張慶海 范卓 王德強(qiáng)

摘 要 計(jì)算二重積分最關(guān)鍵的是在定積分計(jì)算的基礎(chǔ)上，掌握好將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的方法步驟。筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的方法總結(jié)為“三定法”，即“定系、定序和定限”。

關(guān)鍵詞 二重積分 二次積分 三定法

中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.012

Abstract The most critical calculation of double integral is based on the calculation of the definite integral， and master the method of converting the double integral into the two integral. The author's own teaching experience， the double integral transformation of quadratic integral method is summarized as "sanding" namely fixed line， sequencing and restriction".

Key words double integrals； two integrals； three methods

二重積分的計(jì)算是積分學(xué)中的一個(gè)重要問題，其基本方法是將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分來計(jì)算。所以學(xué)習(xí)二重積分計(jì)算的關(guān)鍵是在定積分計(jì)算的基礎(chǔ)上，掌握好將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的方法步驟。具體來講，首先是確定坐標(biāo)系；其次確定二次積分的順序；最后是確定積分上下限，即“定系、定序、定限”。完整經(jīng)歷這三步之后，就可將二重積分轉(zhuǎn)化為了二次積分。

1 定系

“定系”是計(jì)算二重積分的第一步。坐標(biāo)系選擇的合適與否，決定了二重積分計(jì)算的復(fù)雜程度。選擇坐標(biāo)系的一般方法是：主要依據(jù)積分區(qū)域的形狀，有時(shí)也參照被積函數(shù) （）的形式，具體見表1。

從表1中知：若積分區(qū)域?yàn)閳A域、環(huán)域、扇域或環(huán)扇域，并且被積函數(shù) （）的形式為 （）、 （） 或 （），這兩個(gè)條件同時(shí)滿足，這時(shí)，應(yīng)選擇極坐標(biāo)系，如例1。

例1：計(jì)算二重積分，

其中 = {（）∣1≤≤4}。

解： = =

但如果積分區(qū)域?yàn)閳A域、環(huán)域、扇域或環(huán)扇域和被積函數(shù) （）的形式為 （）、 （） 或 （）這兩個(gè)條件不同時(shí)滿足的情況下，又該如何選擇坐標(biāo)系呢？如例2。

例2：計(jì)算二重積分（），其中是由直線 = ， = + ， = ， = 3（>0）所圍成的閉區(qū)域（見圖1）。

分析：本題從被積函數(shù) （） = 看用極坐標(biāo)系做要簡(jiǎn)單些，但從積分區(qū)域的形狀看卻又以直角坐標(biāo)系為宜，在二者不可兼得的情況下，應(yīng)以積分區(qū)域的形狀來決定選用什么坐標(biāo)系，本題選用直角坐標(biāo)系來做。

解：（） = （）

= （ + ） = 14

2 定序

在確定二次積分的順序之前，要根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)來確定積分區(qū)域的類型。以直角坐標(biāo)系為例，可將積分區(qū)域分為型區(qū)域和型區(qū)域。型區(qū)域所代表的二次積分的積分順序?yàn)橄葘?duì)積分后對(duì)積分，型區(qū)域所代表的二次積分的積分順序?yàn)橄葘?duì)積分后對(duì)積分。在具體運(yùn)算中，針對(duì)型區(qū)域或型區(qū)域，是否一定按照其對(duì)應(yīng)的積分順序進(jìn)行呢？這里分以下三種情況加以說明。

第一，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時(shí)，可以先對(duì)積分后對(duì)積分，也可以先對(duì)積分后對(duì)積分。如例3。

例3：計(jì)算二重積分，其中是由直線 = 1， = 和 = 2所圍成的閉區(qū)域（見圖2）。

第二，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時(shí)，有時(shí)需要考慮計(jì)算的復(fù)雜程度，以此來選擇積分區(qū)域的類型，從而確定二次積分的積分順序。如第一部分中的例2。

例2：計(jì)算二重積分（），其中是由直線 = ， = + ， = ， = 3（>0）所圍成的閉區(qū)域 （見圖1）。

解法一：將看作型區(qū)域：

第三，當(dāng)積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域時(shí)，有時(shí)需要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來選擇積分區(qū)域的類型，從而確定二次積分的積分順序。如例4。

例4：計(jì)算二重積分，其中是由直線 = ， = 1和 = 0所圍成的閉區(qū)域 （見圖3）。

分析：因?yàn)闊o法用初等函數(shù)表示，所以積分時(shí)必須考慮次序，將當(dāng)作型區(qū)域處理，即按照先對(duì)積分后對(duì)積分的順序。

解： =

= · = · = （）

凡遇如下形式的積分：，，，，，，等等，因其結(jié)果不能用初等函數(shù)表示，因此要將其放在后面積分。

3 定限

確定二次積分的上下限是將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的最后一步，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。但如果掌握好了定限的四步曲（定限口訣），這個(gè)問題也就迎刃而解了。

定限口訣：“后積先定限（后積分變量的上下限均為常數(shù)），限內(nèi)畫條線，先交下限寫，后交上限見?！?/p>

對(duì)直角坐標(biāo)系而言，針對(duì)型區(qū)域，畫一條平行于軸且與軸正向同向的直線；針對(duì)型區(qū)域，畫一條平行于軸且與軸正向同向的直線。

對(duì)極坐標(biāo)系而言（積分順序一般是“先后”），畫一條以極點(diǎn)為起點(diǎn)的射線。

下面通過兩個(gè)例子具體來說明如何運(yùn)用定限口訣進(jìn)行定限。

例4：計(jì)算二重積分，其中是由直線 = ， = 1和 = 0所圍成的閉區(qū)域。

通過上面的分析知：將當(dāng)作型區(qū)域處理，即先對(duì)積分后對(duì)積分。第一步，后積先定限：

先定的上下限。

第二步，限內(nèi)畫條線：在 = 0和 = 1之間畫一條平行于軸且與軸正向同向的直線（見圖4）。

第三步，先交下限寫：直線先與的邊界曲線 = 0相交，所以0取作x的積分下限。

第四步，后交上限見：直線后與的邊界曲線 = 相交，所以取作的積分上限。

至此，二次積分中積分變量和的上下限都已確定出來了，二重積分也就化為了直角坐標(biāo)系下的二次積分。

例5：計(jì)算二重積分（），其中是由圓 = ， = 及直線 = 0， = 0所圍成的閉區(qū)域（見圖5）。

根據(jù)第一部分定系的一般方法，本題選用極坐標(biāo)系，先對(duì)積分后對(duì)積分。

將四條邊界曲線的方程化為極坐標(biāo)方程：

第一步，后積先定限：先定的上下限·。第二步，限內(nèi)畫條線：在 = 和 = 之間畫一條以極點(diǎn)為起點(diǎn)的射線（見圖5）。第三步，先交下限寫：射線先與的邊界曲線 = 相交，所以取作的積分下限。第四步，后交上限見：射線后與的邊界曲線 = 相交，所以取作的積分上限。

至此，二次積分中積分變量和的上下限都已確定出來了，二重積分（）也就化為了極坐標(biāo)系下的二次積分·。