宋志娟
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與特殊四邊形相關(guān)的熱點(diǎn)問題
宋志娟
本章探究的是平行四邊形以及特殊平行四邊形的相關(guān)知識,重點(diǎn)是分清不同四邊形的區(qū)別與聯(lián)系,理解和掌握它們的定義、性質(zhì)及判定方法.這部分內(nèi)容在中考中經(jīng)常出現(xiàn),下面我們通過例子說明解決這類問題的方法.
例1已知四邊形ABCD,有以下四個條件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.從這四個條件中任選兩個,能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)共有().
A. 6種B. 5種C. 4種D. 3種
【分析】從四個條件可以知道,條件中只涉及四邊形的對邊相等和平行.根據(jù)對邊關(guān)系判定平行四邊形有以下3種方法:
(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
滿足(1)的有①③,滿足(2)的有②④,滿足(3)的有①②或③④,所以一共有4種選法.
【點(diǎn)評】當(dāng)被研究的問題有可能出現(xiàn)多種情況時,我們必須按可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)不遺漏地進(jìn)行分類討論.
圖1
【分析】根據(jù)點(diǎn)E 是AD的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì),我們有AE= DE=EG,可以證得△EDF和△EGF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=GF.設(shè)FD=x,則可用x表示出FC、BF,在Rt△BCF中,利用勾股定理建立方程即可得其解.
解:∵E是AD的中點(diǎn),
∴AE=DE,
∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE,
∴AE=EG,AB=BG,
∴ED=EG,
∵在矩形ABCD中,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠EGF=90°,
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中,
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL),
∴DF=FG,
設(shè)DF=x,則BF=6+x,CF=6-x,
解得x=4.
∴DF=4.
【點(diǎn)評】由折疊對應(yīng)得到對應(yīng)角相等,對應(yīng)線段相等,由此得到兩個三角形全等,再運(yùn)用勾股定理建立方程,是解決這類問題常用的方法.
例3如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E 在BC上,BE=3,CE=2,點(diǎn)P在BD上,求PE+ PC的最小值.
圖2
圖3
【分析】由于PE、PC的值均不能直接求出,要求PE+PC的最小值,可考慮通過作輔助線將PE或PC轉(zhuǎn)化為與其相等的線段,利用相關(guān)定理找出PE+PC的最小值.
解:如圖3,連接AE、AP,
∵點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,
∴PE+PC=PE+AP,
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值,
∵正方形ABCD的邊長為5,BE=3,
【點(diǎn)評】正方形是軸對稱圖形,借助其軸對稱性可以巧妙地解決一些與正方形有關(guān)的問題.當(dāng)然這個題目的背景還可以換為菱形.解決這類問題的一般思路是利用對稱性,借助轉(zhuǎn)化,建立“兩點(diǎn)之間,線段最短”的幾何模型.
例4如圖4,在矩形ABCD中,AB=4 cm,AD=12 cm,點(diǎn)P在AD邊上以每秒1 cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動,點(diǎn)Q在BC邊上,以每秒4 cm的速度從點(diǎn)C出發(fā),在CB間往返運(yùn)動,兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時停止(同時點(diǎn)Q也停止)運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時PQ∥AB.
圖4
【分析】點(diǎn)P從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D需12秒,所以點(diǎn)Q需在B、C間往返兩次,而在每次的運(yùn)動過程中都有一次PQ∥AB,根據(jù)AD∥BC,PQ∥AB,可知四邊形APQB是平行四邊形,則PA=BQ,列方程求解即可得到所需時間.
解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
若PQ∥AB,
則四邊形APQB是平行四邊形,
∴AP=BQ,
①當(dāng)0≤t<3時,
設(shè)過了t秒,PQ∥AB,則PA=t,BQ=12-4t,
∴t=12-4t,
解得:t=2.4(s),
②當(dāng)3≤t<6時,
PA=t,BQ=4t-12,
∴t=4t-12,
解得:t=4(s),
③當(dāng)6≤t<9時
PA=t,BQ=36-4t,
∴t=36-4t,
解得:t=7.2(s),
④當(dāng)9≤t≤12時,
PA=t,BQ=4t-36,
∴t=4t-36,
解得:t=12(s).
∴當(dāng)t=2.4、4、7.2、12秒時PQ∥AB.
【點(diǎn)評】在分析過程中,要特別關(guān)注圖形的特性,尋找合理的代數(shù)關(guān)系式,確定運(yùn)動變化過程中的數(shù)量關(guān)系和圖形的位置關(guān)系,這樣就能找到解決問題的途徑.