唐偲

摘要：文章提出了一種新的樣本篩選機(jī)制，該機(jī)制利用樣本特征匹配的方式根據(jù)每個(gè)測(cè)試樣本的特性選擇最佳地自適應(yīng)子集，然后在自適應(yīng)子集中計(jì)算重建出物體的光譜反射率?？紤]到計(jì)算復(fù)雜度和重建精度，根據(jù)測(cè)試樣本的特性預(yù)先在光譜顏色空間進(jìn)行預(yù)篩選，然后在預(yù)篩選的樣本子集中計(jì)算與測(cè)試樣本的相似度。正如結(jié)果顯示的那樣，文章提出的樣本篩選機(jī)制是一種利用樣本之間相似度而不是樣本之間的距離的篩選方式，顯著地提高了光譜重建精度。

關(guān)鍵詞：光譜重建；偽逆法；三刺激值；顏色特征匹配

顏色的定量描述一直以來(lái)都是色彩學(xué)的研究熱點(diǎn)，它通常在三維空間中由三刺激值來(lái)表示。在三維空間中，被廣泛認(rèn)可的表達(dá)方式為基于色度的三刺激值法，而物體表面的光譜反射率被人們稱(chēng)為物體顏色最本質(zhì)的屬性，它能準(zhǔn)確地表示在任一觀察環(huán)境下物體的顏色信息。因此，獲取物體表面的光譜顏色信息可從根本上解決同色異譜問(wèn)題，已成為最近的研究熱點(diǎn)。然而，多光譜成像設(shè)備存在重構(gòu)過(guò)程復(fù)雜、時(shí)間復(fù)雜度高、價(jià)格昂貴等因素限制了其在印刷、藝術(shù)品復(fù)制和網(wǎng)上購(gòu)物等領(lǐng)域的應(yīng)用；同時(shí)這些領(lǐng)域的顏色獲取設(shè)備僅有三通道顏色值，例如常規(guī)相機(jī)、掃描儀及色度儀等。

因此，利用數(shù)學(xué)算法從顏色色度值到光譜反射率的光譜重建技術(shù)得到了廣泛地研究。盡管該數(shù)學(xué)算法的求解是欠定矩陣的求解，但其重建的光譜反射率仍然具有較高地重建精度。目前，光譜反射率重建算法按照其原理基本上可分為兩種類(lèi)型：一種是基于機(jī)器學(xué)習(xí)的重建算法（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量積、壓縮感知、遺傳算法等）；另一種是基于線(xiàn)性模型的重建算法（線(xiàn)性插值、非負(fù)矩陣分解、主成分分析法、偽逆法等）。很顯然，基于機(jī)器學(xué)習(xí)的重建算法要求算法的時(shí)間復(fù)雜度高，這樣基于線(xiàn)性模型的重建算法得到了廣泛地研究。由于偽逆法是一種能夠直接地反映顏色三刺激值與光譜反射率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的線(xiàn)性模型，所以樣本篩選機(jī)制的精度評(píng)價(jià)都采用該方法進(jìn)行。

為了提高光譜的重建精度，研究人員對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的基于線(xiàn)性模型的重建算法進(jìn)行了修正，其主要是為了根據(jù)每個(gè)測(cè)試樣本的特性來(lái)創(chuàng)建最佳訓(xùn)練樣本子集。這些訓(xùn)練樣本的篩選機(jī)制可分為兩種類(lèi)型：第一種是固定分區(qū)法，它主要涉及到將光譜顏色空間按照顏色特性進(jìn)行劃分，且標(biāo)準(zhǔn)模型應(yīng)用到每個(gè)子分區(qū)中；Garcia-Beltran等人通過(guò)聚類(lèi)分析按照顏色的色相對(duì)光譜顏色空間進(jìn)行固定分區(qū)劃分，然后線(xiàn)性模型應(yīng)用在每個(gè)分區(qū)中；Lee等人基于Macbeth ColorChecker顏色特性劃分Munsell樣本顏色空間，然后線(xiàn)性模型應(yīng)用到每個(gè)分區(qū)中；Ayala等人和張顯斗等人根據(jù)Munsell樣本色相自身的特性對(duì)光譜顏色空間進(jìn)行劃分，在每個(gè)分區(qū)中進(jìn)行光譜重建。另一種是以色差值作為樣本的篩選機(jī)制，使用測(cè)試樣本與訓(xùn)練樣本之間的色差值大小進(jìn)行樣本預(yù)篩選，然后使用預(yù)篩選的樣本進(jìn)行光譜重建；Babaei等人利用色差值的大小來(lái)形成加權(quán)函數(shù)，從而通過(guò)加權(quán)函數(shù)來(lái)影響光譜的重建精度。然而，色差值的局限只能選擇臨近的樣本對(duì)光譜重建精度產(chǎn)生較大影響，這樣人為地導(dǎo)致把相似的光譜排除在外。

