王雪萍，張 毅

(1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011)

Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性與守恒量*

王雪萍1，張 毅2

(1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011)

研究Birkhoff系統(tǒng)Noether-Mei對稱性與守恒量。給出Birkhoff系統(tǒng)Noether-Mei對稱性的定義和判據(jù)，研究了Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的Noether守恒量和Mei守恒量的條件及其形式，建立了兩個Noether-Mei對稱性定理，并舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

Birkhoff系統(tǒng)；Noether-Mei對稱性；Noether守恒量；Mei守恒量

動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量的研究具有重要意義, 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)中占有重要的地位, 也是分析力學(xué)的一個近代發(fā)展方向。對稱性主要有：Noether 對稱性，Lie對稱性和Mei對稱性[1-5]。隨著研究的深入，人們對兩種以上的對稱性進行綜合研究，并已取得一些成果[6-13]。本文將研究Birkhoff系統(tǒng)Noether-Mei對稱性與守恒量，

給出系統(tǒng)Noether-Mei對稱性定義和判據(jù)，研究Noether-Mei對稱性與Noether守恒量和Mei守恒量之間的關(guān)系，建立了兩個Noether-Mei對稱性定理，并給出算例以說明結(jié)果的應(yīng)用。

1 Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性

Birkhoff系統(tǒng)的運動微分方程為[1]

(1)

其中Rμ=Rμ(t,a)為Birkhoff函數(shù)組，B=B(t,a)為Birkhoff函數(shù)，且

(2)

稱為Birkhoff系統(tǒng)的張量。設(shè)系統(tǒng)非奇異，即有det(Ωμν)≠0，由(1)解得

(3)

定義1 對于Birkhoff系統(tǒng)(1)，如果一個對稱性既是其Noether對稱性又是其Mei對稱性，則稱這個對稱性為該系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

取變量aμ和時間t的無限小變換

(4)

其中ε為無限小參數(shù)，ξ0，ξμ為無限小變換的生成元。

(5)

其中

(6)

如果無限小變換(4)的生成元ξ0，ξμ滿足方程

(7)

則相應(yīng)對稱性為Birkhoff系統(tǒng)的Mei對稱性；如果存在規(guī)范函數(shù)GN=GN(t,a)，使無限小生成元ξ0，ξμ滿足Noether等式

(8)

則相應(yīng)對稱性為Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性。于是有

判據(jù)1 如果存在規(guī)范函數(shù)GN=GN(t,a)，使無限小變換的生成元ξ0,ξμ滿足方程

(9)

則相應(yīng)對稱性為Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

2 Noether-Mei對稱性導(dǎo)致的守恒量

定理1 對于Birkhoff系統(tǒng)(1)，如果無限小生成元ξ0，ξμ滿足Noether等式(8)，或使廣義Killing方程

(10)

(11)

有解，則系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致Noether守恒量

(12)

定理2 對于Birkhoff系統(tǒng)(1)，如果無限小生成元ξ0，ξμ和規(guī)范函數(shù)GM=GM(t,a)滿足結(jié)構(gòu)方程

(13)

則系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致Mei守恒量

X(0)(B)ξ0+GM=const

(14)

其中

(15)

3 算 例

例 已知四階Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)為[1-2]

(16)

Birkhoff函數(shù)組為

R1=a3，R2=a4,R3=R4=0

(17)

試研究系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性與守恒量。

方程(3)給出

(18)

做計算，有

(19)

Mei對稱性的確定方程(7)給出

(20)

方程(20)有解

(21)

生成元(21)相應(yīng)于系統(tǒng)的Mei對稱性。

Noether等式(8)給出

(22)

將生成元(21)代入式(22)，得到

GN=0

(23)

生成元(21)亦相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對稱性。因此，生成元(21)是這個四階Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

與生成元(21)相應(yīng)的Mei對稱性的結(jié)構(gòu)方程為

(24)

其中

(25)

方程(24)有解

GM=0

(26)

由定理2，系統(tǒng)存在守恒量

IM=-2a3=const

(27)

式(27)是由系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性(21)導(dǎo)致的Mei守恒量。

將生成元(21)和規(guī)范函數(shù)(23)代入式(12)，得

IN=a3+a4(a3)2=const

(28)

由定理1，式(28)是系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性(21)導(dǎo)致的Noether守恒量。

4 結(jié) 語

研究了Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性，這種對稱性既是系統(tǒng)的Noether對稱性又是系統(tǒng)的Mei對稱性，既能導(dǎo)致Noether守恒量又能在一定條件下導(dǎo)致Mei守恒量。主要結(jié)果為文中給出的由Birkhoff系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性導(dǎo)致Noether守恒量和Mei守恒量的兩個定理。文章方法和結(jié)果具有普遍意義，可以推廣到其他類型的約束力學(xué)系統(tǒng)。

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Noether-Mei symmetry and conserved quantity of Birkhoffian system

WANGXueping1,ZHANGYi2

(1. College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China;2. College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

The Noether-Mei symmetry and the conserved quantity of a Birkhoffian system are studied. The definition and the criteria of the Noether-Mei symmetry of the system are given. The conditions that the Noether-Mei symmetry leads to the Noether conserved quantity or the Mei conserved quantity and the form of the conserved quantities are obtained. Two theorems for the Noether-Mei symmetry and the conserved quantity are established. At the end, an example is given to illustrate the application of the results.

Birkhoffian system; Noether-Mei symmetry; Noether conserved quantity; Mei conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.04.009

2015-10-17

國家自然科學(xué)基金資助項目(11272227,11572212)；蘇州科技大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(SKCX15_062)

王雪萍(1989年生)，女；研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法；通訊作者：張毅;E-mail:zhy@mail.usts.edu.cn

O

A

0529-6579(2016)04-0053-03