袁幼成，周　輝，周宗福

(1.湖北麻城二中，湖北 麻城 438300；2.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 合肥 230601；3.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

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一類分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)共振邊值問題解的存在性

袁幼成1，周輝2，周宗福3

(1.湖北麻城二中，湖北 麻城 438300；2.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 合肥 230601；3.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039)

[摘要]本文利用重合度理論，研究了一類階數(shù)為α(n-1<α

[關(guān)鍵詞]共振邊值問題；分?jǐn)?shù)階積分；分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

1引言

近幾十年來，分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階微分方程作為分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展，并且在流體力學(xué)、熱力學(xué)、黏彈性理論、化學(xué)、電化學(xué)、工程學(xué)、生命科學(xué)、擴(kuò)散過程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，尤其是共振邊值問題，受到廣泛關(guān)注，見文[1]-[8]，然而，已有的研究幾乎都是低階(1-2階)情形，任對(duì)意階(α階，n-1<α

(1.1)

(1.2)

其中α>0,n-1<α≤n,n≥2,n為正整數(shù)，f為連續(xù)函數(shù)。

2預(yù)備知識(shí)

(1)?(x,λ)∈[domLKerL)∩?Ω]×[0,1],Lx≠λNx；

(2)?x∈KerL∩?Ω,Nx?ImL；

定義2.2( [11])設(shè)α>0,n=[α]+1,y(t)∈L1(0,T),T>0,稱

其中domL={x∈X|x(0)=x(1),x′(0)=x(2)(0)=…x(n-1)=0}

定義算子N:X→Y,Nx(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x(n-1)(t)),x∈X,t∈[0,1],則微分方程邊值問題(1.1)，(1.2)轉(zhuǎn)化為算子方程Lx=Nx。

3主要結(jié)果

定理3.1設(shè)f:[0,1]×Rn→R是連續(xù)的，假設(shè)

(H1)存在非負(fù)函數(shù)q0,q1,…,qn∈C[0,1]且Γ(α+2-n)-p1-p2-…-pn>0

?(u1,u2,…,un)∈Rn,其中pi=‖qi‖∞,i=0,1,…,n

?(u2,u3,…,un)∈Rn-1或u1f(t,u1,u2,…,un)<0,?t∈[0,1]

?(u2,u3,…,un)∈Rn-1

則FBVP(1.1),(1.2)在至少X中至少有一解。

引理3.1若L由(2.1)所定義，則

(3.1)

(3.2)

結(jié)合邊界條件(1.2)，易知(3.1)成立。

?y∈Y,?x∈X,使得y=Lx,由引理3.3

……

由x(n-1)(0)=0,x(n-2)(0)=0,…,x′(0)=0依次得cn-1=0,cn-2=0,…,c1=0

引理3.2若L由(2.1)所定義，則L是指標(biāo)為零的Fredholm算子，且投影算子

P:X→X,Q:Y→Y可定義為Px(t)=x(0),?t∈[0,1]

證明顯然，ImP=KerL,P2x=Px,由x=(x-Px)+Px得X=KerP+ImP即

X=KerP+KerL,設(shè)y∈ImP∩KerP,則?x∈X,使y=Px,Py=θ,故

θ=Py=P2x=Px=y。因此X=KerL⊕KerP。

Y=ImQ⊕KerQ即Y=ImQ⊕ImL。故dimKerL=dimKerQ=codimImL=1

L是指標(biāo)為零的Fredholm算子。

由P,KP的定義可證L|domL∩KerP的逆為KP。事實(shí)上，?y∈ImL

(3.3)

另一方面，?x∈domL∩KerP,有x(0)=x′(0)=…=x(n-1)(0)=0,由引理2.3，

x(0)=x′(0)=…=x(n-1)(0)=0得

KPLx=x

(3.4)

由(3.3)，(3.4)知KP=(L|domL∩KerP)-1。證畢。

一般的，

(A1)

(A2)

(A3)

一般地，由x(k-1)(0)=0推出

(Ak)

由Lx=λNx及x∈domL得

……

由Γ(α+2-n)-p1-p2-…-pn>0得

‖x(n-1)‖∞≤

‖x‖∞≤B+‖x′‖∞≤B+M1,故‖x‖X≤B+M1。從而Ω1有界。證畢。

證明?x∈Ω2,有x(t)=c,c∈R,Nx∈ImL,故

故Ω1有界。證畢。

引理3.6設(shè)(H2)的前半部分成立，則

證明?x∈Ω3,有x(t)=c,c∈R且

(3.5)

定理3.1的證明：設(shè)Ω={x∈X|‖x‖X

(1)Lx≠λNx,?(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)

(2)Nx?ImL,?x∈KerL∩?Ω

由引理3.6(或注3.1)，?x∈KerL∩?Ω,H(x,λ)≠0。于是

4例子

考慮FBVP

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Existence of Solutions for Boundary Value Problems at Resonance of Fractional Differential Equations

YUAN Youcheng1, ZHOU Hui2, ZHOU Zongfu1

(1.SchoolofMathematicsScience,AnhuiUniversity,Hefei230039,China;2.SchoolofMathematicsandStatistics,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

Abstract：By using the coincidence degree theory, the paper makes a study of the existence of solutions for boundary value problems at resonance of fractional differential equations in which the derivative is Caputo derivative with order α(n-1<α

Key words：boundary value problems at resonance; fractional integral; fractional derivative

[收稿日期]2016-01-20

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(11071001)；安徽省高校重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2009A005Z)；安徽大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(KJTD002B)；合肥師范學(xué)院校級(jí)青年基金項(xiàng)目資助(QN2015019)

[第一作者簡(jiǎn)介]袁幼成(1973-)，男，湖北麻城人，碩士，中教一級(jí)，研究方向：分?jǐn)?shù)階微分方程。

[中圖分類號(hào)]O175.8

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-2273(2016)03-0005-05