楊　青

(安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

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折射率橢球主軸化方法探討

楊青

(安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

[摘要]某些晶體，如鈮酸鋰，磷酸二氫鉀(KDP)等，加上電場后，會改變光在晶體中傳播時所表現(xiàn)的各向異性的性質(zhì)，這種效應(yīng)稱為電光效應(yīng)。在分析線性電光效應(yīng)時，一般光電子技術(shù)教材中都會采用折射率橢球方程討論電致折射率的變化，并利用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法尋找新的折射率橢球的主軸。本文將介紹另一種矩陣?yán)碚摰姆椒ǚ治稣凵渎蕶E球方程主軸化問題，并與坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行比較。

[關(guān)鍵詞]電光效應(yīng)；折射率橢球方程；主軸；KDP晶體

1893年P(guān)ockels發(fā)現(xiàn)，若干晶體，加上電場后，能改變它們的各向異性的性質(zhì)，引起折射率的變化，此現(xiàn)象稱為電光Pockels效應(yīng)，即線性電光效應(yīng)。由于其結(jié)構(gòu)簡單，易于控制，故在激光通信、激光測量、激光數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-7]。

在光電子技術(shù)教程中，電光效應(yīng)及其應(yīng)用部分是其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。一般光電子技術(shù)教材中分析線性電光效應(yīng)時，都采用折射率橢球的方法討論電致折射率的變化，利用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法尋找新的折射率橢球的主軸[5-7]。這種方法是初等代數(shù)的方法，我們這里將介紹一種新的矩陣?yán)碚摲椒▽υ搯栴}進(jìn)行研究。本文以KDP晶體為例，分別用上述兩種方法分析折射率橢球方程主軸化問題，并對兩種方法進(jìn)行比較。

1折射率橢球

在晶體中沿某一給定方向傳播的波的相速度與偏振方向有關(guān)。在分析晶體中沿任意方向傳播的波時，問題就變得非常復(fù)雜，這時采用折射率橢球的方法來分析問題比電磁理論方法更直觀方便。

折射率橢球方程是用來描述光波在各向異性晶體中的傳播規(guī)律的方程。一般在沒有外加電場的情況下，晶體的折射率橢球方程是一個正橢球方程，但是根據(jù)電磁場理論，一旦加上外電場，光波與介質(zhì)發(fā)生相互作用，引起介質(zhì)的折射率發(fā)生變化，這時電光晶體折射率橢球的主軸不再是原來的主軸，方程變成一般的橢球方程。這時需要尋找新的折射率橢球的主軸，即將新的折射率橢球主軸化。

在晶體未加外電場時，在其主軸坐標(biāo)系中，折射率橢球方程為：

(1)

式中，x、y、z為介質(zhì)的主軸方向，即在晶體內(nèi)沿著這些方向上的電位移和電場強(qiáng)度互相平行；nx,ny,nz為折射率橢球的主折射率。對單軸晶體，一般有nx=ny≠nz；對雙軸晶體，則有nx≠ny≠nz。

當(dāng)晶體施加電場后，其折射率橢球就發(fā)生”變形”，橢球方程變?yōu)?/p>

(2)

可見，由于外加電場的作用，折射率橢球各系數(shù)(1/n2)隨之發(fā)生線性變化。其變化量可定義為

(3)

式中，具有γij元素的6×3矩陣稱為電光張量，每個元素的值由具體的晶體決定，它表征感應(yīng)極化的強(qiáng)弱。利用上式即可算出各系數(shù)(1/n2)的變化，進(jìn)而討論折射率橢球的變化。下面以KDP晶體為例分析如何將新的折射率橢球主軸化。

2KDP晶體的線性電光效應(yīng)

(4)

由上式可看出，外加電場導(dǎo)致折射率橢球方程中“交叉”項的出現(xiàn)，橢球的主軸不再與x，y，z軸平行，因此，必須找出一個新的坐標(biāo)系，使式(4)在該坐標(biāo)系中主軸化，這樣才可以確定電場對光傳播的影響。下面按外加電場施加方向分兩種情況進(jìn)行討論。

2.1外加電場平行于光軸

設(shè)外加電場方向平行于z軸(光軸)，即 Ex=Ey=0,Ez≠0，于是(4)式簡化為

(5)

為了尋求一個新的主軸坐標(biāo)系(x′，y′，z′)，使橢球方程不含交叉項，即將新的橢球主軸化。教材上一般采用的是坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法，我們先作簡單回顧，然后重點(diǎn)介紹矩陣?yán)碚摰姆椒ā?/p>

