何宗友

(寧波新芝生物科技股份有限公司，浙江 寧波 315013)

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關(guān)于Abel差集的一個(gè)猜想及其推廣

何宗友

(寧波新芝生物科技股份有限公司，浙江 寧波 315013)

摘要：設(shè)p,q是素?cái)?shù),c,d是整數(shù),c≥1,d≥0,利用高次丟番圖方程的結(jié)果簡(jiǎn)短直接統(tǒng)一地證明了:(i)方程x2=q2dc2p2n-2cpn+r+1,當(dāng)且僅當(dāng)p=q時(shí)有正整數(shù)解(x,c,n,r)=(q2d+n-rc-1,c,n,d)滿足n≥r；(ii)方程x2=22dc2p2n-cpn+r+1,當(dāng)且僅當(dāng)p=2時(shí)有正整數(shù)解(x,c,n,r)=(22d+1+n-rc-1,c,n,d+1)滿足n≥r.

關(guān)鍵詞：丟番圖方程；Pell方程；Abel差集；正整數(shù)解

設(shè)p是素?cái)?shù),a,b是正整數(shù),丟番圖方程

x2=ap2n-bpn+r+1

(1)

與數(shù)論、組合論及編碼理論中的許多問(wèn)題有密切聯(lián)系[1-3].1992年S.L.Ma[4]在研究乘子為-1的Abel差集存在時(shí)提出了兩個(gè)猜想:

猜想1設(shè)(a,b)=(22m+2,22m+2),則方程(1)的正整數(shù)解(x,m,n,r)都滿足n=r.

猜想2設(shè)(a,b)=(22m+2,2m+2),則方程(1)當(dāng)且僅當(dāng)p=5時(shí)有正整數(shù)解(x,m,n,r)=(49,3,1,2).

1996年樂(lè)茂華和向青[5]證明了猜想1；1996年郭永東[6]證明了p為奇數(shù)時(shí)猜想1仍然正確；2009年楊仕椿[7]推廣文獻(xiàn)[6]的結(jié)果；2012年朱敏慧和成濤[8]證明了猜想2中方程沒有滿足n≥r正整數(shù)解(x,m,n,r)；猜想2至今仍然尚未解決. 2009年李偉勛[9]證明了(a,b)=(1,1)時(shí)方程(1)沒有滿足n>r>1正整數(shù)解(x,n,r)；2014年管訓(xùn)貴[10]證明了(a,b)=(c2,c)時(shí)方程(1)沒有滿足n>r>1正整數(shù)解(x,c,n,r).本文推廣了文獻(xiàn)[8-10]的結(jié)果,利用文獻(xiàn)[11]的定理1給出簡(jiǎn)短直接統(tǒng)一的證明.

定理1設(shè)(a,b)=(q2dc2,2c),q是素?cái)?shù),c,d是整數(shù),c≥1,d≥0,則方程(1)當(dāng)且僅當(dāng)p=q時(shí)有正整數(shù)解(x,c,n,r)=(q2d+n-rc-1,c,n,d)滿足n≥r.

定理2設(shè)(a,b)=(22dc2,c),q是素?cái)?shù),c,d是整數(shù),c≥1,d≥0,則方程(1)當(dāng)且僅當(dāng)p=2時(shí)有正整數(shù)解(x,c,n,r)=(22d+1+n-rc-1,c,n,d+1)滿足n≥r.

注: 在定理1中取d=0,c=2m+1,(a,b)=(q2dc2,2c)=(22m+2,2m+2),即得文獻(xiàn)[8]的定理；在定理2中取d=0,c=1,(a,b)=(22dc2,c)=(1,1),即得文獻(xiàn)[9]的定理；在定理2中取d=0,(a,b)=(22dc2,c) =(c2,c),即得文獻(xiàn)[10]的定理.

1 兩個(gè)引理

引理1[12]設(shè)D是正整數(shù)且不是平方數(shù), (u,v)是Pell方程

u2-Dv2=1

(2)

引理2[11]設(shè)D是正整數(shù)且不是平方數(shù),則方程

x2-Dp2n=1

(3)

除開D=22t-2-1,(u1,v1)=(2t-1,1),t>1是正整數(shù)時(shí),僅有一組解(x,p,n)=(22t-1-1,2,t)外,最多只有一組解(x,p,n)且滿足pn=v1,其中(u1,v1)是Pell方程u2-Dv2=1的基本解.

