崔召磊

摘 要 本文討論了連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的部分性質(zhì)，并探討了二維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意曲線上的概率是否為零以及其與一維連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系。這幾個(gè)問題是描述幾個(gè)常用概念之間聯(lián)系的基本問題，然而也是在教學(xué)中容易忽略的問題，本文為此進(jìn)行歸納整理，以期對(duì)隨機(jī)變量有更清楚的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞 階梯函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量 邊緣分布

中圖分類號(hào)：O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.04.026

Abstract This paper discussed some properties of the distribution function of continuous random variables and discrete random variables， and to explore the probability of the two-dimensional continuous random variable in arbitrary curve is zero and the and one dimensional continuous random variable relationship. These problems are a few concepts between contact the basic problem description， but also in teaching easy to overlook problems. For this reason， to collate， to have a more clear understanding of random variables.

Key words step function； continuous random variable； marginal distribution

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，通俗地講，就是研究某種現(xiàn)象或某個(gè)事件發(fā)生的可能性大小，比如投擲硬幣，出現(xiàn)正、反面的可能性有多大；在路上，偶遇一個(gè)孕婦，那么此孕婦生男孩和生女孩的可能性又各有多大？這個(gè)可能性就是概率論學(xué)科要研究的最主要目標(biāo)——概率，那么要如何研究事件的概率問題，這就需要把隨機(jī)現(xiàn)象引入到一個(gè)合理有效、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系中，在這個(gè)過程中，隨機(jī)變量就像一座橋梁或基石，在理論研究中起著無可替代的作用。隨機(jī)變量從本質(zhì)上看就是一個(gè)函數(shù)，或者更加清楚準(zhǔn)確地描述為：從由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的樣本空間到實(shí)數(shù)上的一對(duì)一或多對(duì)一的映射。正是由于隨機(jī)變量的存在，隨機(jī)現(xiàn)象的研究中才將高等數(shù)學(xué)引入到了整個(gè)理論體系中，使得概率論學(xué)科獲得了巨大的進(jìn)步。隨機(jī)變量在我們的教學(xué)過程中，一般只討論兩種典型情形：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。在概率論的講解過程中，可以發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的定義淺顯而直觀，易于理解和接受， 而連續(xù)型隨機(jī)變量的定義則有些抽象了。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的深層次理解，嚴(yán)重依賴于對(duì)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的理解，尤其是對(duì)積分和各種函數(shù)知識(shí)的掌握。另外，無論是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量，我們的主要目標(biāo)都要研究其概率的取值情況，也就是隨機(jī)變量的概率分布情況，因此在本文中我們主要討論的內(nèi)容就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)的一些特點(diǎn)。通過對(duì)概率分布函數(shù)的詳細(xì)分析，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)隨機(jī)變量，尤其是連續(xù)型隨機(jī)變量的認(rèn)識(shí)，本文將幾個(gè)關(guān)于概率分布的基本問題進(jìn)行整理和歸納，其中第一個(gè)問題分別討論了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型變量的分布函數(shù)的基本特點(diǎn)；第二個(gè)問題討論了一維、二維連續(xù)型隨機(jī)變量在什么情況下，概率的取值為零；第三個(gè)問題討論了二維連續(xù)型隨機(jī)變量與邊緣分布之間的關(guān)系。在下文中，我們將以上三個(gè)問題逐一加以討論。

第一個(gè)問題：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。這個(gè)結(jié)論正確嗎？其逆命題成立嗎？

這里，我們首先要明確階梯函數(shù)的定義。定義在區(qū)間[]上的函數(shù)，如果存在有限個(gè)分點(diǎn) = …，在每個(gè)開區(qū)間（）， 上取常數(shù)，則稱之為階梯函數(shù)。將此定義推廣到無限區(qū)間上時(shí)，只要求滿足在任意有限區(qū)間上如上定義（參見王梓坤（1996））即可?？傊瑹o論有限情形還是無限情形，從圖像上看，階梯函數(shù)都會(huì)出現(xiàn)階梯形狀。 故而，當(dāng)離散型隨機(jī)變量取有限個(gè)值時(shí)，容易知道其分布函數(shù)一定是階梯函數(shù)；然而當(dāng)其取值為可列多個(gè)值時(shí)，則不一定是階梯函數(shù)了。

例： 定義一個(gè)取值于（0，1）中的有理數(shù) （互質(zhì)）的離散型隨機(jī)變量如下：

= ，

其中 = ， 為（0，1）上的有理數(shù)集。

顯然，此隨機(jī)變量確定的分布函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的有理數(shù)點(diǎn)處都發(fā)生跳躍，其圖象無法形成階梯形狀，也就不是階梯函數(shù)。另外，更多的例子可以在朱作賓（1984）中找到。

這個(gè)問題的反向結(jié)論則顯然是成立的，即如果一個(gè)分布函數(shù)是一個(gè)單調(diào)上升且右連續(xù)的階梯函數(shù)時(shí)，則與其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量一定是離散型的，并且隨機(jī)變量的取值點(diǎn)就是跳躍間斷點(diǎn)。

那么連續(xù)型隨機(jī)變量的情形又是怎樣呢？ 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)變上限積分函數(shù)，一定是連續(xù)的，但其反向，則不然。如果一個(gè)分布函數(shù)連續(xù)且在每一點(diǎn)都可導(dǎo)，那么其導(dǎo)數(shù)就是對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)，也就是這個(gè)分布函數(shù)一定是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。然而，將此結(jié)論中的可導(dǎo)條件稍微弱化一點(diǎn)，改成幾乎處處可導(dǎo)，則結(jié)論不成立。一個(gè)例子可以參見桂春燕（2015）。這個(gè)例子是基于康托爾集構(gòu)造的，其過程比較繁瑣，本文只介紹一下該例子的構(gòu)造思想。其具體思路為：在非康托爾集上按特定規(guī)則定義為常數(shù)（該常數(shù)與點(diǎn)所在的區(qū)間有密切聯(lián)系），而在康托爾集上定義為由非康托爾集上的常數(shù)序列確定的上確界（極限值）以保證連續(xù)， 通過這種方法構(gòu)造的函數(shù)在非康托爾集上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為零，在康托爾集上不可導(dǎo)，而康托爾集為零測(cè)集，也就是說，我們得到了一個(gè)幾乎處處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)幾乎處處為零的分布函數(shù)，故這個(gè)分布函數(shù)不是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

第二個(gè)問題：一維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意一點(diǎn)的概率為零，這是一個(gè)顯然的事實(shí)。那么這個(gè)結(jié)論推廣到多維情形又如何呢？是否可以推廣為二維連續(xù)型隨機(jī)變量在任意曲線上的概率為零？

這個(gè)問題的本質(zhì)是考慮一個(gè)二元可積函數(shù)在曲線上的二重積分問題，而在二維空間內(nèi)曲線的測(cè)度一般為零，比如常見的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)確定的曲線，此時(shí)上述推廣的結(jié)論是成立的。然而，數(shù)學(xué)常常會(huì)有讓人驚訝的奇妙之處。事實(shí)上，曲線的測(cè)度不一定是零， 一個(gè)有趣的例子就是皮亞諾曲線（可參見那湯松（1965））。關(guān)于此曲線的一種經(jīng)典的構(gòu)造方法是通過把一個(gè)正方形分割成4個(gè)小正方形，然后將小正方形的中心點(diǎn)相連，此過程不斷重復(fù)遞歸，取極限后，可構(gòu)造出一條曲線，該曲線可以覆蓋整個(gè)正方形。這種語言描述顯得有點(diǎn)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，趙明方（1965）給出了一類皮亞諾曲線的解析表達(dá)式，其具體定義如下：

在閉區(qū)間[0，2]上，令

且 = ，是整數(shù)，是[0， 36]上任意的一個(gè)實(shí)數(shù)。 再令

= ， =

從而可由， 構(gòu)造出一條曲線：，趙明方（1965）證明了此曲線就是正方形[0，1]譡0，1]上的皮亞諾曲線，可以表示正方形中的任何一個(gè)點(diǎn)。因此，如果在某個(gè)正方形上定義一個(gè)服從二維均勻分布的隨機(jī)變量，則其在對(duì)應(yīng)的皮亞諾曲線上的概率為1。不過，這種曲線是極其特殊的，值得更進(jìn)一步的研究和討論。為避開這種特殊情形，我們可以限制曲線為可由一元參數(shù)方程確定的光滑曲線，此時(shí)光滑曲線的面積（測(cè)度）一定為零，那么我們的結(jié)論在光滑曲線上就一定是成立的，也就是說二維連續(xù)型隨機(jī)變量在光滑曲線上的概率一定為零。

第三個(gè)問題：二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布是否一定對(duì)應(yīng)連續(xù)型隨機(jī)變量？反之， 如果邊緣分布都對(duì)應(yīng)連續(xù)型隨機(jī)變量，其二維隨機(jī)變量是否一定是連續(xù)型的？

這一個(gè)問題的前半部分的答案是肯定的。事實(shí)上，假設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則的邊緣分布為

= ，

故存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) = 滿足連續(xù)型隨機(jī)變量的定義。然而，其反向結(jié)論則不成立，可見下面的例子。

例：假設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，，則二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：

此時(shí)， = 0， 從而不存在一個(gè)滿足二維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義的非負(fù)二元函數(shù)，即不是二維連續(xù)型隨機(jī)變量。

以上幾個(gè)問題，是概率論教學(xué)過程中需要留意的幾個(gè)小問題，這些問題因?yàn)槎际窃诜浅Ｒ?guī)情形下出現(xiàn)，往往容易忽視，故而在學(xué)習(xí)研究概率論的過程中，要始終保持謹(jǐn)慎認(rèn)真的態(tài)度，既要對(duì)知識(shí)有直觀的認(rèn)識(shí)，又要嚴(yán)格對(duì)待理論體系的嚴(yán)密邏輯。

參考文獻(xiàn)

[1] 王梓坤.隨機(jī)過程通論.北京師范大學(xué)出版社，1996：73.

[2] 朱作賓.關(guān)于離散型分布函數(shù)的一個(gè)問題.安徽師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1984：19-21.

[3] 桂春燕.連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015.21（1）：101-102.

[4] . .那湯松，張德英，曹治平.皮亞諾曲線.數(shù)學(xué)通報(bào)，1964：43-46.

[5] 趙明方.再論皮亞諾曲線.數(shù)學(xué)通報(bào)，1965：35-36.