2.1.1坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法

由于式(5)中x和y是對稱的，故可將x坐標(biāo)和y坐標(biāo)繞z軸旋轉(zhuǎn)α角，則新舊坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為

(6)

將式(6)代入式(5)，并令交叉項為零，可算出α=45o，則方程變?yōu)?/p>

(7)

這就是KDP晶體沿z軸加電場之后的新折射率橢球方程，新的主軸分別為

(8)

由此可見，KDP晶體沿z軸加電場后，由單軸晶體變成了雙軸晶體，折射率橢球的主軸繞z軸轉(zhuǎn)了45°角，此轉(zhuǎn)角與外加電場的大小無關(guān)，其折射率變化與電場成正比，這就是電光Pockels效應(yīng)。這是教材上介紹的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法將折射率橢球主軸化。下面介紹矩陣?yán)碚摲ā?/p>

2.1.2矩陣?yán)碚摲?/p>

外加z向電場后晶體的折射率橢球方程(5)式，可用矩陣形式表示為，

(9)

根據(jù)矩陣?yán)碚揫8]，可經(jīng)過將矩陣對角化，找到一個新的坐標(biāo)系，使得在這個新的坐標(biāo)系中，(9)式變成一個對角陣，并通過該形式找出新的折射率。即求滿足

(10)

(11)

該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式不為零，即

(12)

通過計算可以得到三個特征值分別為

(13)

從而得到在新的坐標(biāo)系下的折射率橢球方程是

(14)

該結(jié)果與用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)法得到的結(jié)果(7)式相同。其后關(guān)于新的主軸折射率大小變化的討論與前面相同，不再贅述。

2.2外加電場垂直于光軸

(15)

同樣，分兩種方法討論如何將折射率橢球主軸化。

2.2.1坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法

按照2.1.1類似的步驟，這里由于式(15)中出現(xiàn)了xz交叉項，故可將x坐標(biāo)和z坐標(biāo)繞y軸旋轉(zhuǎn)α角，則新舊坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系同式(6)，只是y換成了z，于是可得新坐標(biāo)系下的折射率橢球方程為

(16)

要使上述方程主軸化，需令交叉項的系數(shù)等于0，即

(17)

(18)

將上式代入(16)式，可得新主軸坐標(biāo)系x′y′z′中的折射率橢球方程近似表達(dá)式：

(19)

2.2.2矩陣?yán)碚摲?/p>

折射率橢球方程(15)用矩陣形式可寫為

(20)

容易求得三個特征值分別為

(21)

于是可以得到新主軸坐標(biāo)系中的折射率橢球方程為

(22)

該結(jié)果和由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法得到的(19)式并不完全相同，因為這里沒有采用任何近似。

通過計算比較，可知兩種理論都可以解決電光效應(yīng)中折射率橢球方程主軸化的問題。但是在稍微復(fù)雜的情形下，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法需要采用某種近似才能得到結(jié)果，而矩陣?yán)碚摲▌t可通過直接求解特征值得到結(jié)果。

3結(jié)語

我們以KDP晶體為例，介紹了利用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)法和矩陣?yán)碚撚懻撏怆妶鲎饔孟碌恼凵渎蕶E球方程主軸化問題。通過計算與分析，可以得出，在具有較高對稱性的簡單情形下，采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法簡便直觀；但是在相對復(fù)雜的情況下，利用坐標(biāo)施轉(zhuǎn)法，必須采用一定的近似，因而，矩陣?yán)碚撚嬎愀_更具有普遍性。

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Discussion on the Spindle of Refractive Index Ellipsoid

YANG Qing

(SchoolofPhysics&MaterialScience,AnhuiUniversity,Hefei230601,China)

Abstract：As we know, when the electric field is added to some crystals, such as LiNO3 and KDP, the anisotropic characteristic of propagation of light wave in the crystal will change, which is called electro-optic effect. As analyzing this effect, the equation of refractive index ellipsoid is usually used to discuss the change of refractivity in general textbooks of optoelectronic technology. Then the method of rotating axis is employed to find the spindle of the new refractive index ellipsoid. Here we present another method by using the theory of matrix to analyze the spindle of the new refractive index ellipsoid by comparing this method with that of rotating axis.

Key words：electro-optic effect；equation of refractive index ellipsoid；spindle; KDP crystal

[收稿日期]2016-01-10

[基金項目]國家自然科學(xué)基金(11204002)

[作者簡介]楊青：女，博士，安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院副教授，從事量子信息與量子計算的研究。

[中圖分類號]TN29

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1674-2273(2016)03-0016-04