滕晶(貴州大學(xué)理學(xué)院,貴州貴陽 550025)

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高階廣義不確定性原理對量子力學(xué)中粒子能量及量子化條件的修正

滕晶(貴州大學(xué)理學(xué)院,貴州貴陽 550025)

【摘 要】廣義不確定性原理已經(jīng)廣泛的運(yùn)用在物理學(xué)中,本文以廣義不確定性原理為基礎(chǔ),針對如下兩種情況進(jìn)行修正:第一種情況是一個質(zhì)量為m,自旋為1/2的自由粒子的本征值的修正。第二種情況是研究一個盒子中的粒子,根據(jù)其特有的邊界條件,從而對其波函數(shù)進(jìn)行求解。在本文中,我們將證明,當(dāng)影響因子趨向于0,結(jié)論將自然過渡到傳統(tǒng)的狄拉克方程,說明本文的計算結(jié)果具有一定的準(zhǔn)確性。

【關(guān)鍵詞】量子力學(xué) 廣義不確定性原理 粒子

在近代物理學(xué)中，一些著名的理論例如:弦理論、圈量子引力理論、黑洞理論等都會自然導(dǎo)致一個結(jié)論——最小長度與最大動量的存在。更多的是，最小長度理論對非對易幾何學(xué)也有頗深的影響。在當(dāng)今的數(shù)學(xué)物理當(dāng)中，若是深入研究到量子層面，我們似乎很難避免與最小長度最大動量的聯(lián)系。因此，研究在廣義不確定性原理之下的量子力學(xué)顯得非常的有意義。

而如何將該原理融入到已有經(jīng)典結(jié)論進(jìn)行研究成為研究者的一個重大難題。在現(xiàn)代的研究中，經(jīng)典的時空觀念已經(jīng)不再適用于量子引力。更為準(zhǔn)確的說，當(dāng)研究者認(rèn)為長度小于普朗克長度，傳統(tǒng)的連續(xù)性的時空分解的概念已經(jīng)不再適用。盡管最小長度與最大動量的存在，對于一些具體的現(xiàn)象的影響是微乎其微的，但是該原理就像牛頓力學(xué)對宏觀世界的影響一樣無時無刻作用于微觀世界中。在量子力學(xué)中，原則上可以分別測量某粒子的準(zhǔn)確動量和位置，這個結(jié)果可以從海森堡不確定性原理中得出。所以如果想要將最小長度和最大動量理論融入到量子力學(xué)中，那么就必須從修正海森堡不確定性原理著手，這便是本文重點闡述的廣義不確定性原理[1-6]。由于量子引力的普遍性，無論是相對論量子力學(xué)或者是非相對論量子力學(xué)，最小長度與最大動量都影響著哈密頓量[7-8]，這個額外增加的哈密頓量將對體系產(chǎn)生影響?；诖耍髡呋趶V義不確定性原理，以一個質(zhì)量為m，自旋為1/2的粒子作為研究對象，探索粒子哈密頓量的變化、波函數(shù)的變化以及能量的修正，從而期望對整個物理過程有一個合理的解釋。

1 廣義不確定性原理

最為經(jīng)典的廣義不確定性原理的表達(dá)式是由Ali et al.創(chuàng)立，其表達(dá)式如下:

α—廣義不確定性關(guān)系的參數(shù)，無量綱

根據(jù)這個經(jīng)典的表達(dá)式，我們可以算出最小長度最大動量的表達(dá)式[9-10]:

從這個結(jié)論出發(fā)，前人對許多量子力學(xué)的問題都進(jìn)行了修正，并且得出了很多建設(shè)性的結(jié)論。然而，該表達(dá)式本身卻有著無法克服的困難，主要原因如下:

由于該提議本身出自于微擾，因此，只對小量有較好的模擬性。

盡管最小長度可以被之前理論解釋，但是最大動量的提出與DSR理論中的最大動量并不相同。事實上，該表達(dá)式只是給出了測量動量的上界，并不是可觀測的動量的值。

為了克服以上困難，我們采用如下所示的高階表達(dá)式[11]:

