邢秀俠

摘要：本文對(duì)三道不定積分的題目給出了多種不同的解法，其中綜合應(yīng)用了湊微分和第二類換元法（包括三角代換、根式代換和倒代換等）兩類典型積分法，這對(duì)工科大學(xué)生學(xué)習(xí)綜合運(yùn)用多種積分技巧求解不定積分具有啟發(fā)意義。

關(guān)鍵詞：不定積分；湊微分；第二類換元；三角代換；根式代換；倒代換

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）15-0245-02

在高等數(shù)學(xué)課程中，求解不定積分是相對(duì)比較困難的部分，因?yàn)榧记尚员容^強(qiáng)，可用的工具也比較少。求極限、判斷連續(xù)、求導(dǎo)、求微分時(shí)，都有針對(duì)函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合的相應(yīng)的運(yùn)算法則。而到了求不定積分，只有針對(duì)加、減運(yùn)算的被積函數(shù)的積分法則，卻沒有專門處理乘積、商和復(fù)合形式的被積函數(shù)的積分法則。

國內(nèi)現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材里通常會(huì)給出三類典型的積分法，包括湊微分、第二類換元和分部積分。初學(xué)不定積分的時(shí)候，要注意把握每種積分法各自的特點(diǎn)，看它們都適合處理什么樣的被積函數(shù)。比如湊微分法和分部積分法都可以用來嘗試處理一些乘積形式的被積函數(shù)，也都有把被積函數(shù)的一部分拿進(jìn)來湊微分的步驟，不過使用湊微分技巧時(shí)對(duì)被積函數(shù)的要求比較高：即需要湊完微分以后剩余的被積函數(shù)是某個(gè)容易積出來的函數(shù)和微分符號(hào)“d”后面的那個(gè)函數(shù)的復(fù)合形式，而分部積分法對(duì)被積函數(shù)的要求則沒這么高。一般來講，分部積分技巧可以處理被積函數(shù)為“反對(duì)冪三指”五類函數(shù)中的兩類相乘的情形。至于第二類換元，其基本思想是去根號(hào)，容易總結(jié)出一些很典型的代換：三角代換、根式代換和倒代換等。但是，當(dāng)學(xué)生把所有積分法都學(xué)完，并且針對(duì)每種積分法都做了一定量的練習(xí)后，就很有必要培養(yǎng)綜合利用多種積分法求解不定積分的能力。高數(shù)課教師在不定積分這一章的末尾上習(xí)題課時(shí)，也要有意識(shí)地選取典型例子，引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)貌煌姆e分法求解不定積分，讓他們體會(huì)“條條大路通羅馬”的喜悅，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的興趣。

下文介紹三個(gè)典型的例子，這些例子均有多種解法，其中融合了湊微分（也稱第一類換元法）和第二類換元法（包括三角代換、根式代換、倒代換和非典型代換），具有很好的啟發(fā)性。

參考文獻(xiàn)：

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