張 旭 波

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430000)

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以兩道運(yùn)動(dòng)學(xué)問題為例談巧用繩子列補(bǔ)充方程

張 旭 波

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430000)

介紹了理論力學(xué)中繩子不計(jì)質(zhì)量、不可伸長(zhǎng)的特點(diǎn)，以兩道簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題為例，闡述了通過繩子的特點(diǎn)，解決多物體由繩子相連的問題，對(duì)類似問題的解決方法有一定的參考價(jià)值。

繩子，運(yùn)動(dòng)學(xué)，滑輪，加速度

1 繩子的特點(diǎn)

在理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)部分的學(xué)習(xí)中，常常需要解決兩個(gè)或兩個(gè)以上物體通過繩子相連的問題。這一類問題也常常讓同學(xué)們頭痛，明明已經(jīng)將物體分離，并且對(duì)物體進(jìn)行了分析，但有時(shí)候卻無法找到物體運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系，有的同學(xué)甚至?xí)霈F(xiàn)概念不清，亂用動(dòng)量矩定理的推論——對(duì)自己認(rèn)為“應(yīng)該”是速度瞬心的位置求應(yīng)用動(dòng)量矩定理，結(jié)果自然是得到錯(cuò)誤的答案。其實(shí)，在這種情況下，只需要弄清楚連接物體的繩子的特點(diǎn)，問題就可以迎刃而解。

理論力學(xué)各種習(xí)題中繩子常見的特點(diǎn)有：1)不計(jì)質(zhì)量，因此，同一個(gè)繩段兩端作用的力大小相等，方向相反；2)不可伸長(zhǎng)，因此，同一繩段上的速度，加速度(或切向加速度)相同。利用這兩個(gè)特點(diǎn)就可以列出相關(guān)物體間運(yùn)動(dòng)量關(guān)系的補(bǔ)充方程。下面將以兩道簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題為例，進(jìn)一步闡述對(duì)這兩特點(diǎn)的應(yīng)用，望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有幫助。

2 應(yīng)用舉例

對(duì)物體A由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：

對(duì)于繩段AC由特點(diǎn)1)可知，作用在A點(diǎn)和C點(diǎn)的力大小相等，方向相反，故對(duì)物體O1由動(dòng)量矩定理有：

同理，對(duì)繩段DE和繩段O2B，作用在D和E上的力大小相等，方向相反，作用在O2和B上的力大小相等，方向相反。因此，對(duì)物體B同樣有：

再由特點(diǎn)2)可知，繩段AC中A處與C處加速度相同，并且繩上C處的加速度等于物體O1的C處的切向加速度，故有補(bǔ)充方程：

aA=αO1·R。

同理繩段DE處有：aD=aE,其中，aD=αO1·R。

而繩段FI由于F處為固定端，無速度，因此I處的速度也為0。且由于I到質(zhì)心O2的距離不變，為R，由此，I為物體O2的速度瞬心。因此，以O(shè)2為對(duì)象由動(dòng)量矩定理的推論得：

并且可得到：aE=αO2·R。

聯(lián)立以上方程得：

這里應(yīng)該注意的是兩個(gè)圓盤的速度瞬心是不同的，對(duì)物體O1來說，其做的是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，O1是其轉(zhuǎn)軸。但對(duì)于物體O2,有的同學(xué)為求簡(jiǎn)便，想對(duì)速度瞬心運(yùn)用動(dòng)量矩定理，但是卻找不到速度瞬心。這時(shí)倘若能夠掌握好繩子的特點(diǎn)，就可以得到與固定端相連處I就是速度瞬心，再加上I與O2距離不變，對(duì)I運(yùn)用動(dòng)量矩定理就水到渠成。

例2:O1,O2兩輪質(zhì)量皆為m，對(duì)各自輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mr2，且有R=2r，如圖3所示。小定滑輪C及繞于兩輪的細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)，輪O2沿斜面只滾不滑。求O1,O2兩輪的加速度。

解：將輪O1,O2分別拿出研究，受力分析如圖4所示。

同樣由繩子的特點(diǎn)可得，由于O1輪與固定段繩段接觸，因此其速度瞬心在接觸點(diǎn)A，故有：

JA·αA=mg·2r-Fc·3r。

輪O2的速度瞬心在與斜面接觸點(diǎn)B處，故有：

JB·αB=Fc·r+mg·sin30°·r。

其中：

JA=mr2+m(2r)2=5mr2。

JB=mr2+mr2=2mr2。

兩輪相連處，由繩子特點(diǎn)2)可知：

a=3r·αA=r·αB。

由此解得：

例2其實(shí)與例1差別不大，只是A，B相連處各自的加速度3r·αA，r·αB較難計(jì)算，但得出各自的加速度后，只要運(yùn)用繩子的特點(diǎn)2)，就可以得到補(bǔ)充方程，問題也一樣能夠迎刃而解。

3 結(jié)語

由于多個(gè)物體通過繩子連接在生活中其實(shí)很常見，因此，掌握了這兩個(gè)特點(diǎn)不僅對(duì)同學(xué)們解決此類問題有參考價(jià)值，也有一定的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。通過上述兩個(gè)例子可知，當(dāng)遇到多個(gè)物體通過繩子相連的問題時(shí)，可以嘗試將系統(tǒng)中的物體分別隔離開研究，然后利用繩子的兩個(gè)特點(diǎn)，得到物體間力，速度，加速度之間的相對(duì)關(guān)系，問題就可以解決。當(dāng)題目提問的量較多時(shí)，這種方法不失是一個(gè)好方法。

[1] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)Ⅰ[M].北京：高等教育出版社，2009.

Discussion on skillful use rope supplementary equation taking two kinematics problem as an example

Zhang Xubo

(Civil Engineering Institute, Wuhan University, Wuhan 430000, China)

This paper introduced the characteristics of rope without quality, non-recoverable elongation in theory mechanics, taking two simple kinematics issues as an example, elaborated through the characteristics of rope, solves the problem of multiple objects by the rope connected, had certain reference value to solve similar problems.

rope, kinematics, pulley, acceleration

1009-6825(2016)12-0040-02

2016-02-17

張旭波(1994- )，男，在讀本科生

TU312

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