◎胡媛媛

(安徽省合肥市第一中學(xué)，安徽 合肥 230601)

從n=k到n=k+1的“高能”遞推
——“數(shù)列不等式的證明”教學(xué)設(shè)計(jì)

◎胡媛媛

(安徽省合肥市第一中學(xué)，安徽 合肥 230601)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，也是高考的重點(diǎn)考查對(duì)象.筆者通過(guò)對(duì)近幾年各地高考試題的研究發(fā)現(xiàn)，有一類數(shù)列不等式的證明問(wèn)題時(shí)有考查，而且占據(jù)高考最后一題的地位.但是，學(xué)生的答題情況卻很不樂觀，究其根本應(yīng)該是學(xué)生不知該如何著手進(jìn)行求證.事實(shí)上，數(shù)學(xué)歸納法是解決這類問(wèn)題的有效手段，因此筆者根據(jù)學(xué)生的這一實(shí)際情況，在高考一輪復(fù)習(xí)“數(shù)學(xué)歸納法”之后，添加了一系列關(guān)于“數(shù)列不等式的證明”的復(fù)習(xí)專題課，現(xiàn)擇取其中第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)如下，歡迎同仁批評(píng)指正.

數(shù)列；不等式；數(shù)學(xué)歸納法

一、教學(xué)定位及難點(diǎn)

本堂專題課主要針對(duì)已知數(shù)列遞推公式，證明數(shù)列單調(diào)性及有界性的題型，向?qū)W生引入數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決此類數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，筆者希望學(xué)生可以通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)列遞推公式在數(shù)學(xué)歸納法的歸納遞推中的妙用，而其教學(xué)難點(diǎn)是歸納遞推中函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.

二、教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)意圖

思考一會(huì)兒后請(qǐng)學(xué)生談一談解題思路.

生1：本題可以通過(guò)先求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，就是對(duì)遞推公式兩邊取對(duì)數(shù)，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，然后再對(duì)判斷通項(xiàng)取值范圍的問(wèn)題進(jìn)行證明.

師：很好，用數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式一直是我們高考的重難點(diǎn)，生1對(duì)這一內(nèi)容掌握得相當(dāng)好.不過(guò)，有沒有同學(xué)有其他思路？

生2：這是一道“對(duì)一切正整數(shù)n都成立”的命題，是不是可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決？

師：我們可以試一試.

證明 ①n=1時(shí)，a1=1∈[0,1]，不等式顯然成立；

②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，0≤ak≤1，

那么n=k+1時(shí)，∵f(x)在區(qū)間[0,1]上單增，

∴0≤ak+1≤1，即n=k+1時(shí)不等式也成立.

由①②可知，0≤an≤1對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

設(shè)計(jì)意圖 本題旨在讓學(xué)生通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)直接用數(shù)學(xué)歸納法證明的優(yōu)勢(shì).

變式1 (改編自2008年安徽卷理21)

設(shè)函數(shù)f(x)=cx3+1-c，其中c∈[0,1]，數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=f(an)(n∈N*)，求證：0≤an≤1對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生完成證明過(guò)程.

證明 ①n=1時(shí)，a1=0∈[0,1]，不等式顯然成立；

②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，0≤ak≤1，

那么n=k+1時(shí)，∵f′(x)=3cx2≥0，

∴f(x)在區(qū)間[0,1]上單增，

∴0≤1-c=f(0)≤f(ak)≤f(1)=1，

∴0≤ak+1≤1，即n=k+1時(shí)不等式也成立.

由①②可知，0≤an≤1對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與通項(xiàng)取值范圍有關(guān)的數(shù)列不等式，并體會(huì)函數(shù)單調(diào)性及有界性在歸納遞推證明中的作用.

變式2 (改編自2008年全國(guó)卷1理22)

(1)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；

(2)求證：0

師：若沒有(1)，就不容易證(2)，題(1)為證明題(2)提供了思路.此例中除了求證數(shù)列通項(xiàng)的范圍(即數(shù)列有界性)外，還添加了數(shù)列單調(diào)性的證明，我們也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明嗎？讓我們一起試一試.

證明 (1)f′(x)=1-(lnx+1)=-lnx.

∵00,

∴f(x)在區(qū)間(0,1)上單增.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：0

即0

②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，0

那么n=k+1時(shí)，∵f(x)在區(qū)間(0,1)上單增，

∴f(ak)

∴0

即n=k+1時(shí)不等式也成立.

由①②可知，0

說(shuō)明 此題歸納遞推的證明中，雖然f(0)沒有意義，但ak+1>0是歸納假設(shè)中已經(jīng)有的，所以可以直接用.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)給出首項(xiàng)及題目本身隱含條件an>0，降低題目難度，讓學(xué)生把精力著重放在體會(huì)函數(shù)單調(diào)性及有界性在歸納遞推證明中的作用.

師：通過(guò)這三個(gè)題目，同學(xué)們能不能談一談?dòng)惺裁词斋@？

(學(xué)生總結(jié)，教師完善補(bǔ)充)

收獲 數(shù)學(xué)歸納法的第二步是從n=k到n=k+1的遞推證明，而數(shù)列的遞推公式也是從n=k到n=k+1的一種遞推關(guān)系，所以我們可以利用數(shù)列遞推公式中蘊(yùn)含的an+1關(guān)于an的函數(shù)關(guān)系來(lái)完成數(shù)學(xué)歸納法中從n=k到n=k+1的遞推證明.

課堂小結(jié) 1.數(shù)學(xué)歸納法：證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題：

(1)歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；

(2)歸納遞推：假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立.

由(1)(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)都成立.

2.已知數(shù)列遞推公式，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)的范圍(有界性)及數(shù)列的單調(diào)性.

三、教學(xué)體會(huì)

數(shù)列不等式的證明，因其方法的靈活性與綜合性強(qiáng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，同時(shí)它考查了學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力，又成為近幾年高考的熱點(diǎn)，因此有必要對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間緊，任務(wù)重，可我們卻仍舊容易陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū)，筆者認(rèn)為：

1.我們的復(fù)習(xí)課在理清有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的基礎(chǔ)上，要使它們結(jié)成塊，組成網(wǎng)，進(jìn)而構(gòu)建研究相關(guān)對(duì)象的思路和方法.本節(jié)課所介紹的方法就是利用數(shù)列遞推公式中蘊(yùn)含的an+1關(guān)于an的函數(shù)關(guān)系來(lái)完成數(shù)學(xué)歸納法中從n=k到n=k+1的遞推證明.

2.針對(duì)高三繁重的復(fù)習(xí)任務(wù)，我們更應(yīng)該給學(xué)生減壓，課堂上在精選例題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行變式訓(xùn)練，舉一反三，觸類旁通.

[1]王宇丹.幾種類型的不等式證明[J].理科考試研究，2014(23)：3.

[2]龔勤.數(shù)列不等式的證明方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(21)：74-75.