◎胡媛媛
(安徽省合肥市第一中學(xué),安徽 合肥 230601)
從n=k到n=k+1的“高能”遞推
——“數(shù)列不等式的證明”教學(xué)設(shè)計(jì)
◎胡媛媛
(安徽省合肥市第一中學(xué),安徽 合肥 230601)
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一,也是高考的重點(diǎn)考查對象.筆者通過對近幾年各地高考試題的研究發(fā)現(xiàn),有一類數(shù)列不等式的證明問題時(shí)有考查,而且占據(jù)高考最后一題的地位.但是,學(xué)生的答題情況卻很不樂觀,究其根本應(yīng)該是學(xué)生不知該如何著手進(jìn)行求證.事實(shí)上,數(shù)學(xué)歸納法是解決這類問題的有效手段,因此筆者根據(jù)學(xué)生的這一實(shí)際情況,在高考一輪復(fù)習(xí)“數(shù)學(xué)歸納法”之后,添加了一系列關(guān)于“數(shù)列不等式的證明”的復(fù)習(xí)專題課,現(xiàn)擇取其中第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)如下,歡迎同仁批評指正.
數(shù)列;不等式;數(shù)學(xué)歸納法
本堂專題課主要針對已知數(shù)列遞推公式,證明數(shù)列單調(diào)性及有界性的題型,向?qū)W生引入數(shù)學(xué)歸納法來解決此類數(shù)列不等式的證明問題,筆者希望學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)列遞推公式在數(shù)學(xué)歸納法的歸納遞推中的妙用,而其教學(xué)難點(diǎn)是歸納遞推中函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.
思考一會(huì)兒后請學(xué)生談一談解題思路.
生1:本題可以通過先求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,就是對遞推公式兩邊取對數(shù),再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式,然后再對判斷通項(xiàng)取值范圍的問題進(jìn)行證明.
師:很好,用數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式一直是我們高考的重難點(diǎn),生1對這一內(nèi)容掌握得相當(dāng)好.不過,有沒有同學(xué)有其他思路?
生2:這是一道“對一切正整數(shù)n都成立”的命題,是不是可以用數(shù)學(xué)歸納法來解決?
師:我們可以試一試.
證明 ①n=1時(shí),a1=1∈[0,1],不等式顯然成立;
②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),0≤ak≤1,
那么n=k+1時(shí),∵f(x)在區(qū)間[0,1]上單增,
∴0≤ak+1≤1,即n=k+1時(shí)不等式也成立.
由①②可知,0≤an≤1對一切正整數(shù)n都成立.
設(shè)計(jì)意圖 本題旨在讓學(xué)生通過比較,發(fā)現(xiàn)直接用數(shù)學(xué)歸納法證明的優(yōu)勢.
變式1 (改編自2008年安徽卷理21)
設(shè)函數(shù)f(x)=cx3+1-c,其中c∈[0,1],數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=f(an)(n∈N*),求證:0≤an≤1對一切正整數(shù)n都成立.
教師適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生完成證明過程.
證明 ①n=1時(shí),a1=0∈[0,1],不等式顯然成立;
②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),0≤ak≤1,
那么n=k+1時(shí),∵f′(x)=3cx2≥0,
∴f(x)在區(qū)間[0,1]上單增,
∴0≤1-c=f(0)≤f(ak)≤f(1)=1,
∴0≤ak+1≤1,即n=k+1時(shí)不等式也成立.
由①②可知,0≤an≤1對一切正整數(shù)n都成立.
設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與通項(xiàng)取值范圍有關(guān)的數(shù)列不等式,并體會(huì)函數(shù)單調(diào)性及有界性在歸納遞推證明中的作用.
變式2 (改編自2008年全國卷1理22)
(1)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù);
(2)求證:0 師:若沒有(1),就不容易證(2),題(1)為證明題(2)提供了思路.此例中除了求證數(shù)列通項(xiàng)的范圍(即數(shù)列有界性)外,還添加了數(shù)列單調(diào)性的證明,我們也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎?讓我們一起試一試. 證明 (1)f′(x)=1-(lnx+1)=-lnx. ∵0 ∴f(x)在區(qū)間(0,1)上單增. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:0 即0 ②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),0 那么n=k+1時(shí),∵f(x)在區(qū)間(0,1)上單增, ∴f(ak) ∴0 即n=k+1時(shí)不等式也成立. 由①②可知,0 說明 此題歸納遞推的證明中,雖然f(0)沒有意義,但ak+1>0是歸納假設(shè)中已經(jīng)有的,所以可以直接用. 設(shè)計(jì)意圖 通過給出首項(xiàng)及題目本身隱含條件an>0,降低題目難度,讓學(xué)生把精力著重放在體會(huì)函數(shù)單調(diào)性及有界性在歸納遞推證明中的作用. 師:通過這三個(gè)題目,同學(xué)們能不能談一談?dòng)惺裁词斋@? (學(xué)生總結(jié),教師完善補(bǔ)充) 收獲 數(shù)學(xué)歸納法的第二步是從n=k到n=k+1的遞推證明,而數(shù)列的遞推公式也是從n=k到n=k+1的一種遞推關(guān)系,所以我們可以利用數(shù)列遞推公式中蘊(yùn)含的an+1關(guān)于an的函數(shù)關(guān)系來完成數(shù)學(xué)歸納法中從n=k到n=k+1的遞推證明. 課堂小結(jié) 1.數(shù)學(xué)歸納法:證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題: (1)歸納奠基:證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立; (2)歸納遞推:假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立. 由(1)(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都成立. 2.已知數(shù)列遞推公式,可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)的范圍(有界性)及數(shù)列的單調(diào)性. 數(shù)列不等式的證明,因其方法的靈活性與綜合性強(qiáng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn),同時(shí)它考查了學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力,又成為近幾年高考的熱點(diǎn),因此有必要對數(shù)列不等式進(jìn)行進(jìn)一步的研究. 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間緊,任務(wù)重,可我們卻仍舊容易陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū),筆者認(rèn)為: 1.我們的復(fù)習(xí)課在理清有關(guān)基礎(chǔ)知識、基本方法的基礎(chǔ)上,要使它們結(jié)成塊,組成網(wǎng),進(jìn)而構(gòu)建研究相關(guān)對象的思路和方法.本節(jié)課所介紹的方法就是利用數(shù)列遞推公式中蘊(yùn)含的an+1關(guān)于an的函數(shù)關(guān)系來完成數(shù)學(xué)歸納法中從n=k到n=k+1的遞推證明. 2.針對高三繁重的復(fù)習(xí)任務(wù),我們更應(yīng)該給學(xué)生減壓,課堂上在精選例題的基礎(chǔ)上,進(jìn)行變式訓(xùn)練,舉一反三,觸類旁通. [1]王宇丹.幾種類型的不等式證明[J].理科考試研究,2014(23):3. [2]龔勤.數(shù)列不等式的證明方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(21):74-75.三、教學(xué)體會(huì)