本文提出了一種基于樣本篩選機(jī)制的自適應(yīng)光譜重建算法，該方法基于顏色特征匹配來(lái)實(shí)現(xiàn)由CIE XYZ三刺激值來(lái)重建物體光譜反射率。我們根據(jù)顏色特征來(lái)篩選相似樣本曲線(xiàn)，進(jìn)而提高光譜重建的精度。為了體現(xiàn)提出樣本篩選機(jī)制的優(yōu)勢(shì)，該方法的性能在色度精度和光譜精度上與傳統(tǒng)的方法進(jìn)行了比較分析。

一、基本理論

式中AT和 r 是表示為兩個(gè)矩陣，分別涉及到樣本的三刺激值和光譜反射率向量。AT是系數(shù)矩陣，是標(biāo)準(zhǔn)光源和顏色匹配函數(shù)的內(nèi)積，而 r代表的是矩陣轉(zhuǎn)換。由式（3）可知，光譜形狀越相似，其對(duì)應(yīng)的三刺激值向量也具有越高的相似度。

對(duì)于一個(gè)給定地三刺激值，物體的光譜反射率可直接通過(guò)系數(shù)矩陣的違逆而得到，而這種直接從三刺激值空間到光譜空間的重建方法叫做直接重構(gòu)法。由于系數(shù)矩陣是欠定矩陣，光譜反射率的重構(gòu)需使用違逆矩陣來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這樣必然導(dǎo)致較大的重構(gòu)誤差。使用偽逆法來(lái)重建光譜反射率的公式如下：

公式（4）建立了三刺激值（CIE XYZ或RGB相機(jī)響應(yīng)值）空間與相對(duì)應(yīng)的光譜反射率之間的映射關(guān)系。一旦確定了轉(zhuǎn)換矩陣，這時(shí)乘以三刺激值向量就可計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的光譜反射率。使用標(biāo)準(zhǔn)的偽逆法得到的轉(zhuǎn)換矩陣是所有樣本的最優(yōu)解而非是每一個(gè)單獨(dú)的樣本，這也是造成標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性模型重建光譜精度低的原因。如果轉(zhuǎn)換矩陣的形成是根據(jù)每一個(gè)樣本的特性進(jìn)行確定來(lái)可以提高光譜的重建精度，所以樣本篩選機(jī)制可根據(jù)樣本三刺激值向量特征進(jìn)行樣本選擇。然而，三刺激值不能代表著樣本的光譜向量特征，這主要是由于同色異譜現(xiàn)象。正常情況下，樣本之間的同色異譜現(xiàn)象并不嚴(yán)重，主要是由于同色異譜對(duì)具有相同的光譜形狀趨勢(shì)。因此，基于顏色特征匹配原理來(lái)從本質(zhì)上探討三刺激值空間到光譜反射率空間之間的映射關(guān)系。該樣本篩選機(jī)制首先依據(jù)顏色特征匹配選擇機(jī)制動(dòng)態(tài)選擇訓(xùn)練樣本集，通過(guò)測(cè)試樣本與訓(xùn)練樣本集之間的匹配/不匹配關(guān)系而得到自適應(yīng)樣本子集，基于自適應(yīng)樣本子集計(jì)算得到重建光譜。理論上來(lái)講，增加不同環(huán)境下的物體三刺激值的數(shù)量可有效地避免同色異譜問(wèn)題，但常規(guī)色度獲取設(shè)備常常僅能獲得固定環(huán)境下的三刺激值。

