韓信 梁新潮 賴洪貴

【摘 要】以恒生指數(shù)1990年以來的數(shù)據(jù)為研究基礎(chǔ)，為了研究基于GARCH模型的恒生指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測效果的評價(jià)，采用對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了對數(shù)差分處理的方法，提取月對數(shù)收益率為研究樣本，提出了一種通過計(jì)算誤差率η值檢驗(yàn)?zāi)M步長和實(shí)際步長偏離程度的有效方法。建立在誤差率計(jì)算的基礎(chǔ)上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明服從廣義誤差分布的GARCH模型建模擬合效果最好，但是對于基于GARCH模型的恒生指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測，服從正態(tài)分布的GARCH模型，預(yù)測一期效果最優(yōu)，而對于多期的預(yù)測，服從偏t分布的GARCH模型最優(yōu)。

【關(guān)鍵詞】GARCH；波動(dòng)率；恒生指數(shù)

一、引言

金融中的一個(gè)重要度量是資產(chǎn)相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，而資產(chǎn)波動(dòng)率也許是最常用的風(fēng)險(xiǎn)度量。波動(dòng)率是日收益率的條件標(biāo)準(zhǔn)差，這是波動(dòng)率的常見定義，本文所建立和討論的正是這一類型的波動(dòng)率模型。盡管波動(dòng)率的定義很清晰，但是在實(shí)際中它并不能被直接的觀測到，我們可以觀測到的是資產(chǎn)和衍生品的價(jià)格。所以，我們需要從觀測的價(jià)格來估計(jì)波動(dòng)率，Engle（1982）提出了自回歸條件異方差（Auroregressive Conditional Heteroscedatic， ARCH）模型，此模型能夠很好的描述波動(dòng)的持續(xù)性。基于ARCH模型，Bollerslev（1986）提出的廣義自回歸異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic，GARCH）具有良好的處理厚尾的能力，而且GARCH能很好的處理有限數(shù)據(jù)量而造成的階數(shù)過大問題，提高預(yù)測的精度。

香港作為世界的金融中心之一，股票市場開放程度非常高，對香港股票指數(shù)的研究，有利于揭示開放金融市場的股市發(fā)展階段性特征。內(nèi)地學(xué)界對于恒生指數(shù)的波動(dòng)性也進(jìn)行了一些研究，王娟（2012）通過設(shè)定殘差分布的不同形式考察殘差分布對建模的影響，再將GARCH 模型擬合出來的方差的值帶入風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值量模型中，從而得到精確度更高的VAR值。張?jiān)伱罚?015）所做的實(shí)證分析結(jié)果表明，恒生指數(shù)收益率序列具有明顯的異方差性、波動(dòng)性和持續(xù)性。但是國內(nèi)對指數(shù)收益率預(yù)測方面的研究，多是基于上證或者深證指數(shù)的研究，鄭振龍（2010）的研究發(fā)現(xiàn)時(shí)間序列模型適合于預(yù)測極短期的波動(dòng)率，對中長期波動(dòng)率的預(yù)測應(yīng)采用隱含波動(dòng)率方法。洪晶晶（2016）的研究發(fā)現(xiàn)以標(biāo)準(zhǔn)差定義的波動(dòng)率建立GARCH（1，1）模型進(jìn)行未來波動(dòng)率預(yù)測的擬合效果較好。劉青（2015）采用一種半?yún)?shù)的方法評價(jià)模型預(yù)測的效果。

通過比較對前人研究成果的閱讀發(fā)現(xiàn)，對于股票指數(shù)波動(dòng)性預(yù)測效果的評價(jià)，并不盡人意，當(dāng)前多采用方差估值的方法，比較復(fù)雜。本文試圖通過對1990以來恒生指數(shù)的分析，建立多個(gè)GARCH模型，在比較不同模型優(yōu)劣之后，以2015年12月為基點(diǎn)預(yù)測2016年1月到5月的恒生指數(shù)波動(dòng)率，通過和實(shí)際波動(dòng)率的比較，在對股票指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測評價(jià)上提出建立一種簡易但十分有效的評價(jià)方法，即誤差率評價(jià)的方法。

二、ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)及GARCH模型

1.ARCH模型和ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

Engle（1982）提出的ARCH模型用于描述金融資產(chǎn)期望收益的時(shí)變性和金融資產(chǎn)方差的時(shí)變性，用于揭示了金融資產(chǎn)收益能力和風(fēng)險(xiǎn)特征。ARCH（q）模型可以表示為

