戴子棟 王繼剛 金 鋮 孫清磊

(淮海工學院測繪工程學院，江蘇 連云港 222005)

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·測量·

基于最優(yōu)回歸方程的GPS高程擬合研究

戴子棟 王繼剛*金 鋮 孫清磊

(淮海工學院測繪工程學院，江蘇 連云港 222005)

分析了二次曲面擬合方法，討論了最優(yōu)回歸方程選取的三個準則，提出了基于最優(yōu)回歸方程的GPS高程擬合方法，最后通過實例計算，給出了最優(yōu)回歸方程的選取步驟，驗證了該方法的有效性。

GPS高程，擬合，二次曲面，最優(yōu)回歸方程

1 概述

GPS工程中常常遇到高程擬合問題。解決這一問題的基本思路是，首先根據(jù)聯(lián)測點上的高程異常，對測區(qū)內的似大地水準面進行趨勢分析，在此基礎上，建立區(qū)域似大地水準面的數(shù)學模型，利用該模型求得非聯(lián)測點的高程異常，即可求得相應GPS點的正常高[1]。其中曲面擬合是常用模型之一。在應用曲面擬合時往往采用低次曲面函數(shù)，對于面積小且較為平坦的區(qū)域一般選擇一次曲面，其他情況下則選擇二次曲面。這種選擇往往依據(jù)經(jīng)驗，缺乏必要的理論解釋。從數(shù)學角度看，這種曲面擬合法就是建立平面坐標與高程異常之間的線性回歸模型。如何選取最優(yōu)回歸方程，線性回歸模型中有著豐富的理論[2]，文獻[3]研究了逐步回歸法。用逐步回歸法選取的擬合方程是建立在假設檢驗基礎上的，該方法最大的優(yōu)點是自變量較多時優(yōu)越性明顯。我們知道統(tǒng)計假設檢驗總是會犯兩類錯誤且受制于初始模型，鑒于GPS擬合中所選曲面次數(shù)不超過二次，自變量的個數(shù)不多，因此可以全面衡量每一個GPS高程擬合方程，從中選出最優(yōu)的回歸方程，進而提高GPS高程擬合的精度。

因此，本文討論了建立最優(yōu)回歸方程的幾個準則，結合GPS高程擬合實例，對比分析得到一些有益的結論。

2 最優(yōu)回歸方程的建立

在一定區(qū)域范圍內，高程異常ζ可以看作是大地坐標(B,L)或平面坐標(x,y)的擬合函數(shù)：

ζ=f(x,y,…)+e

(1)

其中,e為隨機誤差；函數(shù)f(x,y,…)中的每一項看作是因變量ζ所對應函數(shù)的自變量。如果函數(shù)模型取作二次曲面，式(1)可以寫成:

ζ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(2)

其中,a0為常數(shù)項；ai(i=1,2,3,4,5)為自變量的系數(shù)，以下簡稱此模型為全模型。相對應地，只要這六個系數(shù)不同時為0的模型，稱之為選模型。測量中常用的一次曲面:

ζ=a0+a1x+a2y

(3)

可以看成是一種選模型，此時a3=a4=a5=0，以下簡稱為一次曲面。

利用聯(lián)測點的高程異常值求解這六個參數(shù)，從數(shù)據(jù)處理角度上看，是一個線性回歸問題。線性回歸理論指出可選的自變量集合中，選擇一個最優(yōu)的自變量子集是非常重要的[3]。因為全模型中往往把對因變量沒有影響的自變量也包含在回歸方程中，導致計算量變得很大，并且預報的精度也下降很多。如何在可用的模型中選取最優(yōu)的模型，這就是最優(yōu)回歸方程選取問題。建立最優(yōu)回歸方程，首先要確立選取的準則。

我們知道殘差平方和RSS的大小反映了實際數(shù)據(jù)與理論模型之間的偏離程度，是評價擬合方程的一個重要標準。一般來說，RSS越小，數(shù)據(jù)與模型擬合得越好，全模型殘差平方和為:

(4)

相應地方差為：

(5)

其中，n為參與建模點的個數(shù)。

在選模型中，由于RSS是隨著擬合變量個數(shù)的增加而下降，為了防止選取的自變量過多，于是我們把殘差平方和乘上一個隨擬合系數(shù)個數(shù)q增加而上升的函數(shù)作為懲罰因子，記為:

(6)

按照RMSq的定義，我們可以依據(jù)RMSq越小越好的原則選取自變量子集，并簡稱為RMSq準則。

式(6)說明不能無限制增加擬合參數(shù)以提高精度，當擬合方差變化比較緩慢了，再增加擬合參數(shù)對提高擬合精度意義不大。同時該式也說明不能以過多地增加未知數(shù)的個數(shù)來提高擬合的精度，這也正是不宜用高次曲面擬合GPS高程的原因。實際上，式(6)就是模型擬合方差，測繪界習慣稱之為內符合精度。

RMSq準則是從數(shù)據(jù)與擬合模型優(yōu)劣的角度出發(fā)導出的，如果從預報角度考慮，可以選用Mallows在1964年提出的Cp準則，該準則定義為：

(7)

Cp準則依據(jù)“Cp愈小愈好”的原則選取自變量子集。

極大似然原理是統(tǒng)計學中估計參數(shù)的一種重要方法。日本統(tǒng)計學家Akaike把這個方法加以修正，于1974年提出了一種較為一般的模型選取準則，稱為Akaike信息量準則，簡稱AIC準則，它可以表述為:

AIC=nln(RSSq)+2q

(8)