二、實(shí)驗(yàn)過(guò)程

本文的測(cè)試樣本選擇三個(gè)不同的樣本集：Munsell樣本集、ColorChecker SG和Vrhel樣本集進(jìn)行測(cè)試驗(yàn)證。Munsell樣本集包含1269個(gè)樣本光譜反射率值，其來(lái)自于Munsell 半光澤度色卡；ColorChecker SG光譜顏色信息是通過(guò)GretagMacbeth Eye-one Pro 分光光度儀測(cè)量得到；Vrhel數(shù)據(jù)集包含354個(gè)不同材料的光譜反射率。

為了獲得最佳轉(zhuǎn)換矩陣，具有樣本篩選流程如下：首先，所有樣本在CIE D65光源和CIE 1964標(biāo)準(zhǔn)觀察者的環(huán)境下計(jì)算樣本的CIE XYZ三刺激值；然后，利用顏色特征匹配從訓(xùn)練樣本中篩選得到自適應(yīng)子集；這種樣本篩選機(jī)制是利用樣本之間的相似度，樣本之間的相似度通過(guò)公式（5）計(jì)算得到：

式中，t 和 r 代表著測(cè)試樣本的向量和訓(xùn)練樣本集的向量；這種方法把樣本的三刺激值看作一個(gè)向量，計(jì)算結(jié)果僅顯示了向量的方向性而非是向量的大小，從而計(jì)算得到相對(duì)應(yīng)的相似度。為了便于訓(xùn)練樣本的選擇，選擇公式（6）對(duì)數(shù)值進(jìn)行歸一化處理。式（6）中，α和α′分別代表著原始和歸一化的角度值；αmax代表著原始角度值的最大值。換句話(huà)說(shuō)，為了得到與測(cè)試樣本具有良好的光譜相似度的訓(xùn)練樣本曲線(xiàn)，需要確定一個(gè)較佳地相似度系數(shù)，以此來(lái)建立自適應(yīng)子集。例如，如果定義相似度系數(shù)為t來(lái)作為 最小選擇系數(shù)，自適應(yīng)子集的相似度歸一化范圍為r；最后，通過(guò)公式（4）計(jì)算得到具有測(cè)試樣本特性的轉(zhuǎn)換矩陣。

為了證明提出的算法的有效性和準(zhǔn)確性，同時(shí)常規(guī)偽逆法和加權(quán)偽逆法來(lái)重建光譜反射率。為了定量分析的偽逆法、加權(quán)偽逆法和提出的算法的結(jié)果，選擇均方根誤差（RMSE）和CIE LAB色差值（使用CIE1964標(biāo)準(zhǔn)觀察者和光源A，D50，E，F(xiàn)2）來(lái)計(jì)算測(cè)試光譜和重構(gòu)光譜反射率之間的差值。

三、結(jié)果和討論

為了在細(xì)節(jié)上評(píng)價(jià)提出算法的精度，相似系數(shù)的數(shù)值是一個(gè)非常重要的決定因素。換句話(huà)說(shuō)，相似系數(shù)決定著相對(duì)應(yīng)的最佳自適應(yīng)子集。正如Babaei等人所討論的那樣，最佳條件的實(shí)現(xiàn)就是測(cè)試樣本是訓(xùn)練樣本集中的一個(gè)樣本。因此，Munsell樣本集作為訓(xùn)練樣本集，而三個(gè)樣本集作為測(cè)試樣本集。圖1展示了在不同的相似系數(shù)下，RMSE的平均值和在光源A和CIE 10°標(biāo)準(zhǔn)觀察者的色差平均值。

從圖1可看出，隨著相似系數(shù)的不同而樣本差值的分布也相對(duì)應(yīng)的的發(fā)生變化，當(dāng)相似系數(shù)為=0.95時(shí)重構(gòu)誤差在最佳值。因此，在本文中相似度系數(shù)選擇為=0.95。

