李　靜

(周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 周口 466001)

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關于濾波反投影圖像重建算法的研究

李靜

(周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 周口 466001)

摘要：CT是投影重建圖像的應用技術之一，已廣泛應用于自然科學的各領域中.目前CT圖像重建算法多采用濾波反投影算法.本文在圖像重建的理論基礎上，利用濾波反投影算法的基本原理，對R-L, S-L, Hamming濾波函數(shù)和新濾波函數(shù)分別進行了計算機仿真對比實驗. 實驗結果表明利用濾波反投影較好地重建圖像，關鍵是濾波函數(shù)的選擇.

關鍵詞：圖像重建；濾波反投影；濾波函數(shù)；傅里葉變換；Radon變換

計算機層析成像(Computed Tomography,簡稱CT)技術是反問題應用的一個典型，在醫(yī)學診斷、工業(yè)產品和無損檢測等多個領域有著廣泛的應用[1].關于CT圖像重建的方法主要有兩大類：一類是級數(shù)展開法，包括經(jīng)典的代數(shù)重建法(ART)及聯(lián)合迭代重建法(SIRT)等；一類是變換法，包括濾波反投影算法(FBP,CBP)和直接傅里葉方法等.其中濾波反投影算法是變換法中最常用的，它要求投影數(shù)據(jù)是完全的，需要用到每一投影方向下的全部數(shù)據(jù)，因而此算法具有一定的局限性. 但由于濾波反投影算法計算速度快，盡管數(shù)據(jù)龐大，仍可較快地重建圖像，因此，它應用很廣泛.

1圖像重建的理論基礎

1.1物理基礎

當X射線束穿過被檢測物體時，由于吸收和衍射，X射線會發(fā)生衰變.由于物體內部組織的不同，衰減系數(shù)μ(x,y)也不同，進而密度函數(shù)也不同.若要知道了μ(x,y)的分布，便知道了密度分布.

設強度為I0的單能X射線束穿過某個不均勻物體時，有探測器接收到的X射線強度I服從比爾定律[2]

I=I0·e-∫Lμ(x,y)ds，

其中L是X射線經(jīng)過的某一路徑，上式經(jīng)過變形可得

稱∫Lμ(x,y)ds為射線投影.CT圖像重建就是由射線投影來確定物體內部結構.

1.2數(shù)學基礎

直線L是oxy平面的任意一條直線，t是原點到直線L的距離，則二維Radon變換為[3]

其中(x,y)表示像素點在直角系中的坐標，(r,θ)是像素點(x,y)的極坐標，t,β為直線L的位置參數(shù)，f(x,y)表示某一圖像密度的二維空間分布.

1.3中心切片定理

由投影重建圖像的重要依據(jù)是中心切片定理，該定理指出[4]：某圖像函數(shù)f(x,y)在某一方向上的投影函數(shù)Rf(t,β)=Rfβ(t)的關于t的一維傅里葉變換，給出f(x,y)的二維傅里葉變換F(u,v)的一個切片，該切片與u軸相交成β角，且通過坐標原點，即F(u,v)=F1(Rfβ(t)).

2濾波反投影算法原理

令u=ρcosβ，v=ρsinβ，則

令x=rcosθ，y=rsinθ，則(1)式可化簡為

(2)

濾波反投影(filterback projection，簡稱FBP)算法可以通過以下步驟實現(xiàn)[4]：對數(shù)據(jù)作一維傅里葉變換→用濾波函數(shù)H(ρ)進行濾波→對濾波后的數(shù)據(jù)作傅里葉逆變換→反投影求圖像函數(shù).

3常見的濾波函數(shù)

第一種：R-L(矩形)濾波函數(shù)

第二種：S-L(shepp-logan)濾波函數(shù)

第三種：Hamming 濾波函數(shù)

H(ρ)=

其中α=0.54.

第四種：新濾波函數(shù)[5]

其中λ0為歸一化常數(shù)，ρ為理想濾波函數(shù)的頻率，A是一個與窗寬有關的正常數(shù).

4重建在計算機上的實現(xiàn)

在仿真試驗中，采用經(jīng)典shepp-logan頭部模型進行仿真.重建圖像的尺寸512×512.利用等距的扇形束投影重建方法[6]，采用新濾波函數(shù)對其進行全局重建. 重建結果如下圖所示.

圖1　原始圖像

圖2　新濾波函數(shù)重建圖像

用其他三種濾波函數(shù)進行圖像重建的圖像，這里不再一一列舉. 實驗表明采用這四種濾波函數(shù)均獲得很好的重建圖像，用肉眼無法區(qū)分.為了客觀的對比重建圖像效果，筆者計算了重建圖像和原始圖像的評價值：歸一化均方距離(d)、歸一化平均絕對距離(r)和最壞情況距離(e)的數(shù)值結果.數(shù)值結果見表1.

表1　重建結果的圖像距離測量值

這三種距離測量值各反映了圖像的不同方面：d強調的是少量大誤差，r強調的是大量小誤差，e強調的是原始圖像與重建結果之間的最大密度偏差. 從表1可直觀得出：在三個誤差計算之中，新濾波函數(shù)的值最小，說明新濾波函數(shù)整體重建效果較好.

5結論

仿真實驗表明，當投影數(shù)據(jù)較完備時，濾波反投影算法能較好重建出圖像，且采用新濾波函數(shù)整體評價最好. 而通常情況下，投影數(shù)據(jù)常常不完備，有時候甚至嚴重不足，這時候需要采用迭代重建算法. 但無論采用哪種算法，提高重建速度和精度，改善重建圖像的質量，仍是今后努力的方向.

參考文獻：

[1] 張順利，李衛(wèi)斌，唐高峰.濾波反投影重建算法研究[J].咸陽師范學院學報,2008，23(4):47-49.

[2] F. Natterer. The mathematics of computerized tomography[M].Wiley, New York： 1986：9-12.

[3] 莊天戈. CT原理與算法[M].上海：上海交通大學出版社，1992：30-36.

[4] 范惠榮. 關于若干CT圖像重建算法的研究[D].內蒙古：內蒙古大學，2003.

[5] 范惠榮，徐茂林，邱鈞,等.關于CBP算法的一種新型濾波函數(shù)和它的性質[J].電子學報：2004，32(2)：232-235.

[6] 楊艷芳. 基于一種新的掃描方式的濾波反投影算法[D].北京：北京交通大學，2009.

Research on image reconstruction algorithm of filtered back projection

LI Jing

(School of Mathematics and Statistics,Zhoukou Normal University,Zhoukou 466001，China )

Abstract:CT is one of the application techniques of the image reconstruction, which has been widely used in various fields of natural science. The filtered back projection algorithm is mostly used in image reconstruction at present. On the basis of the theory of image reconstruction, the computer simulation and comparison experiments are carried out on the R-L, S-L, Hamming filter function and the new filter function by the filtered back projection algorithm. The experimental results show that the image quality is better, and the selection of filter function is the key.

Key words:image reconstruction; filtered back projection; filter function; Fourier transform; Radon transform

收稿日期：2015-09-28;修回日期：2015-10-29

基金項目：周口師范學院青年科研基金項目(No.zknuB315209)

作者簡介：李靜(1986- )，女，河南周口人，助教，碩士，主要研究方向:積分變換與圖像處理.

中圖分類號：TP391

文獻標志碼：A

文章編號：1671-9476(2016)02-0074-03

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.017