2.ARCH效應(yīng)

圖2是過去25年間的月對數(shù)收益率時(shí)間序列圖，從圖中可以看出在一個(gè)大的波動(dòng)后面往往出現(xiàn)一個(gè)較大的波動(dòng)，而一個(gè)小的波動(dòng)后面往往出現(xiàn)一個(gè)小的波動(dòng)，表現(xiàn)出ARCH效應(yīng)的特征，因而有必要進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，以證實(shí)月對數(shù)收益率是否存在ARCH效應(yīng)。考慮月收益序列的相關(guān)性，有必要對月收益序列進(jìn)行Box-Ljung檢驗(yàn)，結(jié)果如表2說列示：月收益序列P值大于0.05說明月收益序列不存在自相關(guān)，也就是說月收益序列是一個(gè)白噪聲序列。但是對于平方月收益序列的檢驗(yàn)P值非常小，說明平方月收益序列存在自相關(guān)；ARCH檢驗(yàn)的月收益序列p值為0.006228，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，表明月收益序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，但平方月收益p值為0.2254，沒有通過ARCH檢驗(yàn)，表明平方月收益ARCH效應(yīng)不顯著。

圖3（a）和圖3（b）給出了月收益序列的樣本ACF和PACF，表明在該對數(shù)收益率序列中沒有強(qiáng)序列相關(guān)性，而圖4（a）和圖4（b）給出了平放月收益序列的樣本ACF和PACF可以看出平方序列中有序列相關(guān)性，因而也就是進(jìn)一步驗(yàn)證了恒生指數(shù)的月對數(shù)收益率有顯著的ARCH效應(yīng)。從以上分析可以得出，月收益序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，因而可以針對月收益序列建立GARCH模型。

3.GARCH模型的選擇

為了對未來收益率的預(yù)測，必須建立GARCH模型，這里構(gòu)建服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的GARCH（1，1）和GARCH（1，2）模型，分別服從t分布和有偏t分布（ST）的GARCH（1，1）模型，分別服從廣義誤差分布（GED）和有偏的廣義誤差分布（SGEG）的GARCH（1，1）模型。

應(yīng)用R語言中的fGarch軟件包建立上述GARCH模型，得到的匯總數(shù)據(jù)如表2所示

我們應(yīng)用了6個(gè)GARCH模型對恒生指數(shù)月對數(shù)收益序列進(jìn)行擬合，從S-W檢驗(yàn)和J-B檢驗(yàn)的結(jié)果看，所有的模型都通過了檢驗(yàn)，說明模型的擬合程度都非常好，GARCH（1，1）-st模型的這兩個(gè)檢驗(yàn)的值最小，但依據(jù)AIC和BIC來選擇模型的標(biāo)準(zhǔn)看GARCH（1，1）-st模型并不是最優(yōu)的模型，GARCH（1，1）-GED模型最優(yōu)。特別是從AIC值來看，雖然各個(gè)模型之間的差異非常小，但從存在的細(xì)微差異處，可以看出，基于廣義誤差分布和有偏廣義誤差分布的GARCH（1，1）模型擬合要分別優(yōu)于基于t分布和廣義t分布的GARCH（1，1）模型。

圖5（a）和圖5（b）分別表示GARCH（1，1）模型服從t分布和st分布的標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖，從圖形可以直觀的表達(dá)模型的擬合情況還是非常理想的，不過圖6（a）和圖6（b）分別表示GARCH（1，1）模型服從GED和SGED分布的標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖，顯然圖6的兩圖和圖5相比，在擬合曲線的兩側(cè)落點(diǎn)更少，而且更加緊密，也進(jìn)一步驗(yàn)證了服從GED和SGED分布要優(yōu)于服從t和st分布的GARCH（1，1）模型。

基于對所建立的模型的分析和選擇，畫出恒生指數(shù)從1990年1月1日到2015年12月31日的月對數(shù)收益率擬合的服從廣義誤差分布的GARCH（1，1）模型的時(shí)間序列圖，如圖7所示

四、預(yù)測與評價(jià)

1.GARCH模型預(yù)測

在GARCH模型預(yù)測中，最核心的是為條件方差（波動(dòng)率）預(yù)測。由于波動(dòng)率不能直接的觀測得到，所以比較不同的波動(dòng)率模型的預(yù)測表現(xiàn)是一個(gè)挑戰(zhàn)。目前，比較通常的方法是利用樣本外（outof-sample）預(yù)測法，這種預(yù)測方法是根據(jù)估計(jì)的模型對未來進(jìn)行預(yù)測，該方法是對未來進(jìn)行的估計(jì)，缺點(diǎn)是不能進(jìn)行比較。本文也采用這種方法，設(shè)置2016年數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)，以2015年12月為基點(diǎn)，對2016年恒生指數(shù)月對數(shù)收益的波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測步長為5個(gè)月。

表3是假定服從不同分布的GARCH模型對恒生指數(shù)月對數(shù)收益波動(dòng)率的預(yù)測，預(yù)測基點(diǎn)是2015年12月，期限為5個(gè)月，預(yù)測的步長如表所示，這一組數(shù)據(jù)的差別比較小，并不能足以說明預(yù)測模型的偏差程度。為了便于比較，表4給出了2016年以來5個(gè)月的恒生指數(shù)，依據(jù)不同分布的GARCH模型估計(jì)的實(shí)際步長。當(dāng)然這里只有5期的數(shù)據(jù)，為了分析的一致性，對預(yù)測步長和實(shí)際步長的比較采用服從相同分布的GARCH模型。

2.評價(jià)

為了清晰的說明實(shí)際步長和預(yù)測步長的差異，這里引入一個(gè)自定義的公式，其值設(shè)為η

圖8是基于不同模型計(jì)算的η值刻畫的折現(xiàn)圖。從這個(gè)圖形可以直觀的看出來，對于第一期的預(yù)測，各個(gè)模型擬合的都非常好，其中GARCH（1，1）-N模型的擬合最好，誤差率只有0.7%。但是隨著步長測增加，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的GARCH模型的誤差率要高于其他模型，特別是服從正態(tài)分布的GARCH（1，2）模型的預(yù)測效果最不理想。從整體而言，從第二期以后的誤差率呈下降趨勢，這或許可以說明，隨著步長的增加，預(yù)測效果會(huì)更好些。就各個(gè)模型而言，有偏的t分布和有偏的廣義誤差分布預(yù)測效果要分別好于標(biāo)準(zhǔn)的t分布和標(biāo)準(zhǔn)的廣義誤差分布。更進(jìn)一步說，模擬效果最好的兩個(gè)分布是有偏的t分布和標(biāo)準(zhǔn)的t分布，這一發(fā)現(xiàn)或許有利于改進(jìn)波動(dòng)率預(yù)測的方法。

五、 結(jié)論

本文基于GARCH模型，探討了香港股市的波動(dòng)性，實(shí)證結(jié)果表明：香港股票市場具有很強(qiáng)的波動(dòng)聚集性和持續(xù)性，收益率曲線具有明顯的尖峰厚尾性，可以進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測的研究從建模的結(jié)果看，高階的GARCH模型擬合效果低于低階的模型的擬合效果，基于廣義誤差分布和有偏廣義誤差分布的GARCH（1，1）模型擬合要分別優(yōu)于基于t分布和廣義t分布的GARCH（1，1）模型。本文提出了一個(gè)直觀上比較預(yù)測模型優(yōu)劣的方法，即計(jì)算誤差率η值，從驗(yàn)證效果，這個(gè)方法比較借鑒，易于比較從預(yù)測的結(jié)果看，對于GARCH模型的波動(dòng)率預(yù)測，第一期最好選用服從正態(tài)分布的GARCH模型，而如果預(yù)測的期數(shù)較多則最好選用服從有偏的t分布的GARCH模型。建模擬合程度高的模型，預(yù)測模型的結(jié)果未必是最好的，這一點(diǎn)對于選擇預(yù)測模型的時(shí)候，存在參考意義。對于多期的步長預(yù)測，理論上講，預(yù)測的步長越長，誤差率存在縮小的趨勢。

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作者簡介：

韓信（1990—），男，安徽宿州，集美大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院，2015級，稅務(wù)碩士，研究方向：金融稅制。

梁新潮（1960—），男，江西余干人，集美大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向：財(cái)政金融理論與政策 。

賴洪貴（1990—），男，福建龍巖人，中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)金融學(xué)院，2014級房地產(chǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士研究生，研究方向：房地產(chǎn)金融與投資。