使式(8)達到最小的那組自變量組合即為最優(yōu)組合，從而獲得了最優(yōu)回歸方程。

以上三個準則，根據(jù)建模的不同需要，顧及各準則的側重點不同而選取不同的準則衡量最優(yōu)回歸方程。

選定準則后，針對所有的備選模型計算相應指標。在建立高程擬合實踐中，如前所述由于全模型有六個自變量，平面擬合模型一般有三個自變量，因此可選的自變量子集僅有七個，計算量并未顯著增加。從平面擬合開始分別對這七個子集做回歸，尋找最優(yōu)回歸方程即最優(yōu)建模方程。

可以看出，本文方法不必考慮用假設檢驗來判斷增減自變量，因此可以避免逐步回歸法中由假設檢驗可能帶來的棄真和納偽兩種錯誤所帶來的不良影響。

3 實例

表1 高程異常的原始數(shù)據(jù)

本文選取了某市D級GPS網(wǎng)(平坦地區(qū),區(qū)域面積約為300 km2)40個水準聯(lián)測點進行試驗[4,5]。高程異常的原始數(shù)據(jù)見表1。首先選取了測區(qū)內均勻分布的10個點作為建模點，使其滿足建立擬合模型的要求，而其余的30個點作為模型的檢核點，如圖1所示。圖中編號1～10的點是建模點，用矩形與十字光標組合圖形標示，而空心圓點代表檢核點，其編號為10～40。

運用二次曲面擬合GPS高程，自變量最大子集是{x,y,x2,xy,y2}，從平面擬合至少選取{x,y}兩個自變量開始做擬合方程，分別計算每種模型所對應的三種最優(yōu)準則指標量，其結果如表2所示。

表2 擬合數(shù)據(jù)所有可能回歸的RMSq，Cp和AIC值及外符合精度

根據(jù)表2可知，在全模型中，y2與其他變量存在復共線關系，應予以舍去。當選模型的自變量子集為x,y,x2,xy時，RMSq，Cp和AIC三個準則的指標值都最小，三種準則呈現(xiàn)了較好的一致性，所以該子集建立的回歸模型為最優(yōu)回歸模型。此時，擬合方程為:

ζ=-1 996.546 476 672 75+0.001 297 809 77x-
0.001 065 262 82y-0.000 000 000 204x2+0.000 000 000 30xy

。

按照測量習慣，我們通常要依據(jù)中誤差定義計算外符合精度[6]驗證模型的適用性。表3給出了全模型和最優(yōu)模型的擬合殘差Δ，即擬合值與觀測值之差，此處可以視為高程真誤差。為了便于比較各模型精度，計算了所有二次曲面模型的外符合精度，結果見表2。從外符合精度來看，最優(yōu)模型建模精度與全模型精度相當。

綜上所述，對于本試驗區(qū)來說，運用最優(yōu)回歸方程建立的擬合模型其內外符合精度俱佳，且方法可靠。

為了進一步比較本文提出的最優(yōu)回歸方程特點，筆者也用了逐步回歸法尋求擬合方程，無論顯著水平選為0.05，還是0.1，所得的擬合方程都是平面擬合模型。從表2中可以看出，最優(yōu)回歸方程建立的擬合模型明顯優(yōu)于平面擬合模型。

4 結語

本文在討論運用RMSq準則即中誤差準則確定最優(yōu)回歸方程時，對測繪工程實踐中常用平面擬合或二次曲面擬合GPS高程這一經(jīng)驗模型，給出了合理的解釋?；谧顑?yōu)回歸方程獲得的曲面擬合方程，選取最優(yōu)方程的準則多樣，不僅僅是中誤差，還可以考慮Cp和AIC準則，實踐中可以依據(jù)工程需要合理選擇。

實際上對于用低次曲面擬合GPS高程來說，本文所提出方法的計算量與逐步回歸方法相比增加不多，同時該法可以克服假設檢驗選取最優(yōu)自變量所帶來的不良影響，進而保證了入選因子在模型中都是顯著的，克服了復共線性問題，提高了解的可靠性。

表3 檢核點高程異常擬合殘差

最后，需要說明的是GPS高程擬合精度不僅與所選取的數(shù)據(jù)模型有關，而且與物理模型密切相關。因此，欲進一步提高精度應全面考慮GPS高程擬合的幾何物理模型。

[1] 徐紹銓，張華海，楊志強，等.GPS測量原理及應用[M].第3版.武漢:武漢大學出版社,2008.

[2] 王松桂，陳 敏，陳立萍.線性統(tǒng)計模型：線性回歸與方差分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3] 翟高鵬，花向紅，劉金標,等.基于逐步回歸的GPS高程擬合方法研究[J].城市勘測，2011(5):62-64.

[4] 胡伍生.神經(jīng)網(wǎng)絡理論及其工程應用[M].北京：測繪出版社,2006.

[5] 胡伍生，華錫生，張志偉.平坦地區(qū)轉換GPS高程的混合轉換法[J].測繪學報,2002(2):101-103.

[6] 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M].第2版.武漢:武漢大學出版社,2010.

Study on GPS height fitting based on the optimal regression equation

Dai Zidong Wang Jigang*Jin Cheng Sun Qinglei

(Department of Surveying and Mapping of Huaihai Institute of Technology, Lianyungang 222005, China)

The quadric surface fitting method is analyzed and three principles for the choice of optimal regression equation are discussed in this paper. Therefore, GPS height fitting based on the optimal regression equation is put forward. Finally, the selection step of the optimal regression equation is given and its validity is verified through the example.

GPS height, fitting, quadric surface, optimal regression equation

1009-6825(2016)12-0203-03

2016-02-17

戴子棟(1995- )，男，在讀本科生

王繼剛(1973- )，男，博士，講師

P228.4

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