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        直線與雙曲線的位置關(guān)系

        2016-05-30 21:20:57馮赟
        高中生學(xué)習(xí)·高二版 2016年3期
        關(guān)鍵詞:漸近線傾斜角過(guò)點(diǎn)

        馮赟

        直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何中的重要內(nèi)容,其中直線與雙曲線的位置關(guān)系尤其復(fù)雜,同學(xué)們難以處理,本文針對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的常規(guī)題型進(jìn)行了如下的研究.

        [過(guò)已知點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系]

        在平面直角坐標(biāo)系中找出已知點(diǎn)的位置,然后再分析過(guò)已知點(diǎn)的直線中滿足題意的情況,特別要注意幾個(gè)特殊位置,與坐標(biāo)軸垂直、與漸近線平行或垂直、傾斜角小于漸近線的傾斜角、傾斜角大于漸近線的傾斜角.

        例1 過(guò)點(diǎn)[P(7,5)]與雙曲線[x27-y225=1]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條,分別求出它們的方程.

        解法一 若直線的斜率不存在時(shí),則[x=7],此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)[(7,0)],滿足條件;

        若直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為[y-5=k(x-7)],則[y=kx+5-k7],

        聯(lián)立[y=kx+5-k7x27-y225=1]

        [?(25-7k2)x2-14k(5-k7)x-7×(5-k7)2-175=0,]

        當(dāng)[k=577]時(shí)方程無(wú)解,不滿足條件;

        當(dāng)[k=-577]時(shí)方程有一解,滿足條件;

        當(dāng)[k≠±577]時(shí),令[Δ=0],解得[k]無(wú)解.

        ∴ 滿足條件的直線有兩條:[x=7]和[y=-577x-10].

        解法二 P點(diǎn)在雙曲線的漸近線上,過(guò)P點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條,一條是x軸的垂線,一條是平行于漸近線的直線,再根據(jù)相關(guān)條件解答(過(guò)程略,下同).

        例2 過(guò)點(diǎn)P(1,1)與雙曲線[x29-y216=1]只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有 條.

        解法一 若直線的斜率不存在,直線的方程為:[x=1],與雙曲線無(wú)公共點(diǎn),舍去;

        若直線的斜率存在, 設(shè)直線的方程為:[y-1=k(x-1)],

        ∴ [y-1=k(x-1)x29-y216=1]

        [?(16-9k2)x2+18k(k-1)x-9k2+18k-153=0],

        當(dāng)[16-9k2=0],即[k=±43]時(shí),方程有惟一解,滿足題意;

        當(dāng)[16-9k2≠0],即[k≠±43]時(shí),[Δ=0]得到[k]一定有兩解,滿足題意.

        綜合知,符合題意的直線有四條.

        解法二 P點(diǎn)在雙曲線外且不在漸近線上,過(guò)P點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有四種:與兩條漸近線分別平行、與雙曲線相切.

        結(jié)論 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1],過(guò)點(diǎn)P(m,n)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條?與該點(diǎn)的位置有何關(guān)系?

        若點(diǎn)P(m,n)在雙曲線上,與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條;

        若點(diǎn)P(m,n)在雙曲線內(nèi)(含焦點(diǎn)),與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條;

        若點(diǎn)P(m,n)在雙曲線外,

        (1)且若在漸近線上的點(diǎn)外,與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條;

        (2)且若在漸近線(除原點(diǎn))上,與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條;

        (3)且若在原點(diǎn),與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在.

        [根據(jù)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系求斜率或傾斜角的取值范圍]

        分析一條已知直線與雙曲線的位置關(guān)系,然后再通過(guò)這個(gè)關(guān)系去分析變量的取值范圍,這種題型在橢圓中出現(xiàn)很多,但是在雙曲線中問(wèn)題會(huì)變復(fù)雜,因?yàn)殡p曲線出現(xiàn)了漸近線,所以要考慮與漸近線平行或重合的情況.

        例3 已知直線[y=kx+1]與雙曲線[3x2-y2=1],求[k]為何值時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)?

        解法一 直線過(guò)定點(diǎn)(0,1),該點(diǎn)在雙曲線外,且不在漸近線上,所以與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條.

        解法二 [y=kx+1,3x2-y2=1]

        [?3x2-kx+12=1?3-k2x2-2kx-2=0],

        若[3-k2=0,]即[k=±3],此時(shí)直線與雙曲線相交于一個(gè)公共點(diǎn);

        若[3-k2≠0,Δ=4k2+4×2×3-k2=-4k2+24=0],即[k=±6],此時(shí)直線與雙曲線相切于一點(diǎn).

        ∴[k=±3]或[k=±6]時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).

        例4 雙曲線[x2-y2=1]的左焦點(diǎn)為[F1],過(guò)點(diǎn)[F1]的直線[m]與雙曲線的左支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則直線[m]傾斜角的取值范圍是 .

        解法一 顯然直線的斜率存在,設(shè)直線方程為:[y=k(x+2)],

        ∴[y=k(x+2),x2-y2=1?(k2-1)x2+22k2x+2k2+1=0],

        當(dāng)[k2-1=0?k=±1]時(shí),[x=-324],惟一交點(diǎn)且在左支上,成立;

        當(dāng)[k2-1≠0?k≠±1]時(shí),[Δ>0]恒成立,不滿足題意.

