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        與特殊四邊形相關(guān)的熱點(diǎn)問題

        2016-06-01 03:24:59宋志娟
        初中生世界 2016年22期
        關(guān)鍵詞:四邊形矩形正方形

        宋志娟

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        與特殊四邊形相關(guān)的熱點(diǎn)問題

        宋志娟

        本章探究的是平行四邊形以及特殊平行四邊形的相關(guān)知識,重點(diǎn)是分清不同四邊形的區(qū)別與聯(lián)系,理解和掌握它們的定義、性質(zhì)及判定方法.這部分內(nèi)容在中考中經(jīng)常出現(xiàn),下面我們通過例子說明解決這類問題的方法.

        一、與概念相關(guān)的問題

        例1已知四邊形ABCD,有以下四個條件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.從這四個條件中任選兩個,能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)共有().

        A. 6種B. 5種C. 4種D. 3種

        【分析】從四個條件可以知道,條件中只涉及四邊形的對邊相等和平行.根據(jù)對邊關(guān)系判定平行四邊形有以下3種方法:

        (1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;

        (2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

        (3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

        滿足(1)的有①③,滿足(2)的有②④,滿足(3)的有①②或③④,所以一共有4種選法.

        【點(diǎn)評】當(dāng)被研究的問題有可能出現(xiàn)多種情況時,我們必須按可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)不遺漏地進(jìn)行分類討論.

        二、與折疊相關(guān)的問題

        圖1

        【分析】根據(jù)點(diǎn)E 是AD的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì),我們有AE= DE=EG,可以證得△EDF和△EGF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=GF.設(shè)FD=x,則可用x表示出FC、BF,在Rt△BCF中,利用勾股定理建立方程即可得其解.

        解:∵E是AD的中點(diǎn),

        ∴AE=DE,

        ∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE,

        ∴AE=EG,AB=BG,

        ∴ED=EG,

        ∵在矩形ABCD中,

        ∴∠A=∠D=90°,

        ∴∠EGF=90°,

        ∵在Rt△EDF和Rt△EGF中,

        ∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL),

        ∴DF=FG,

        設(shè)DF=x,則BF=6+x,CF=6-x,

        解得x=4.

        ∴DF=4.

        【點(diǎn)評】由折疊對應(yīng)得到對應(yīng)角相等,對應(yīng)線段相等,由此得到兩個三角形全等,再運(yùn)用勾股定理建立方程,是解決這類問題常用的方法.

        三、與最值相關(guān)的問題

        例3如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E 在BC上,BE=3,CE=2,點(diǎn)P在BD上,求PE+ PC的最小值.

        圖2

        圖3

        【分析】由于PE、PC的值均不能直接求出,要求PE+PC的最小值,可考慮通過作輔助線將PE或PC轉(zhuǎn)化為與其相等的線段,利用相關(guān)定理找出PE+PC的最小值.

        解:如圖3,連接AE、AP,

        ∵點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

        ∴PE+PC=PE+AP,

        根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

        ∵正方形ABCD的邊長為5,BE=3,

        【點(diǎn)評】正方形是軸對稱圖形,借助其軸對稱性可以巧妙地解決一些與正方形有關(guān)的問題.當(dāng)然這個題目的背景還可以換為菱形.解決這類問題的一般思路是利用對稱性,借助轉(zhuǎn)化,建立“兩點(diǎn)之間,線段最短”的幾何模型.

        四、與動點(diǎn)相關(guān)的問題

        例4如圖4,在矩形ABCD中,AB=4 cm,AD=12 cm,點(diǎn)P在AD邊上以每秒1 cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動,點(diǎn)Q在BC邊上,以每秒4 cm的速度從點(diǎn)C出發(fā),在CB間往返運(yùn)動,兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時停止(同時點(diǎn)Q也停止)運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時PQ∥AB.

        圖4

        【分析】點(diǎn)P從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D需12秒,所以點(diǎn)Q需在B、C間往返兩次,而在每次的運(yùn)動過程中都有一次PQ∥AB,根據(jù)AD∥BC,PQ∥AB,可知四邊形APQB是平行四邊形,則PA=BQ,列方程求解即可得到所需時間.

        解:∵四邊形ABCD是矩形,

        ∴AD∥BC,

        若PQ∥AB,

        則四邊形APQB是平行四邊形,

        ∴AP=BQ,

        ①當(dāng)0≤t<3時,

        設(shè)過了t秒,PQ∥AB,則PA=t,BQ=12-4t,

        ∴t=12-4t,

        解得:t=2.4(s),

        ②當(dāng)3≤t<6時,

        PA=t,BQ=4t-12,

        ∴t=4t-12,

        解得:t=4(s),

        ③當(dāng)6≤t<9時

        PA=t,BQ=36-4t,

        ∴t=36-4t,

        解得:t=7.2(s),

        ④當(dāng)9≤t≤12時,

        PA=t,BQ=4t-36,

        ∴t=4t-36,

        解得:t=12(s).

        ∴當(dāng)t=2.4、4、7.2、12秒時PQ∥AB.

        【點(diǎn)評】在分析過程中,要特別關(guān)注圖形的特性,尋找合理的代數(shù)關(guān)系式,確定運(yùn)動變化過程中的數(shù)量關(guān)系和圖形的位置關(guān)系,這樣就能找到解決問題的途徑.

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