陳 龍，趙 民，康永來，韓 松，高華宇

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追逃問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

陳 龍1，趙 民2，康永來2，韓 松1，高華宇1

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度闡述追逃問題，建立描述追逃雙方運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)原理得到追逃問題中的重要結(jié)論，根據(jù)結(jié)論給出追逃雙方相應(yīng)的追擊、逃逸策略，最后通過仿真實(shí)例驗(yàn)證追逃結(jié)論的合理性。

追逃；策略；運(yùn)動(dòng)學(xué)

0 引 言

追擊-逃逸博弈（PE game），即“PE博弈”問題，于1967年由美國(guó)數(shù)學(xué)家Issacs提出。追逐-逃逸博弈實(shí)際上是博弈論在具體場(chǎng)景中的應(yīng)用和擴(kuò)展，在該博弈過程中，逃逸方通過各種策略努力使某一支付值（如脫靶量等）最大化，而追逐方則正好相反，它通過各種策略努力使同一支付值最小化，如果雙方的策略存在一個(gè)平衡點(diǎn)，那么該點(diǎn)可稱為“鞍點(diǎn)”，類似于博弈論中的“Nash平衡”點(diǎn)?！白窊?逃逸博弈”是博弈論的一種擴(kuò)展[1,2]，研究博弈方如何通過不同的策略選取使自己的收益最大化，是利益沖突雙方調(diào)和的一種方法，是一個(gè)典型的最大值最小值優(yōu)化問題，體現(xiàn)了二人零和博弈思想。

PE博弈問題對(duì)涉及對(duì)抗的問題有普遍適應(yīng)性，在軍事技術(shù)的對(duì)抗中，飛機(jī)與防空導(dǎo)彈的對(duì)抗[3]、彈道導(dǎo)彈與反導(dǎo)導(dǎo)彈的對(duì)抗、干擾機(jī)與雷達(dá)之間的電磁對(duì)抗都是追逃問題的不同體現(xiàn)。本文主要從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度研究?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體之間的追逃問題，對(duì)于防空、反導(dǎo)、突防等領(lǐng)域有一定的借鑒意義[4，5]。

1 追逃問題基本模型

為分析追逃問題，首先建立描述追擊、逃逸對(duì)象運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的坐標(biāo)系，稱為追逃坐標(biāo)系，如圖1所示。選取平面為當(dāng)?shù)厮矫妗?/p>

圖1 追逃雙方在追逃坐標(biāo)系下的位置、速度關(guān)系

L—追擊方；T—逃逸方；—速度；—航跡傾角，定義為速度矢量與平面夾角；—航跡偏角，為速度矢量在平面內(nèi)的投影與軸的夾角；—視線傾角，為視線矢量與平面的夾角；—視線偏角，為視線矢量在平面內(nèi)的投影與軸的夾角；，，—位置坐標(biāo)

根據(jù)幾何模型，易得視線向量與位置坐標(biāo)的幾何關(guān)系：

追逃過程中，雙方需要控制力來改變自身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)追擊和逃逸，因此控制力是追逃雙方存在的力；另外當(dāng)前運(yùn)動(dòng)對(duì)象的追逃問題多在地球引力范圍內(nèi)，所以地球引力也是雙方所受的力；為簡(jiǎn)化問題，不考慮追逃過程中的空氣動(dòng)力。

基于以上假設(shè)，追擊方動(dòng)力學(xué)模型可寫為[6]

2 追逃過程理論分析

根據(jù)上面模型，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看，決定追逃結(jié)果的因素可歸結(jié)為追逃起始點(diǎn)處的視線矢量和相對(duì)速度矢量；兩個(gè)矢量決定一個(gè)平面，故可在一個(gè)平面內(nèi)分析兩者的關(guān)系（見圖2）。

圖2 視線矢量和相對(duì)速度矢量的幾何關(guān)系

追逃雙方的對(duì)抗過程從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度可看作兩個(gè)正交方向的運(yùn)動(dòng)過程：一是沿初始視線方向（軸方向）的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，該相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為，其作用是使追擊方沿著初始視線的方向一直逼近逃逸方；另一方面是垂直于初始視線的方向（軸方向）上的運(yùn)動(dòng)，該相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為，其作用是在初始視線的法向上拉大雙方距離，使追擊方在初始視線法向上遠(yuǎn)離逃逸方。

基于上述討論，可以得到以下重要結(jié)論：

a）忽略重力作用，在逃逸方不主動(dòng)逃逸的情況下，從理論上分析追擊方存在著理想的初始追擊狀態(tài)，該狀態(tài)下的為0，此時(shí)追擊方可以不需要控制力機(jī)動(dòng)就能追擊到目標(biāo)。

b）初步確定雙方的機(jī)動(dòng)策略：追擊方利用法向過載機(jī)動(dòng)的目標(biāo)是將引起的在方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離變?yōu)?，使逃逸方和追擊方的相對(duì)運(yùn)動(dòng)只沿方向。逃逸方逃逸的目標(biāo)是調(diào)整推力方向與一致，加大引起方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離。

c）在逃逸方不主動(dòng)機(jī)動(dòng)的情況下，假設(shè)追擊方推力所能提供的可用過載為，單位為m/s2；追逃過程持續(xù)時(shí)間的條件下，則追擊方成功追擊的條件為；其物理意義是追擊方的可用過載能在追逃過程一半的時(shí)間內(nèi)將變?yōu)?，此處方向的相對(duì)距離最大；用剩下的一半時(shí)間將方向的相對(duì)距離變?yōu)?。