α—廣義不確定性關(guān)系的參數(shù)，無量綱

Mp—是普朗克質(zhì)量，g；

α0—無量綱的廣義不確定原理參數(shù)。

根據(jù)上面廣義不確定性關(guān)系的式子，得到式(5):

α—廣義不確定性關(guān)系的參數(shù)，無量綱

在坐標(biāo)表象中，坐標(biāo)與動量可以分別表示成如下的式子:

2 高階廣義不確定性原理對一個自由粒子的影響分析

這一部分以一個質(zhì)量為m，自旋為1/2的粒子作為研究對象。自旋為1/2的粒子必須用狄拉克方程來表示，具體式子如下所示:

該方程的解為:

下面我們將高階廣義不確定性原理的式子融入到狄拉克方程中。

該式在一維空間中的方程可表達(dá)為下式:

在這個方程中，當(dāng)a趨向于0，方程自然過渡到常規(guī)的狄拉克方程。因此我們假設(shè)以下等式為修正的狄拉克方程的解。將這個式子代回到(14)中，我們可以計算得到

從求解當(dāng)中，當(dāng)a趨向于0時，結(jié)論自然過渡到傳統(tǒng)的解，這與所預(yù)期的是相一致的。

3 高階廣義不確定性原理對一個盒子中的粒子影響分析

與非相對論情況不同的是，一個相對論粒子在一個盒子中，無法利用邊界條件進(jìn)行計算，這是由于在邊界上會出現(xiàn)一個所謂的克萊因謬論，從而使反射波的強(qiáng)度發(fā)生突變，高于入射波的強(qiáng)度，并且導(dǎo)致負(fù)能量粒子的數(shù)量增加。為了解決這個問題，Alberto，F(xiàn)iolhais，Gil等人建立了如下的假設(shè)。

m、M表明兩個獨立的常數(shù)，三個空間中的波函數(shù)分別為式

根據(jù)上一部分的結(jié)論已知在區(qū)域1與區(qū)域3有:

對上面幾式分析，如果M足夠的大，那么k就形同虛無。當(dāng)M趨向于無窮大時，那么第一個和第三個區(qū)域的波函數(shù)將會變?yōu)?。根據(jù)條件，波函數(shù)只存在于盒子內(nèi)，因此在邊界上的波函數(shù)為0，根據(jù)此邊界條件獲得式(24)、(25):利用之前給出的波函數(shù)(19)—(21)與邊界條件，作者計算得到:

如此，在z=0處粒子出現(xiàn)的概率就變?yōu)榱?，這個方法同樣適用于z=L處。因此，在盒子外面粒子出現(xiàn)的概率就變?yōu)榱?。利用等式(16)(17)與(28)，我們得到:

我們發(fā)現(xiàn)，式子的第一部分來自于相對論量子力學(xué)的影響，式子的后二部分則來自于廣義不確定性原理。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)高階廣義不確定性關(guān)系參數(shù)趨向于0時，結(jié)論自然過渡到非相對論的情況。

4 結(jié)語

本文基于高階廣義不確定性原理下，對一個自由粒子與在一個盒子中的粒子進(jìn)行研究獲得了如下結(jié)論:

(1)基于此原理，作者對狄拉克方程中的動量進(jìn)行修正。并且給出修正后的能量。從得到的式子發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)a趨向于0時，結(jié)論會過渡到通常的量子力學(xué)結(jié)論。

(2)第二部分是以一個盒子中的粒子作為計算，由于粒子處于一個封閉的空間，因此在盒子的邊界上，波函數(shù)必須為0，然后作者將第一部分中的結(jié)論運(yùn)用到這一部分，通過計算，得出量子化條件。通過對求解出來的式子進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，廣義測不準(zhǔn)原理對整個體系的影響是比較小的，但是這些微小的影響對現(xiàn)在或以后量子領(lǐng)域的研究具有較為深刻的意義。

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[11]PouriaPedram,arXiv:1210.5334v[hep-th]19Oct2012.