        綜合知,[k=±1],此時(shí)[α=45°]或[α=135°].

        解法二 焦點(diǎn)在雙曲線內(nèi),過(guò)該點(diǎn)與雙曲線左支只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況就是分別于兩條漸近線平行的時(shí)候.

        結(jié)論 設(shè)直線[l]:[y=kx+m(k≠0)],

        雙曲線:[x2a2-y2b2=1],

        [?(b2-a2k2)x2+2kma2x-a2(m2+b2)=0].

        (1)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行或重合. 若重合,無(wú)公共點(diǎn);若平行,有一個(gè)公共點(diǎn).

        (2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),上式為一元二次方程.

        [Δ]>0[?]直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);

        [Δ]<0[?]直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn);

        [Δ]=0[?]直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).

        [直線與雙曲線交于兩點(diǎn)的不同情況中分析參數(shù)的取值范圍]

        對(duì)于直線與橢圓交于兩點(diǎn)的情況,同學(xué)們很好掌握,只需要將直線與方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0,同時(shí)[Δ>0]即可. 但是在直線與雙曲線中,情況就會(huì)復(fù)雜很多,它需要分為兩個(gè)交點(diǎn)在同在左支、同在右支或者左右支各一個(gè)討論.

        例5 直線[y=kx+2]與雙曲線[x2-y2=6]的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn),則實(shí)數(shù)[k]取值范圍是( )

        A. [-153,153] B. [0,153]

        C. [-153,0] D. [-153,-1]

        分析 在直線與橢圓的位置關(guān)系中,同學(xué)們處理直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)非常輕松,類比遷移到直線與雙曲線的位置關(guān)系的時(shí)候很容易出錯(cuò). 直線與雙曲線若有兩個(gè)公共點(diǎn)的情況,有可能兩個(gè)公共點(diǎn)在同一支上,也有可能在不同支上,這時(shí)除了考慮[Δ>0]外,還有考慮韋達(dá)定理.

        解 聯(lián)立 [y=kx+2x2-y2=6?k2-1x2+4kx+10=0]

        [?k2-1≠0Δ>0x1x2>0x1+x2>0?-153答案 D

        結(jié)論 設(shè)直線[l]:[y=kx+m(k≠0)],

        雙曲線:[x2a2-y2b2=1]相交于兩點(diǎn)時(shí):

        聯(lián)立[y=kx+mx2a2-y2b2=1]

        [?(b2-a2k2)x2+2kma2x-a2(m2+b2)=0].

        若兩個(gè)公共點(diǎn)在同一支上:

        (1)若都在右支上[b2-a2k2≠0,Δ>0,x1·x2>0,x1+x2>0,]

        (2)若都在左支上[b2-a2k2≠0,Δ>0,x1·x2>0,x1+x2<0,]

        若兩個(gè)公共點(diǎn)在不同支上:[b2-a2k2≠0,Δ>0,x1·x2<0,]

        [練習(xí)]

        1.已知過(guò)點(diǎn)[P(1,2)]的直線[l]與雙曲線[C: 2x2-y2][=2]有且只有一個(gè)交點(diǎn),則[l]的斜率[k]的取值是 .

        2.雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線分別為[l1,l2],經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于[l1]的直線分別交[l1,l2]于A,B兩點(diǎn).已知[OA,AB,OB]成等差數(shù)列,且[BF]與[FA]同向.

        [x][B][F][A][l2][l1][O][y]

        (1)求雙曲線的離心率;

        (2)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4,求雙曲線的方程.

        [參考答案]

        1.設(shè)直線[l]的方程為[y-2=k(x-1)],

        代入雙曲線[C]的方程,整理得,

        [(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(?)].

        (1)當(dāng)[2-k2=0,]即[k=±2]時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行,此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).

        (2)當(dāng)[2-k2≠0]時(shí),令[Δ=0]得,[k=32.] 此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn).

        (3)又點(diǎn)[(1,2)]與雙曲線的右頂點(diǎn)[(1,0)]在直線[x=1]上,而[x=1]為雙曲線的一條切線.

        ∴當(dāng)[k]不存在時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).

        綜上所述,當(dāng)[k=±2]或[k=32]或[k]不存在時(shí),[l]與[C]只有一個(gè)交點(diǎn).

        2.(1)設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2=1a>0,b>0],[OA=m-d],[AB=m],[OB=m+d],

        由勾股定理可得:

        [m-d2+m2=m+d2],

        解得[d=m4],

        [tan∠AOF=ba],

        [tan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=43],

        由倍角公式得

        [tan2∠AOF=2tan∠AOF1-tan2∠AOF][=2ba1-ba2=43].

        解得[ba=12],[a=2b],[c=5b],則離心率[e=52].

        (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線方程為[y=-abx-c],

        與雙曲線方程[x2a2-y2b2=1]聯(lián)立,

        將[a=2b],[c=5b]代入,化簡(jiǎn)有[x2-x+21=0],

        則[x1+x2=325b15],[x1x2=28b25],

        AB被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)為

        [4=1+ab2x1-x2=1+ab2x1+x22-4x1x2],

        將上式代入,有:[4=5325b152-4?28b25]

        解得:[b=3],則有[a=6],

        最后求得雙曲線方程為[x236-y29=1].

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