王書爽 陳靜

橢圓是圓錐曲線這一章節(jié)中最重要的內(nèi)容之一，由于對其概念、性質(zhì)理解不夠透徹，同學(xué)們解題過程中容易產(chǎn)生錯誤，以下對一些常見錯誤進(jìn)行剖析，幫助大家更準(zhǔn)確地理解橢圓的概念、性質(zhì)，走出解題誤區(qū).

對橢圓的第一定義理解不深，忽視定義中的限制條件

例1 若平面內(nèi)動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)[F1（-3，0）、F2（3，0）]的距離之和為6，則動點(diǎn)P的軌跡為（ ）

A. 橢圓 B. 圓

C. 一條線段 D. 以上答案都不對

錯解 根據(jù)橢圓的定義可以判斷出動點(diǎn)P的軌跡為橢圓，選A.

解析 錯解中忽視了橢圓第一定義中的限制條件：點(diǎn)P到兩定點(diǎn)[F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）]的距離之和[2a>F1F2]，因?yàn)轭}中[PF1+PF2=6=F1F2]，所以點(diǎn)P的軌跡是線段[F1F2]，選C.

點(diǎn)撥 若[PF1+PF2=2a]，[F1F2=2c]，當(dāng)[2a>2c]時，P點(diǎn)的軌跡是橢圓，當(dāng)[2a=2c]時，P點(diǎn)的軌跡是線段[F1F2]，當(dāng)[2a<2c]時，P點(diǎn)的軌跡不存在.

[對橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程混淆不清，忽視焦點(diǎn)位置的討論]

例2 若橢圓C：[x2k+8+y29=1]的離心率[e=12]，求實(shí)數(shù)[k]的值.

錯解 由題意得[a2=k+8，b2=9，]

[∴c2=a2-b2=k-1]，

由[e=12]得[k-1k+8=12]，

即[k=4.]

解析 從題目中的標(biāo)準(zhǔn)方程無法判斷焦點(diǎn)是在[x]軸上還是在[y]軸上，所以必須分類討論.

當(dāng)焦點(diǎn)在[x]軸上時，

[a2=k+8，b2=9]，由[k-1k+8=12?k=4]，

當(dāng)焦點(diǎn)在[y]軸上時，

[a2=9，b2=k+8]由[1-k9=12?k=-54]，

即[k=4]或[-54].

點(diǎn)撥 對于橢圓C：[x2m2+y2n2=1（m>0，n>0，m≠n）]，當(dāng)[m>n]時，焦點(diǎn)在[x]軸上，當(dāng)[m

點(diǎn)撥 橢圓[x2m2]+[y2n2]=1（m>0，n>0，m≠n）中有：-m≤x≤m，

-n≤y≤n，要特別注意橢圓方程中隱含的變量的限制范圍，消元后的方程要與原方程組等價.

[在討論直線與橢圓的位置關(guān)系中，忽視對判別式的討論]

例5 已知橢圓C：[x24+y23=1]，經(jīng)過點(diǎn)[P（2，2）]能否作直線[m]，使得[m]與所給橢圓交于兩個不同的點(diǎn)[Q1]和[Q2]，且[P]為[Q1Q2]的中點(diǎn)？這樣的直線[m]如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

錯解1 假設(shè)直線[m]存在，則由題意知[m]不垂直[x]軸，可設(shè)[m]的方程為：[y-2=k（x-2）]，

設(shè)[Q1]，[Q2]的坐標(biāo)分別為[（x1，y1），（x2，y2）].

由[y-2=k（x-2）x24+y23=1]

消去[y]得：

[（4k2+3）x2+16k（1-k）x+16k2-32k+4=0].

由韋達(dá)定理知：[x1+x2=16k（k-1）4k2+3]，

又[Q1Q2]的中點(diǎn)[P]為[（2，2）]，可得

[x1+x22=8k（k-1）4k2+3=2]，

解得[k=-34]，

[∴y-2=-34（x-2）]，即[3x+4y-14=0].

錯解2 假設(shè)直線[m]存在，則由題意知[m]不垂直[x]軸，可設(shè)[m]的方程為[y-2=k（x-2）]，

設(shè)[Q1]，[Q2]的坐標(biāo)分別為[（x1，y1），（x2，y2）].

