng)所提出的輸出反饋控制(12)作用于立管系統(tǒng)時(shí)，立管的橫向振動(dòng)偏移量和縱向偏移量都數(shù)千倍的減小，驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

2)在立管的中部(x=500 m)，雖然未布置有控制器，但其振動(dòng)偏移量在控制作用下也有非常顯著的減小，體現(xiàn)了邊界控制在柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制中的優(yōu)勢(shì)。

3)對(duì)比本文圖3和文獻(xiàn)[1]中的圖2(b)和圖3(b)，可知在控制作用下，本文中立管橫、縱向振動(dòng)偏移量都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[1]中控制后立管的橫、縱向振動(dòng)偏移量。因此，本文所提出的輸出反饋控制在系統(tǒng)狀態(tài)獲取不精確條件下能更好地抑制立管的二維振動(dòng)偏移量。

5 結(jié) 論

本文研究了海洋柔性立管在時(shí)變內(nèi)流和海流耦合作用下二維振動(dòng)控制問題?；谄淦⒎?常微分方程描述的無(wú)窮維模型，采用Lyapunov直接法和高增益觀測(cè)器技術(shù)相結(jié)合的綜合法，設(shè)計(jì)了輸出反饋邊界控制來對(duì)立管的二維振動(dòng)進(jìn)行控制。其后運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)控制系統(tǒng)的一致最終有界穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格地證明。本文的控制設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析沒有任何離散化或者簡(jiǎn)化系統(tǒng)偏微分方程動(dòng)力學(xué)，因此控制溢出問題將不會(huì)產(chǎn)生。最后采用有限差分法來模擬系統(tǒng)的數(shù)值解，由仿真結(jié)果可知文中所設(shè)計(jì)二維輸出反饋邊界控制器的可行性和有效性。

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Output feedback control for two dimensional vibration of a flexible marine riser

PANChuan1,HOUChang1,WUYilin2

(1. Information and Computer Engineering Institute, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China;2. Department of Computer Science, Guangdong University of Education, Guangzhou 510310, China)

The two dimensional vibration control problem of a flexible marine riser with internal fluid dynamics and the ocean current is considered. The dynamic behavior of the flexible riser is described by two partial differential equations and six ordinary differential equations. To improve the vibration control performance and avoid the control spillover, the Lyapunov’s direct method and high-gain observer technique are adopted to develop two output feedback boundary controllers for vibration suppression of the riser system based on its original infinite-dimensional model. With the proposed control, uniform ultimate boundedness under ocean current disturbance and uniform boundedness of the closed-loop state are proved. The simulation results have verified the effectiveness of the designed boundary control scheme.

marine risers; two dimensional vibration; boundary control; output feedback control; Lyapunov’s direct method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.04.004

2016-04-13

廣東省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016A010106007)；廣東第二師范學(xué)院教授博士科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(2014ARF25)

盤川(1995年生)，女；研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng)；通訊作者：侯暢；E-mail:zzuhchang@163.com

TP24

A

0529-6579(2016)04-0018-08