為了驗(yàn)證本文所提出的算法機(jī)理，光譜反射率的重建過(guò)程展示了圖2中，光譜曲線(xiàn)是從Munsell樣本集，ColorChecker SG樣本集和Vrhel數(shù)據(jù)集中隨機(jī)選擇的樣本。

正如圖2所展示，測(cè)試樣本從訓(xùn)練樣本集Munsell中選擇具有較高曲線(xiàn)形狀相似度而不是選擇的臨近的樣本來(lái)作為自適應(yīng)子集。為了進(jìn)一步分析所選擇樣本的特征，計(jì)算了每一個(gè)所選擇樣本和測(cè)試樣本的CIE L*C*H*，且把樣本展示在色相環(huán)上。通過(guò)圖2可看出，測(cè)試樣本的色相角分布以測(cè)試樣本色相角為中心的固定角度范圍內(nèi)。為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，預(yù)先確定固定的角度范圍來(lái)預(yù)篩選樣本。例如，如果測(cè)試樣本的色相角是和預(yù)先確定的角度是，則動(dòng)態(tài)分區(qū)的角度范圍是。在實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算時(shí)間隨著預(yù)先確定的角度的變小而顯著減少，但顏色的重建精度基本上保持不變。因此，考慮到計(jì)算復(fù)雜度和重建精度，本文選擇在光譜顏色空間進(jìn)行預(yù)篩選，然后計(jì)算與測(cè)試樣本相似度。

為了驗(yàn)證提出算法的準(zhǔn)確性，比較了偽逆法、加權(quán)偽逆法和提出方法的光譜重建精度。數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)結(jié)果展示在表格1中。首先，加權(quán)偽逆法和提出的算法計(jì)算精度明顯高于標(biāo)準(zhǔn)偽逆法，并且提出算法的優(yōu)勢(shì)要明顯好于加權(quán)偽逆法。這樣可以說(shuō)明提高重構(gòu)光譜精度不僅能夠使臨近的樣本，還可以是通過(guò)光譜相似度；為了客觀地評(píng)價(jià)這三種不同的算法，測(cè)試樣本集和重構(gòu)樣本集之間的平均光譜誤差展示在圖3～5。

通過(guò)分析圖3～5，可以看出本文提出的算法在光譜重建精度方面要明顯優(yōu)于其他兩種算法，這也是本文的光譜重建精度高于其他兩種方法的原因。

第二，表1展示所有方法在重建Munsell樣本集時(shí)重建精度要高于其他兩個(gè)樣本集。其主要原因是不同樣本集具有自身的特性，使其應(yīng)用場(chǎng)景不同。

第三，在三種算法和測(cè)試樣本下，CIELAB色差在CIE光源A和F2要明顯大于其他光源D50和E。這種現(xiàn)象跟Ayala等人和Zhang等人的所得到的結(jié)論相一致，主要是由于三刺激值的獲得受到光源光譜曲線(xiàn)的影響。

四、結(jié)論

本文提出了一種新的基于顏色特征匹配樣本選擇機(jī)制的自適應(yīng)光譜重建算法，通過(guò)創(chuàng)建根據(jù)樣本自身特性的自適應(yīng)轉(zhuǎn)換矩陣，實(shí)現(xiàn)通過(guò)三刺激值來(lái)重建光譜反射率。為了減少計(jì)算時(shí)間，根據(jù)測(cè)試樣的色相角進(jìn)行預(yù)篩選以此來(lái)實(shí)現(xiàn)算法計(jì)算復(fù)雜度的降低。測(cè)試樣本重構(gòu)精度的提高依據(jù)篩選樣本之間相似度而不是樣本之間的距離。

本文選擇三種測(cè)試樣本：Munsell樣本集、ColorChecher SG樣本集和Vrhel樣本集進(jìn)行測(cè)試，并與標(biāo)準(zhǔn)偽逆法、加權(quán)違逆法進(jìn)行比較。正如結(jié)果展示的那樣，本文提出的樣本篩選機(jī)制是一種有效地提高光譜重建精度的篩選方式。

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（作者單位：上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院）