則[x214+y213=1，x224+y223=1]，

兩式相減得：[3（x1+x2）?（x1-x2）+4（y1+y2）?（y1-y2）=0].

[∵][Q1Q2]的中點(diǎn)為[P][（2，2）]，

[∴x1+x2=y1+y2=4]，

[∴y1-y2x1-x2=-34]，即[k=-34]，

[∴]直線方程為：[y-2=-34（x-2）]，

即[3x+4y-14=0].

解析 畫出橢圓圖形，可知P在橢圓外，顯然滿足條件的直線[m]不存在. 從數(shù)的角度看：

[3x+4y-14=0，x24+y23=1，]

消去[y]得：[21x2-84x+148=0]，

[∵Δ=-5376<0]，

即直線[m]與橢圓沒有交點(diǎn)，所以不存在滿足條件的直線[m].

點(diǎn)撥 當(dāng)題目中出現(xiàn)“直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)”這一條件時，不管是用“韋達(dá)定理”，還是用“代入相減法”解題，都不要忘了檢驗(yàn)“[Δ>0]”.

[對橢圓的第二定義理解不深刻，照搬公式出錯]

例6 動點(diǎn)M與定點(diǎn)F（3，0）的距離和它到定直線[l][∶][x=9]的距離的比為1[∶]2，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

錯解 由橢圓的第二定義知，F(xiàn)（3，0）為橢圓的一個焦點(diǎn)，[x=8]為對應(yīng)的準(zhǔn)線，

[∴c=3，a2c=9，?a2=27，b2=18.]

[∴]點(diǎn)M的軌跡方程是：[x227+y218=1]，軌跡是橢圓.

解析 由橢圓的第二定義知F與[l]是橢圓的焦點(diǎn)和對應(yīng)的準(zhǔn)線，但是題中的橢圓的中心不一定在原點(diǎn)，所以[c=3]且[a2c=9]是錯誤的，正解如下：

[a2c-c=9-3=6，ca=12，?c=2，a=4.]

[∴]結(jié)合圖形可知橢圓的中心為（1.0）.

[∴]點(diǎn)M的軌跡方程是[（x-1）216+y212=1]，軌跡是橢圓.

點(diǎn)撥 在橢圓的中心位置無法確定時，不能直接套用焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線公式.

[忽視橢圓定義的幾何性質(zhì)及平面幾何知識在解題中的應(yīng)用，陷入繁雜的代數(shù)計(jì)算中]

例7 已知定點(diǎn)[A（4，0）]，點(diǎn)[B（2，2）]是橢圓[x225+y29=1]內(nèi)部的一點(diǎn)，M是橢圓上一動點(diǎn)，求[MA+MB]的取值范圍.

錯解 欲使[MA+MB]最大或最小，考慮到動點(diǎn)M在橢圓上，[A（4，0）]為橢圓的右焦點(diǎn)，結(jié)合圖形，當(dāng)M是左頂點(diǎn)時，[MA]最大，[MA+MB]的最大值是[9+53；]當(dāng)M是右頂點(diǎn)時，[MA]最小，[MA+MB]的最小值是[1+13].

解析 當(dāng)M為左頂點(diǎn)時，[MA]最大，[MA+MB]不一定最大；當(dāng)N為右頂點(diǎn)時，[MA]最小，[MA+MB]不一定最小.

正解應(yīng)設(shè)左焦點(diǎn)為F1，

由[a2=25]知[MF1+MF2=10]，

因此[MA+MB]=[10+MB-MF1]，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)到B，F(xiàn)1兩點(diǎn)距離之差的最大值與最小值，連B，F(xiàn)1并延長交橢圓于兩點(diǎn)，其一使[MB-MF1]最大，另一個使[MB-MF1]最小，則[MA+MB]的最大值為[10+210]，最小值為[10-210].

同學(xué)們在解橢圓相關(guān)試題時，一定要注意定義、變量范圍、判別式及焦點(diǎn)位置等條件限制，從而有效規(guī)避錯誤解答.