孫恒啟

2013年新課標1卷理綜物理題如下：

例1 如圖1，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L.導軌上端接有一平行板電容器，電容為C.導軌處于勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大

圖1小為B，方向垂直于導軌平面.在導軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g.忽略所有電阻.讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系.

解法1 （1）設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動勢為E=BLv，平行板電容器兩極板之間的電勢差為U=E，設(shè)此時電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有Q=CU聯(lián)立可得，Q=BLvC

（2）設(shè)金屬棒的速度大小為v時，經(jīng)歷的時間為t，通過金屬棒的電流為i，金屬棒受到的磁場力方向沿導軌向上，大小為f1=BLi，設(shè)在時間間隔（t，t+Δt）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，則ΔQ=CBLΔv按定義有：i=ΔQΔt

ΔQ也是平行板電容器在時間間隔內(nèi)增加的電量，由上式可得，Δv為金屬棒的速度變化量，金屬棒所受到的摩擦力方向沿導軌斜面向上，大小為：f2=μN，式中N是金屬棒對于導軌的壓力大小，有N=mgcosθ，金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，設(shè)其大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ-f1-f2=ma.

即：mgsinθ-μmgcosθ=CB2L2a+ma

此時可得： a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2C

由題意可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運動，t時刻金屬棒的速度大小為：v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2Ct.

解法2 （1）設(shè)經(jīng)過時間t沿導軌下滑的距離為x，電容器的電壓為U，電荷量為Q，則Q=CU，U=BLv，所以Q=CBLv.

（2）根據(jù)能量守恒定律可得：

12mv2+12CU2=（mgsinθ-μmgcosθ）x

整理可得： v2=2×mgsinθ-μmgcosθm+B2L2C·x

結(jié)合v2=2ax， 類比可得所以a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2C，即v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2Ct.

圖2例2 處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中放置一足夠長光滑U型金屬框架寬為L，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖2所示.求導體棒的最終速度.

解法1 當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時，有：BLv=UC=q/C.而對導體棒ab利用動量定理可得：-BLq=mv-mv0.

由上述二式可求得： v=mv0m+B2L2C

解法2 設(shè)最終速度為v，U=BLv

12mv20-12mv2=12CU2

解得： v2=mv20m+B2L2C

這種解法對嗎？

很顯然兩種方法的答案并不相同，為什么按照同樣的思路解題得到的結(jié)果卻迥然不同呢？為什么會出現(xiàn)這樣的情形呢？

經(jīng)過查閱資料、自主學習得知：

帶電體的能量為W=12CU2

這是孤立導體的靜電能公式也可以推廣到帶電的電容器，因為電容器兩板間的電勢差與極板上所帶電荷量的關(guān)系是線性關(guān)系.

但是在電動勢為E的電源對電容器充電過程中，電源所提供的能量W′=QE=QU=2W，也就是說，在充電過程中，電容器僅得到了電源提供的一半能量，另一半能量在導線和電源內(nèi)阻上轉(zhuǎn)化為內(nèi)能或者以電磁波的形式發(fā)射了出去.

結(jié)合這些知識我們可以得到以下解法.

正解 導體棒的動能減少量并沒有全部轉(zhuǎn)化為電容器所儲存的電能，相反導體棒動能的減少量卻等于導體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流所釋放的電能.

設(shè)經(jīng)極短時間t后的速度為v，根據(jù)動量定理可得：

BILΔt=m（v0-v）

Q=IΔt

圖3所以Q=mv0BL-mBLv即導體棒所釋放的電量與導體棒的速度是線性減函數(shù)，因而導體棒所釋放的電能由圖3可知E=（BLv+BLv0）BLvC/2.

對導體棒由動能定理可得E=12mv20-12mv2.

聯(lián)立以上兩式可得： v2=mv20m+B2L2c.

綜合以上分析可以得到導體棒減少動能所釋放的能量一部分轉(zhuǎn)化為電容器所儲存的電能，另一部分以電磁波的形式和回路的焦耳熱釋放掉.而在例1中加速過程中則回路中沒有相應(yīng)的焦耳熱產(chǎn)生和電磁波輻射，故得到相同的結(jié)果.

（收稿日期：2015-05-16）