陳茹雯　王玉國　湛時時

（南京工程學(xué)院，南京210036）

?

采用非線性自回歸時序模型的汽車懸架隔振性能辨識*

陳茹雯王玉國湛時時

（南京工程學(xué)院，南京210036）

【摘要】根據(jù)攝動法求解非線性微分方程理論，通過單自由度振動系統(tǒng)在單位脈沖激勵下動力學(xué)方程的解析解，推導(dǎo)出了振動系統(tǒng)時域響應(yīng)的非線性自回歸時序（GNAR）模型表達(dá)式，獲得了基于GNAR模型的懸架隔振性能主要指標(biāo)計算公式。通過對某汽車懸架隔振參數(shù)辨識的試驗(yàn)結(jié)果表明，基于GNAR模型的懸架隔振性能辨識方法準(zhǔn)確、便捷，能實(shí)現(xiàn)對在用車輛懸架隔振性能的快速辨識和評價。

1　前言

汽車懸架隔振性能的主要指標(biāo)是懸架的固有頻率、阻尼比和懸架效率。采用文獻(xiàn)［1］～文獻(xiàn)［7］中的方法能較好地獲得懸架系統(tǒng)特性參數(shù)，但也存在一些缺點(diǎn)：如采用解析法求解固有頻率，必須掌握系統(tǒng)工作機(jī)理，正確建立其非線性微分方程；采用快速正弦掃頻激振測試結(jié)構(gòu)可能受測試臺和飛輪慣性影響；某些懸架參數(shù)在線辨識方法需要特殊的信號發(fā)生器和較多的傳感器等。

汽車懸架可視作質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，因此，懸架在外界激勵作用下的輸出是一組能反映系統(tǒng)本身特性的時間序列。非線性自回歸時序（General Expres?sion for Nonlinear Autoregressive，GNAR）模型能以任意精度逼近線性/非線性系統(tǒng)，模型的階數(shù)、記憶步長及參數(shù)能反映數(shù)據(jù)系統(tǒng)的固有特性［8，9］，因此本文研究了一種基于GNAR模型的汽車懸架隔振性能快速辨識方法。首先以攝動法求解非線性微分方程的理論為基礎(chǔ)，根據(jù)單自由度振動系統(tǒng)單位脈沖激勵下動力學(xué)方程的解析解，推導(dǎo)出振動系統(tǒng)時域響應(yīng)的GNAR模型表達(dá)式；然后推導(dǎo)出基于GNAR模型的懸架隔振性能主要指標(biāo)計算公式；通過Duffing系統(tǒng)自由振動算例，證明非線性GNAR模型與弱非線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)聯(lián)系，通過模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以辨識出系統(tǒng)的非線性特征；最后對某汽車懸架隔振參數(shù)進(jìn)行了辨識試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法準(zhǔn)確、便捷，能實(shí)現(xiàn)對在用車輛隔振性能的快速辨識和評價。

2　GNAR模型

GNAR模型表達(dá)式為：

式中，wt（t=1，2，…）為系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)；at（t=1，2，…）為零均值白噪聲序列；αi1,…,αi1,i2,…為模型參數(shù)。

實(shí)際建模時，模型階次一般取為有限值，式（1）改寫為：

該模型可以簡記為GNAR（p；n1, n2,…, np）。

3　基于GNAR模型的振動系統(tǒng)辨識原理

3.1弱非線性振動系統(tǒng)剛度和阻尼的辨識

單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖1所示，設(shè)系統(tǒng)相對于平衡位置的位移響應(yīng)為z（t），根據(jù)牛頓第二定律，其運(yùn)動微分方程為：

當(dāng)ε=0時，方程（4）成為：

圖1　質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

方程（5）是方程（4）的派生方程，描述線性簡諧振動，若系統(tǒng)在t=0時刻受到單位脈沖力F=1δ（t）輸入，則方程（5）的解為［11］：

對式（6）所示的函數(shù)值z進(jìn)行等間隔離散采樣，得到一組時間序列zi，i=1, 2,…，在任意時刻有：

設(shè)定采樣間隔為Δt，由此可得：

利用三角函數(shù)公式將式（9）和式（10）展開，進(jìn)行恒等變換，可得：

式中，Δt為采樣間隔，可以視作常數(shù)。

可見，單自由度線性系統(tǒng)自由振動的時域響應(yīng)可以采用GNAR（1；2）表示。

GNAR（1；2）的系數(shù)α1和α2為：

當(dāng)ε≠0時，根據(jù)攝動法求解非線性微分方程的原理［12］，方程（4）所示自治振動系統(tǒng)的解z和非線性頻率ω可以寫為：

式中，右端各項(xiàng)表示方程解不同量級的項(xiàng)，z（0）、ω（0）表示零級項(xiàng)，且稱為j級項(xiàng)。

將式（13）代入方程（4），根據(jù)等式左右同一量級相等原則，可以寫出各級解滿足的方程：

式中，各等式分別表示零級方程、一級方程、二級方程…。

顯然，式（14）中的零級方程就是派生方程（5），因此零級解可表示為：

將式（16）代入式（14）中一級方程的右端：

式中，z（0）和ck為常數(shù)。

因此，一級解z（1）可以寫成關(guān)于z（0）的多項(xiàng)式：

式中，P1表示多項(xiàng)式函數(shù)。

將式（15）代入式（19）：

對式（19）所示的z（1）求導(dǎo)數(shù)，可以得到和：

將式（19）和式（21）代入式（14）中二級方程的右端，可以獲得i時刻的二級解表示為零級解和的高階多項(xiàng)式形式，用P2表示。同理可以求得二級以上各階解。

式中，多項(xiàng)式函數(shù)Pi取決于方程（4）的非線性解析函數(shù)f。

根據(jù)式（13）有：

將式（23）代入式（22）：

式中，αi1,L,ij為待定系數(shù)。

式（25）表明非線性系統(tǒng)現(xiàn)時刻的輸出值可以用過去時刻輸出值的高階多項(xiàng)式來表示，這與GNAR模型的表達(dá)形式一致?？梢姡蔷€性GNAR模型可以用來描述非線性系統(tǒng)輸出，模型系數(shù)由系統(tǒng)基本參數(shù)（如參數(shù)ω0、非線性量ε）確定。

觀察式（24）的右側(cè)可以發(fā)現(xiàn)，右側(cè)第一項(xiàng)中zi-1和 zi-2的系數(shù)為和e-2nΔt；從右側(cè)第二項(xiàng)開始，zi-1和zi-2的系數(shù)都是包含的乘積項(xiàng)，當(dāng)ε是正的常數(shù)時，隨著j增大因此，式（25）的系數(shù)為：

變換式（26），可以得到系統(tǒng)參數(shù)：

式（27）的含義是在弱非線性條件下采用零級頻率分量表示系統(tǒng)非線性頻率。

上述推導(dǎo)過程針對的是系統(tǒng)位移輸出，同樣方法可以推導(dǎo)出速度、加速度輸出的GNAR模型表達(dá)方式。因此，對未知參數(shù)的單自由度振動系統(tǒng)輸出的位移、速度或加速度信號建立GNAR模型，獲得模型的參數(shù)α1和α2后，通過式（28）可以算出系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)。

3.2仿真算例

Duffing系統(tǒng)的自由振動方程物理意義是一種具有漸硬彈簧的振動系統(tǒng)：

式中，n表示系統(tǒng)衰減系數(shù)；ω0為頻率參數(shù)；β為正的常數(shù)表示非線性彈力。

表1　Duffing系統(tǒng)辨識結(jié)果

圖2　Duffing系統(tǒng)振動位移輸出序列（系統(tǒng)參數(shù)n=0.125/s，w0=1.5 rad/s）

對系統(tǒng)輸出建立GNAR模型，根據(jù)式（27）辨識出n? 和?，試驗(yàn)結(jié)果列于表1。表1中是系統(tǒng)輸出的10個周期的均值，相對誤差e為：

從表1中可以看出，辨識結(jié)果的相對誤差在5％以內(nèi)，較為準(zhǔn)確。隨著β增大，非線性頻率增大，其原因?yàn)橄到y(tǒng)的非線性恢復(fù)力隨著β增大而增大，這與圖2所示序列的變化趨勢一致。

可見，GNAR模型可以用來描述非線性系統(tǒng)，且通過模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以辨識出系統(tǒng)的非線性特征參數(shù)。

4　汽車懸架隔振性能辨識方法的應(yīng)用

4.1懸架隔振參數(shù)的辨識

將懸架簡化為圖1所示單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械振動理論，懸架的固有頻率fd、阻尼比ξ和懸架效率η這3項(xiàng)指標(biāo)的理論計算公式為：

式中，m為汽車簧載質(zhì)量；k為懸架系統(tǒng)剛度；c為懸架系統(tǒng)阻尼；ωr為懸架的阻尼固有頻率

將式（27）和式（28）代入式（31），即采用GNAR模型的參數(shù)α1和α2表示懸架的固有頻率和阻尼比：

4.2辨識試驗(yàn)

單輪平板式汽車懸架參數(shù)檢測平臺硬件組成如表2所列。采用按壓車體法給予被測車輛擬脈沖激勵，由單輪平板式汽車懸架參數(shù)檢測平臺采集車體駕駛室在擬脈沖激勵下的振動加速度信號，如圖3所示。實(shí)際采樣時長為10 276 ms，通道采集點(diǎn)數(shù)為512個，通道采樣頻率為49.822 Hz。

表2　單輪平板式汽車懸架參數(shù)檢測平臺硬件組成

圖3　振動加速度信號

對振動加速度信號建立GNAR模型，獲得模型參數(shù)α1和α2，根據(jù)式（31）和式（32）即可得到懸架系統(tǒng)的3個隔振性能指標(biāo)。表3給出了5次試驗(yàn)的辨識結(jié)果，可以看出基于GNAR模型辨識出的懸架隔振性能參數(shù)接近于設(shè)計值。

表3　試驗(yàn)車懸架參數(shù)辨識結(jié)果

根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)和歐洲減振器協(xié)會EUSAMA的要求，汽車懸架阻尼比ξ的值應(yīng)在0.2～0.45之間，懸架效率η應(yīng)大于0.45，懸架的固有頻率fd應(yīng)盡可能在人體感覺較為舒適的1.0～1.6 Hz之間。對照標(biāo)準(zhǔn)，可知該車懸架隔振性能合格。

5　結(jié)束語

提出了一種基于GNAR模型的汽車懸架隔振性能快速辨識方法，即給予被測車輛懸架擬脈沖激勵，根據(jù)懸架振動輸出信號建立GNAR模型，根據(jù)模型系數(shù)可以辨識出懸架的隔振性能指標(biāo)。理論推導(dǎo)與Duffing自由振動系統(tǒng)算例證明了由GNAR模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以辨識出系統(tǒng)的線性或非線性特征及相關(guān)參數(shù)，因此，該辨識方法對線性和非線性懸架系統(tǒng)都適用。

GNAR模型只對觀測到的系統(tǒng)輸出的有序數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，模型中包含線性和非線性項(xiàng)，建模時不需要進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和數(shù)據(jù)預(yù)處理，建模便捷，因此，該辨識方法無需掌握被測車輛的具體結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)對在用車輛隔振性能的快速辨識和評價。

參考文獻(xiàn)

1張雨.汽車懸架振動試驗(yàn)臺垂向主振動的有效性分析.振動、測試與診斷, 2010, 30（4）: 455～457.

2方瑞華.汽車空氣懸架非線性振動理論和試驗(yàn).農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報, 2007, 38（7）: 13～15.

3唐駕時,唐應(yīng)時.非線性懸架系統(tǒng)固有頻率的計算.汽車技術(shù), 1986,（9）: 13～18.

4余卓平，陸雄華.非線性懸架系統(tǒng)頻率特性數(shù)值解.上海汽車, 1998, 5（2）: 36～38.

5R Majjad. Estimation of Suspension Parameters// Proceed?ings of the 1997 IEEE International Conference on Control Applications. Hartford, USA, 1997: 522～527.

6張亮亮,唐駕時,李立斌.虛擬激勵算法下的汽車懸架振動分析.振動與沖擊, 2006, 25（6）: 167～169.

7張慧杰,郭志平,司景萍,等.汽車懸架整車動力學(xué)模型的參數(shù)辨識.振動與沖擊, 2013, 32（23）: 145～150.

8陳茹雯,黃仁,史金飛,等.線性/非線性時間序列模型一般表達(dá)式及其工程應(yīng)用.東南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2008, 38（6）:1077～1080.

9 Ren H, Feiyun X, Ruwen CH. General expression for linear and nonlinear time series models. Frontiers of Mechanical Engineering in China, 2009, 4（1）: 15～24.

10聞邦椿,劉樹英,陳照波,等.機(jī)械振動理論及應(yīng)用.北京:高等教育出版社, 2009.

11陳樹輝.強(qiáng)非線性振動系統(tǒng)的定量分析方法.北京:科學(xué)出版社, 2009.

（責(zé)任編輯簾青）

修改稿收到日期為2015年11月1日。

主題詞:非線性自回歸時序模型懸架隔振性能辨識

Identification of Vehicle Suspension Anti-vibration Performance Based on GNAR Model

Chen Ruwen, Wang Yuguo, Zhan Shishi
（SNanjing Institute of Technology）

【Abstract】First, based on the perturbation method of solving nonlinear differential equation theory, general expression for nonlinear autoregressive（GNAR）model is derived for vibration system time domain response with unit pulse excitation and the calculation formulas of vehicle suspension anti-vibration performance indexes are obtained based on parameters of GNAR model. Finally the vehicle suspension vibration isolation parameter identification experiments are carried on, the results show that the method is accurate and convenient to realize a rapid identification and evaluation of the suspension vibration isolation performance for vehicles in use.

Key words:GNAR model, Suspension, Anti-vibration performance, Identification

*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51305194）；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（BK20130746）。

中圖分類號:U463.33

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1000-3703（2016）04-0031-05