2定理的證明

定理1的證明.當(dāng)(a,b)=(q2dc2,2c),n≥r時(shí),由方程(1)得x2=q2dc2p2n-2cpn+r+1,整理得

x2-cpn-r(q2dcpn-r-2)p2r=1

(4)

可以驗(yàn)證(u,v)=(q2dcpn-r-1,qd)是Pell方程

u2-cpn-r(q2dcpn-r-2)v2=1

(5)

由引理2知,方程(4)最多只有一組解(x,p,r)且滿足pr=qd,故p=q,r=d,x=q2dcpn-r-1=q2d+n-rc-1.定理1證完.

定理2的證明.當(dāng)(a,b)=(22dc2,c),n≥r時(shí),由方程(1)得x2=22dc2p2n-cpn+r+1,整理得

x2-cpn-r(22dcpn-r-1)p2r=1

(6)

可以驗(yàn)證(u,v)=(22d+1cpn-r-1,2d+1)是Pell方程

u2-cpn-r(22dcpn-r-1)v2=1

(7)

的一組正整數(shù)解,且滿足

參考文獻(xiàn)：

[1]Calderbank R.On uniformly packed[n,n-k]Codes Over PG(q) and class of caps in PG(k-1,q)[J]. London Math. Soc.,1982,26:112-116.

[2]Ma S L.A survey of Partial differentce sets[J].Dexigns cryptoraphy,1994,4:221-261.

[3]Yuan Jin.On the product of consecutive elements of an arithmetic progression[J].Annales Univ Sci.Budapest Sect Comp.,2000,149(1):114-123.

[4]Ma S L.McFarland’s conjecture on abelian difference sets with multiplier-1[J].Designs Codes And Cryptography,1992,1(4):321-322.

[5]Le M H,Xiang Q.A result on Ma’s conjecture[J].J.Combin Theory,Ser A,1996,73(1):181-184.

[6]Guo Y D. On the Diophantine equation x2=22ak2m-22akm+m+1[J].Discuss Math,1996(16): 10-14．

[7]楊仕椿.與 Abel 差集有關(guān)的一個(gè)丟番圖方程的解[J].河南科學(xué),2009,21(1):25-26．

[8]朱敏慧,成濤.關(guān)于Abel差集的一個(gè)猜想[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(1):39-41.

[9]李偉勛.關(guān)于指數(shù)型超橢圓方程x2=p2m-pm+m+1[J].數(shù)學(xué)研究,2009,42(4):427-429.

[10]管訓(xùn)貴.與Abel差集有關(guān)的一個(gè)指數(shù)型超橢圓方程[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,31(5):1-2.

[11]何宗友.關(guān)于一類指數(shù)Diophantine方程的解[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào):理工版,2015,28(2):60-62.

[12]曹珍富.不定方程及其應(yīng)用[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,2000:6-7.

A conjecture on Abel difference sets and it’s generalize

HE Zongyou

(Ningbo Scientz Biotechnology Co.,Ltd.,Zhejiang Ningbo 315013,China)

Abstract:Let p,q are prime numbers, c,dare integers, c≥1,d≥0, using the results of high power Diophantine equation brief directly uniformly proved that:(i)the equation x2=q2dc2p2n-2cpn+r+1, if and only if the p=q, there is positive integer solutions (x,c,n,r)=(q2d+n-rc-1,c,n,d) to satisfy n≥r；(ii)the equation x2=22dc2p2n-cpn+r+1, if and only if the p=2,there is positive integer solutions (x,c,n,r)=(22d+1+n-rc-1,c,n,d+1) to satisfy n≥r.

Key words:diophantine equation；Pell equation；Abel difference set；positive integer solutions

收稿日期：2015-03-20;修回日期：2015-09-24

作者簡(jiǎn)介：何宗友(1972- ),男,陜西西鄉(xiāng)人,主要研究方向：數(shù)論.E-mail:hezongyou@126.com

中圖分類號(hào)：O156.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-9476(2016)02-0056-02

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.012