◎代 皋

(東區(qū)中學(xué)，廣東 中山 528403)

掌握導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定的三種方法

◎代 皋

(東區(qū)中學(xué)，廣東 中山 528403)

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性的有力工具，導(dǎo)數(shù)符號(hào)就是判斷或求解函數(shù)單調(diào)性問題的關(guān)鍵.課本例題中，給出了三種常見的方法：觀察法、不等式法、根分區(qū)間法.老師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，從而提高學(xué)生的解題能力.

觀察法；不等式法；根分區(qū)間法

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性的有力工具，導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷就是求解函數(shù)單調(diào)性問題的關(guān)鍵.教師在教學(xué)時(shí)，只列出用導(dǎo)數(shù)處理問題的幾個(gè)步驟，而在導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定的這一關(guān)鍵點(diǎn)上沒有講清楚，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)不知如何判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，影響問題的進(jìn)一步解決.其實(shí)在課本例題中，給出了三種常見的方法，歸納總結(jié)如下.

一、觀察法

函數(shù)f(x)求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)可以直接確定.例如課本中例題：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)=x3+3x，(2)f(x)=sinx-x(x∈(0,π))，求導(dǎo)后f′(x)=3x2+3，f′(x)=cosx-1，經(jīng)過觀察，導(dǎo)數(shù)符號(hào)在定義區(qū)間內(nèi)可以直接確定.(1)f′(x)>0，(2)f′(x)<0，問題顯然得以解決.

觀察法是判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的首要方法，平常的教學(xué)(或解題)中，針對(duì)問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生觀察的習(xí)慣，而不是去單純模仿，這對(duì)學(xué)生能力的提高是有益的.

二、不等式法

求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)、二次函數(shù)或其他簡單的超越函數(shù)，導(dǎo)數(shù)符號(hào)可正可負(fù)，我們可采用判定定理中的方法令f′(x)>0或f′(x)<0求解.例如課本中例習(xí)題：f(x)=2x3+3x2-24x+1,f(x)=ex-x，求導(dǎo)后f′(x)=6x2+9x2-24，f′(x)=ex-1，令f′(x)>0或f′(x)<0即可解決.但此法對(duì)有含參數(shù)的函數(shù)式或?qū)Χx域有限制的函數(shù)求解不好使用，可用第三種方法.

三、根分區(qū)間法

這是判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的常用方法.課本中，這一方法是在求極值的例題中出現(xiàn)的(即例題表格中的內(nèi)容)，總結(jié)出來便是根分區(qū)間法.其方法是求導(dǎo)后令f′(x)=0，解出方程根，畫出數(shù)軸，用根將定義域分成幾個(gè)區(qū)間，根據(jù)代值檢驗(yàn)法或圖像法判斷每一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)符號(hào).

分析f′(x)=x2-4，令f′(x)=0，解得x=2或x=-2，兩根將定義域(-∞,+∞)分為三個(gè)區(qū)間如下(畫數(shù)軸，根在定義域內(nèi)標(biāo)實(shí)點(diǎn)，不在定義域內(nèi)標(biāo)空圈).

①代值檢驗(yàn)：分別從三區(qū)間中選-3，0，3代入f′(x)得出導(dǎo)數(shù)符號(hào)為+,-,+.

②圖像法：畫出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的示意圖像，圖像在x軸上方f′(x)為正，下方f′(x)為負(fù).

解f′(x)=x2-4，令f′(x)=0，解得x=2或x=-2，列表如下：

x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗

所以，f(x)的增區(qū)間為(-∞,-2)，(2,+∞)；減區(qū)間為(-2,2).

函數(shù)單調(diào)性是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，其中含參討論是常考題型.學(xué)生在處理這類問題時(shí)往往不知道怎樣討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)，運(yùn)用課本上的三種基本方法解決此類問題,思路將變得清晰自然.

例 (2015新課標(biāo)全國卷文21)已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x)，討論f(x)的單調(diào)性.

①首先用觀察法，可以快速定號(hào)；因?yàn)閤>0，所以a≤0時(shí)，f′(x)>0；

由上可知，復(fù)習(xí)知識(shí)我們要回歸課本，善于歸納總結(jié).正如數(shù)學(xué)家華羅庚先生提出的“由薄到厚，由厚到薄”，就是不斷歸納概括的學(xué)習(xí)過程.而數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)和善于指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法的歸納.特別是高三總復(fù)習(xí)，學(xué)生幾乎是陷入題海之中，之所以學(xué)生做了很多的題，學(xué)得那么辛苦，效果還是不好，原因之一就是因?yàn)榻處熑鄙贇w納總結(jié)，特別是沒有帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)解題的規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié).