胡楊麗江 陳聰 徐娜 柴溢 金堅(jiān)毅 文一帆 馮艦銳

【摘 要】一根忽略質(zhì)量線和重物可構(gòu)成一個(gè)擺。當(dāng)擺的懸掛點(diǎn)在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，其運(yùn)動(dòng)情況與懸點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、角速度、懸線長(zhǎng)度、擺球質(zhì)量等量有關(guān)。文章從受力分析著手對(duì)擺的軌跡方程進(jìn)行推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，理想條件下其穩(wěn)定狀態(tài)有2種，一是相位滯后為的情況，二是相位相同的情形。這2種情況分別又有從不穩(wěn)定態(tài)到穩(wěn)定態(tài)的“暫態(tài)”過(guò)程；考慮空氣阻力后，與理想條件下相差極小，然后以實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證此理論結(jié)果正確。

【關(guān)鍵詞】懸點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的擺；滯后的擺；軌道；空氣阻尼

【中圖分類(lèi)號(hào)】O314 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2016）11-0058-03

鐘擺運(yùn)動(dòng)的研究是一個(gè)經(jīng)典物理問(wèn)題，而簡(jiǎn)單的鐘擺是一種在物理和非線性振蕩等現(xiàn)象研究中的范例動(dòng)力學(xué)，在這里我們要嘗試通過(guò)實(shí)驗(yàn)描述我們所稱(chēng)的廣義擾動(dòng)擺[1]。

圓錐擺的懸點(diǎn)是軸線上一個(gè)固定的點(diǎn)。當(dāng)以懸線或懸線延長(zhǎng)線上的點(diǎn)為參考系時(shí)，就相當(dāng)于一個(gè)懸點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的擺。那么可見(jiàn)，對(duì)于一個(gè)懸點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的擺而言，在有些情況下擺球會(huì)做相比懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)半徑更小的圓周運(yùn)動(dòng)，即相比于懸點(diǎn)具有空間相位上的“滯后性”[2]。本文在忽略擺球自身旋轉(zhuǎn)和懸線內(nèi)部應(yīng)力的情況下，探究具有滯后性的臨界條件和具有相位滯后特點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。

設(shè)懸點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R1，角速度為ω，懸線長(zhǎng)度為l，擺球質(zhì)量為m，且在本文中只有這4個(gè)量是可以被人為改變的。

1 基本原理

1.1 理想條件下的臨界條件

定義懸線與水平方向的夾角為θ，擺球在穩(wěn)定狀態(tài)下的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，借助圓錐擺的動(dòng)力學(xué)方程，忽略空氣阻力的影響時(shí)，對(duì)于擺球有■=ω2r[3]，如要出現(xiàn)擺球相對(duì)懸點(diǎn)相位滯后（如圖1右所示）的情況，在r=-R1+？詛cosθ的情況下動(dòng)力學(xué)方程需要有解。易知臨界條件為R1、？詛、ω滿(mǎn)足f（R1，l，ω）=■-l■+R1■=0。當(dāng)f（R1，l，ω）≤0時(shí)，能量較低的情況出現(xiàn)；當(dāng)f（R1，l，ω）≥0時(shí)，出現(xiàn)無(wú)相位滯后的情況。

1.2 理想條件下的軌跡分析

在可以出現(xiàn)空間相位滯后的情形下，由圓錐擺的相關(guān)推想可知其穩(wěn)定狀態(tài)有2種，一是空間相位滯后為π的情況，二是相位相同的情形。這2種情況分別又有從不穩(wěn)定態(tài)到穩(wěn)定態(tài)的“暫態(tài)”過(guò)程。

在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，以l、R1、r在t=0時(shí)刻形成的平面為xOz面建立笛卡爾坐標(biāo)系，假想的圓錐擺懸點(diǎn)為O點(diǎn)，對(duì)于空間相位滯后為π的情況，有

x=（-R1+lcosθ）cosωty=（-R1+lcosθ）sinωtz=■，

而對(duì)于相位相同的情形，有

x=（R1+lcosθ）cosωty=（R1+lcosθ）sinωtz=■。

分別計(jì)算2種情況的能量可知，當(dāng)R1、l、ω均相同且滿(mǎn)足f（R1，l，ω）<0時(shí)，相位滯后π的情況總會(huì)比相位相同的情況能量低。

在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前，有一段持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的暫態(tài)。暫態(tài)中，擺球不在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的位置，而是以穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的懸線所在直線為軸，做獨(dú)立的圓錐擺運(yùn)動(dòng)。即，暫態(tài)中的擺球相對(duì)于穩(wěn)定狀態(tài)的擺球又有往復(fù)的超前與滯后。如圖2所示，設(shè)暫態(tài)中擺球關(guān)于軸線做的圓錐擺半徑為r2，懸線與圓錐底面的夾角為θ2，圓錐底面圓心距懸線圓周運(yùn)動(dòng)中軸線的距離為r1，圓錐軸線與水平面夾角為θ1，設(shè)l、R1、r1、r2以在同一平面內(nèi)時(shí)刻為t=0時(shí)刻，該平面為xOz面建立笛卡爾坐標(biāo)系，那么暫態(tài)中x，y的坐標(biāo)為x平衡y平衡+r2cosω2tsinθ2 r2cosω2t× cosω1t sinω1t-sinω1t cosω1t，導(dǎo)出軌跡方程為

x=r1cosω1t+r2cosω2tsinθ2cosω1t-r2sinω2tsinω1ty=r1sinω1t+r2cosω2tsinθ2sinω1t+r2sinω2tcosω1tz=-■+r2cosω2tcosθ2

對(duì)于空間相位滯后為π的情況，其中r1=-R1+lcosθ1，相位同步的情況則有r1=R1+lcosθ1。對(duì)于暫態(tài)而言，由于空氣阻尼的存在，系統(tǒng)能量緩慢降低，最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

為了更貼近實(shí)際情況，接下來(lái)引入空氣阻尼進(jìn)行研究。

1.3 引入空氣阻尼的分析

如圖3所示，設(shè)擺線上的拉力為T(mén)，擺線與豎直方向夾角為θ，擺線在水平方向的投影與擺球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑夾角為φ，擺球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，擺球半徑為φ，空氣的動(dòng)力黏滯系數(shù)為η。對(duì)擺球受力分析可得

Tcosθ=mgTsinθcosφ=mω2rTsinθsinφ=6πφηωr

于是解出tanφ=■，又有■=■和2Rrcos△α=R2+r2-l2sin2θ，進(jìn)而可以解出相位差：

其中，M=R2l2ω2（m2ω2+36π2φ2η2）。

經(jīng)計(jì)算可知，空氣阻尼對(duì)△α的影響為忽略空氣阻尼時(shí)的10-3倍，所以理想情況已經(jīng)很貼近實(shí)際情況。

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示，包括ZYTD555型電機(jī)、HY1711-2S電源、擺球、懸線、支架、擺臂。

實(shí)驗(yàn)步驟如下。

（1）組裝實(shí)驗(yàn)裝置，并且在電機(jī)轉(zhuǎn)軸正上方和裝置正前方各放置1臺(tái)攝像機(jī)。

（2）等間距改變待驗(yàn)證的變量，并用2臺(tái)攝像機(jī)同步攝錄實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

（3）重復(fù)（2）的過(guò)程，利用Tracker軟件分析錄像中的暫態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的參數(shù)或軌跡。

2.1 對(duì)臨界條件的驗(yàn)證

由于人為改變量只有4個(gè)，且根據(jù)理想條件下的結(jié)果，質(zhì)量不影響運(yùn)動(dòng)，因此只需要選取其中2個(gè)分別實(shí)驗(yàn)便可驗(yàn)證臨界條件式。

懸點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為9.7 cm，角速度為2πs-1時(shí)，不同懸線長(zhǎng)度是否會(huì)形成空間相位滯后見(jiàn)表1。理論臨界擺長(zhǎng)為47.19 cm，與實(shí)驗(yàn)符合。

懸點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為9.7 cm，懸線長(zhǎng)為55 cm時(shí)，不同轉(zhuǎn)速下是否會(huì)形成空間相位滯后見(jiàn)表2。理論臨界轉(zhuǎn)速為1.783πs-1，與實(shí)驗(yàn)符合。

將以上2組實(shí)驗(yàn)的無(wú)關(guān)變量改變，重復(fù)多次，均能得到相同結(jié)論。

2.2 對(duì)軌跡的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證軌跡方程和實(shí)際情況的一致性，以如下案例為例，闡述驗(yàn)證軌跡的過(guò)程。

懸點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為9.31 cm，懸線長(zhǎng)為94.50 cm，角速度為10.47s-1時(shí)，以擺球旋轉(zhuǎn)中心（230，120）為坐標(biāo)，利用Tracker軟件追蹤重物可得圖線（如圖5所示）。

此次實(shí)驗(yàn)與理論的吻合度為94.7%，在每個(gè)變量獨(dú)立變化均重復(fù)10組實(shí)驗(yàn)后，所有實(shí)驗(yàn)與軌跡方程的吻合度均在87%以上。

3 結(jié)論

滯后擺模型的研究與學(xué)習(xí)體現(xiàn)了牛頓力學(xué)的經(jīng)典性，由于實(shí)驗(yàn)室研究條件的限制，本文討論了同相位與空間相位滯后為π的2種情況。實(shí)驗(yàn)先從理想狀態(tài)的理論推導(dǎo)出發(fā)，得出小球的理想運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了從非穩(wěn)定態(tài)至穩(wěn)定態(tài)的轉(zhuǎn)變，隨后引入空氣阻尼因素，以此進(jìn)一步貼近實(shí)際情況小球的運(yùn)動(dòng)。

對(duì)小球運(yùn)動(dòng)方程的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證設(shè)立了擺線長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)速、小球質(zhì)量3個(gè)參數(shù)，討論了空間相位滯后為π的滯后擺模型。通過(guò)控制變量法多次改變變量數(shù)值，均能得到與理論方程相符合的數(shù)值。最后繪制小球運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合度極高，確認(rèn)小球滯后擺運(yùn)動(dòng)方程理論推導(dǎo)的正確性。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]JL Trueba，JP Baltanás，MAF Sanjuán.A genera-lized perturbed pendulum[J].Chaos，Solitons &Fractals，2003，15（5）：911-924.

[2]iypt.urfu.ru.Problems for the 29th IYPT 2016[DB/OL].http：//iypt.urfu.ru/en/about/problems，2016-03-20.

[3]wikipedia.Conical_pendulum[DB/OL].https：//en.wi-kipedia.org/wiki/Conical_pendulum，2016-04-18.

[責(zé)任編輯：陳澤琦]