◎張三華

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

淺談用面積法解線段的相關(guān)問題

◎張三華

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

線段是構(gòu)成幾何圖形的重要元素.本文用面積法解初等幾何中的線段的線性關(guān)系問題和線段的不等問題.

線段；線性關(guān)系

初等幾何主要研究幾何的度量問題和點(diǎn)線的結(jié)合問題、線線的平行和垂直問題、點(diǎn)的軌跡問題等.線段的相關(guān)問題是初等幾何的重要問題.平面幾何中多邊形可以劃分為多個三角形.因此本文用三角形的面積公式解初等幾何中的線段的線性關(guān)系問題、線段的不等問題.

一、利用面積法解線段的線性關(guān)系問題

線段的線性關(guān)系是指線段之間的加、減、倍、分的關(guān)系.解決線段的線性關(guān)系通常把含有多線段的等式的一邊,通過作和、作差、作倍、作分等方法表示為一線段，然后轉(zhuǎn)化為相等線段的問題來解決，這種方法往往需要添加多條輔助線，有時由于輔助線的添加不合適，給解決問題帶來了一定的困難.用面積法解線段的線性關(guān)系時,添加輔助線較少,有時還不需要添加輔助線,直接利用面積公式和線段的關(guān)系,就可以解決問題.

例1 如圖1，在△P1P2P3中，P1P2=P1P3，P4是邊P2P3上的任意一點(diǎn)，P4P5⊥P1P3，P4P6⊥P1P2，P3P7⊥P1P2，求證：P3P7=P4P5+P4P6.

圖1

圖2

證明 如圖2,連接P1P4,由已知有

例2 如圖3,點(diǎn)P4,P5是邊P1P2,P1P3的中點(diǎn),求證：P2P3=2P4P5.

圖3

證明 如圖3,由于點(diǎn)P4,P5是邊P1P2,P1P3的中點(diǎn),

所以P1P2=2P1P4,P1P3=2P1P5,P2P3∥P4P5,∠P1P2P3=∠P1P4P5,

有P1P4·P2P3sin∠P1P2P3=2P1P4·P4P5sin∠P1P4P5,

即P2P3=2P4P5.

二、利用面積法解不等量問題

初等幾何中的不等量就是線段的不等關(guān)系與角度的不等關(guān)系,通常把多個不等量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個不等量的關(guān)系.在轉(zhuǎn)化的過程中,需要添加多條輔助線,給解決問題帶來了一定的困難.利用面積法解不等量問題,添加輔助線較少,有時還不需要添加輔助線,直接利用面積公式和線段的關(guān)系,找到不等量的關(guān)系,從而解決問題.

例3 如圖4,在△P1P2P3中,P2P4,P3P5分別是邊P3P1,P1P2的高線.若P1P2>P1P3,求證：P1P2+P3P5≥P1P3+P2P4.

圖4

證明 如圖4,P2P4⊥P1P3,P3P5⊥P1P2,

由已知P1P2-P1P3>0,

又P1P2≥P2P4,所以P1P2-P1P3≥P2P4-P3P5,

故有P1P2+P3P5≥P1P3+P2P4.