上面只是理論分析，沒有考慮追擊、逃逸雙方獲取對(duì)方信息的探測(cè)誤差和改變自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的控制誤差等因素帶來的隨機(jī)影響，離實(shí)際情況還有一定距離，但理論分析為下文的追擊策略、逃逸策略提供了理論基礎(chǔ)。

3 追擊方的機(jī)動(dòng)策略——擴(kuò)展比例導(dǎo)引律

追擊方的擴(kuò)展比例導(dǎo)引律為[7，8]：在鉛垂平面內(nèi)，航跡傾角的變化率正比于視線傾角變化率；水平面內(nèi)，航跡偏角變化率正比于視線偏角變化率，即：

式中1，2為導(dǎo)引系數(shù)。

可以得到：

代入導(dǎo)引律公式，即可得到追擊方的擴(kuò)展比例導(dǎo)引律。

4 逃逸方的逃逸策略

逃逸方的逃逸參數(shù)包括機(jī)動(dòng)過載大小、機(jī)動(dòng)的方向、機(jī)動(dòng)時(shí)間段；機(jī)動(dòng)過載可以在可用過載范圍內(nèi)自由調(diào)整，因此與另外兩個(gè)參數(shù)相結(jié)合，就能找到一個(gè)消耗最小的最優(yōu)值，在該值下，剛好保證無法實(shí)現(xiàn)方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離為0。然而這一條件是建立在逃逸方準(zhǔn)確知道追擊方過載的情況下而實(shí)現(xiàn)的；一方面逃逸方不能保證準(zhǔn)確地得到追擊方的機(jī)動(dòng)過載，另一方面，即使得到了準(zhǔn)確的情報(bào)信息，這種情況下的逃逸結(jié)果也是處于逃逸是否成功的邊界值上，無法實(shí)現(xiàn)大逃逸脫靶量。因此，更合適的做法是逃逸的過載直接采用逃逸方的可用過載。

至于機(jī)動(dòng)的時(shí)間段，原則上說，越早機(jī)動(dòng)越好；考慮到逃逸方能用于逃逸的能量有限，因此在逃逸過程起始點(diǎn)處開始機(jī)動(dòng)是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。為了節(jié)省能量，也可以在雙方更近的距離上機(jī)動(dòng)，但同機(jī)動(dòng)過載的分析類似，這樣會(huì)帶來很大的風(fēng)險(xiǎn)；另外整個(gè)攻防對(duì)抗過程只有幾秒鐘的時(shí)間，即使采用了優(yōu)化的方法找到了最優(yōu)的機(jī)動(dòng)時(shí)間段，其所節(jié)省的能量也有限。

綜上所述，逃逸方最優(yōu)的逃逸策略為從逃逸過程起始點(diǎn)開始，以最大過載沿著方向機(jī)動(dòng)。

5 逃逸過程仿真實(shí)例

假定追擊方可用過載為80 m/s2；選定追逃起始點(diǎn)處，逃逸方位置坐標(biāo)為（26.7 km，28.6 km，1074.2 km），速度為5 963.1 m/s，航跡傾角為-22.99°，航跡偏角為220.24°；追擊方的位置坐標(biāo)為（0，0，1065.4 km），速度為7 544 m/s。

通過優(yōu)化的方法得到其理想狀態(tài)下的航跡傾角為4.46°，航跡偏角為51.89°；追逃過程時(shí)間為3.01 s，根據(jù)前面的結(jié)論，在逃逸方不機(jī)動(dòng)情況下，只要80×3.01/2=120 m/s，即可成功追擊，反之則會(huì)失敗。在逃逸方機(jī)動(dòng)的情況下，需要近似滿足，即可追擊成功。理想狀態(tài)下的追擊過程如圖3所示。

圖3 理想狀態(tài)下的追擊過程

逃逸方不機(jī)動(dòng)，追擊方航跡傾角和航跡偏角取不同值時(shí)的仿真結(jié)果如表1所示。

分析表1數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

a）第1組數(shù)據(jù)代表理想狀態(tài)，可見在忽略重力的情況下，選擇理想狀態(tài)可以實(shí)現(xiàn)零過載成功追擊；對(duì)比第2組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在理想狀態(tài)下考慮重力，追擊所需的代價(jià)（平均需用過載）也是最小。因此證明理想狀態(tài)的重要性。

b）第3、4組數(shù)據(jù)表現(xiàn)出實(shí)際航跡偏角相對(duì)理想狀態(tài)航跡偏角具有對(duì)稱性，在理想狀態(tài)偏角左右加減0.89°，對(duì)仿真結(jié)果基本沒有影響。

c）第5、6組數(shù)據(jù)表現(xiàn)出航跡偏角的臨界值，第5組數(shù)據(jù)當(dāng)航跡偏角為52.81°時(shí)，對(duì)應(yīng)的= 119.97 m/s <120 m/s，所以能夠追擊成功；而第6組數(shù)據(jù)的航跡偏角為52.82°，對(duì)應(yīng)的=121.28 m/s>120 m/s，所以結(jié)果是脫靶，這跟前面的理論完全吻合；還可以看出航跡偏角方向的動(dòng)態(tài)范圍是理想狀態(tài)加減0.92°。

d）第7組數(shù)據(jù)顯示了當(dāng)航跡偏角繼續(xù)增大時(shí)，導(dǎo)致脫靶量急劇增大。

e）第8、9組數(shù)據(jù)表現(xiàn)出實(shí)際航跡傾角相對(duì)理想狀態(tài)航跡傾角的對(duì)稱性，但因?yàn)殂U垂平面內(nèi)還受重力影響，因此這兩組數(shù)據(jù)的對(duì)稱性沒有航跡偏角那么理想，但從這兩組數(shù)據(jù)的比較來看，重力加速度的影響非常微小，這是因?yàn)槠鹱饔玫闹亓铀俣仁瞧湓诜较蛏系耐队安糠帧?/p>

f）第10、11組數(shù)據(jù)表現(xiàn)出了航跡傾角的臨界值，第10組數(shù)據(jù)當(dāng)航跡傾角為5.38°時(shí)，對(duì)應(yīng)的=119.45 m/s<120 m/s，所以能夠追擊成功；而第11組數(shù)據(jù)的航跡傾角為5.39°，對(duì)應(yīng)的=120.76 m/s >120 m/s，導(dǎo)致脫靶，這跟前面的理論完全吻合。其航跡傾角方向的動(dòng)態(tài)范圍是理想狀態(tài)加減0.92°。

當(dāng)追擊方初始狀態(tài)為理想狀態(tài)，但逃逸方有機(jī)動(dòng)時(shí)，不同機(jī)動(dòng)過載對(duì)追逃結(jié)果的影響如表2所示。

表2 理想狀態(tài)下逃逸方不同機(jī)動(dòng)過載對(duì)追逃結(jié)果影響

對(duì)表2的數(shù)據(jù)分析可以發(fā)現(xiàn)，在理想初始條件下，逃逸方要躲過攔截，至少需要50 m/s2的過載；可用過載越大，脫靶量越大。另外還發(fā)現(xiàn)追擊方的平均需用過載永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)80 m/s2，這是因?yàn)槌跏紶顟B(tài)是理想狀態(tài)，因此在開始一段時(shí)間內(nèi)，追擊方的過載需要有一個(gè)從0 m/s2上升到80 m/s2的過程，因此平均下來永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到80 m/s2。

當(dāng)初始條件不是理想狀態(tài)，取表1中的第8組數(shù)據(jù)，追擊方的航跡傾角為4°時(shí)，仿真結(jié)果如表3所示。

表3 非理想狀態(tài)下逃逸方不同機(jī)動(dòng)過載對(duì)追逃結(jié)果影響

分析表3數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)，與表2相比，相同的逃逸方可用過載下，初始條件不在理想狀態(tài)需要比理想狀態(tài)下多付出很多代價(jià)（平均需用過載）。另一方面，在理想狀態(tài)下，逃逸方最低需50 m/s2的過載才能成功逃逸，而在初始條件不理想的情況下，逃逸方最低只需41 m/s2的過載就可成功逃逸。

6 結(jié)束語

本文討論了追擊逃逸對(duì)抗的模型、模型分析、追擊、逃逸的策略；并重點(diǎn)針對(duì)追逃對(duì)抗初始條件，提出了追逃雙方相對(duì)速度在視線法平面內(nèi)的投影這一物理量，根據(jù)這一物理量確定雙方的追逃策略，給出了追擊成功應(yīng)近似滿足的條件，并通過實(shí)例仿真，驗(yàn)證了該條件的合理性。

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Kinematics Analysis of Pursuit-evasion Game

Chen Long1, Zhao Min2, Kang Yong-lai2, Han Song1, Gao Hua-yu1

(1. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076;2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

Pursuit-evasion Game as viewed from kinematics was describes in the paper, math model to depict the state of both sides was established. According to kinematics principle, the paper get a series of important conclusions. Based on the conclusions, the paper get the maneuver tactics of both sides. Lastly, the rationality of the conclusions was validated by simulation experiment .

Pursuit-Evasion; Tactics; Kinematics

1004-7182(2016)02-0013-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160203

V412

A

2014-12-03；

2015-01-14

陳 龍（1989-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檫\(yùn)載火箭總體設(shè)計(jì)