廖琪男，孫憲波，潘瑞冬

(1.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西南寧530003; 2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣西南寧530003; 3.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，廣西南寧530003)

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n維超立方體模映射安全隱寫算法

廖琪男1，孫憲波2，潘瑞冬3

(1.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西南寧530003; 2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣西南寧530003; 3.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，廣西南寧530003)

摘要：針對(duì)目前基于模函數(shù)的隱寫研究現(xiàn)狀，提出n維超立方體模映射隱寫算法.根據(jù)模運(yùn)算性質(zhì)定義一個(gè)n維模函數(shù)，將n個(gè)像素值映射到一位an進(jìn)制數(shù)值，從而可以實(shí)現(xiàn)將一位an進(jìn)制信息隱藏到n個(gè)像素中.選擇不同的參數(shù)a可以得到不同的嵌入率和載密圖像視覺質(zhì)量，選擇較大的參數(shù)n且a為偶數(shù)時(shí)可以得到更好的載密圖像視覺質(zhì)量.理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法與眾多隱寫算法相比，不僅具備這些算法的功能，而且具有更好的載密圖像視覺質(zhì)量、安全性和更強(qiáng)的實(shí)用性.

關(guān)鍵詞：數(shù)字圖像;模函數(shù);余數(shù)循環(huán);隱寫

1　引言

信息隱藏算法可分為空域算法和頻域算法.在空域隱寫算法中，簡(jiǎn)單有效而又著名的方法就是最低有效位(Least Significant Bit，LSB)取代算法［1］，為克服LSB容易被圖像直方圖和RS(Regular Singular，RS)隱寫分析［2］這一缺陷，LSB匹配算法［3］和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償LSB隱寫方法［4］等抗LSB偵測(cè)的隱寫算法被提出來.為提高LSB匹配算法的視覺質(zhì)量，Mielikainen提出LSB匹配重訪(LSB Matching Revisited，LSBMR)算法［5］.為了提高LSBs(Least Significant Bits，LSBs)視覺質(zhì)量，Chan等人提出優(yōu)化調(diào)整像素值(Optimal Pixel Adjustment Process，OPAP)的LSBs算法［6］.目前，LSB算法仍在信息隱藏占有重要地位，在頻域算法中有很多算法采用了LSB算法或思想［7～9］，以及應(yīng)用LSB結(jié)合像素差、像素邊緣匹配和圖像局部復(fù)雜度等的自適應(yīng)隱寫算法［10～12］.

2006年Zhang與Wang提出利用改變方向(Exploiting Modification Direction，EMD)的模運(yùn)算隱寫算法［13］，該方法可以實(shí)現(xiàn)將1位(2n +1)進(jìn)制信息嵌入到n個(gè)載體像素中，其具有高嵌入效率和良好的載密圖像視覺質(zhì)量，但其最大理論嵌入率只有1.16 bpp(bits per pixel)，故有許多研究者都參考模運(yùn)算的余數(shù)循環(huán)特性提出改進(jìn)式模運(yùn)算隱寫算法［14～21］.這些算法在嵌入率和效率等方面性能都有了不同程度的提高或改進(jìn)，但仍存在著信息數(shù)制轉(zhuǎn)換中的數(shù)據(jù)冗余、或嵌入率低、或應(yīng)用不夠靈活廣泛、或安全性差等欠缺或不足.

為解決基于模函數(shù)的隱寫算法中存在的問題，本文提出n維超立方體模映射隱寫算法.

2　相關(guān)算法

2.1EMD算法

Zhang與Wang提出的EMD算法［13］，可以將一位(2n +1)進(jìn)制的秘密信息嵌入到n個(gè)載體像素中，其提取函數(shù)為

式中，(g1，g2，…，gn)為載體圖像的一組像素值，n = 2，3，….

該函數(shù)描述了在n維超立體坐標(biāo)系中，某點(diǎn)(g1，g2，…，gn)及n個(gè)坐標(biāo)軸方向上的相鄰點(diǎn)的函數(shù)值不相同，且正好是(2n +1)進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼(0，1，2，…，2n).如圖1所示的2D坐標(biāo)中的函數(shù)值分布.

因此，該函數(shù)實(shí)現(xiàn)最多修改一個(gè)像素值為1，即可嵌入1位(2n +1)進(jìn)制秘密信息.

2.2FEMD算法

文獻(xiàn)［20］提出的全方位EMD算法(FEMD)，可以實(shí)現(xiàn)將一位a2進(jìn)制的秘密信息嵌入到兩個(gè)載體像素中，其信息提取函數(shù)為

式中，(x，y)為載體圖像的一對(duì)像素值，a =2，3，….

該函數(shù)的特點(diǎn)是，在2D坐標(biāo)系，(x，y)像素對(duì)在由式(2)在像素值［0，255］范圍內(nèi)生成的256×256像素對(duì)映射矩陣中，其邊距離(x，y)點(diǎn)為r =「a/2」的正方形區(qū)域內(nèi)所有元素(函數(shù)值)等于或包含a2進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼(0，1，2，…，a2-1)，如圖2(a)和(b)所示.

因此，該算法的信息嵌入過程就是在該256×256矩陣中，在其邊距離(x，y)點(diǎn)為r的正方形內(nèi)的元素所組成的矩陣中，查找元素等于要嵌入的a2進(jìn)制信息d，且(x，y)像素對(duì)修改量最小的修改方案.

3　n維超立方體模映射隱寫算法

3.1模運(yùn)算性質(zhì)

模運(yùn)算函數(shù)表示為

對(duì)于式(3)所表示的模運(yùn)算函數(shù)，具有以下性質(zhì):

性質(zhì)1當(dāng)a為奇數(shù)，x的變化量Δx在由式(4)所確定的a個(gè)連續(xù)不同的整數(shù)集合A內(nèi)取值時(shí)，式(5)成立.函數(shù)f(x)是“一對(duì)一”的映射關(guān)系.

性質(zhì)2當(dāng)a為偶數(shù)，x的變化量Δx在由式(4)所確定的a +1個(gè)連續(xù)不同的整數(shù)集合A內(nèi)取值時(shí)，式(5)成立，且f(x + a/2)= f(x - a/2).函數(shù)f(x)是“多對(duì)一”的映射關(guān)系.

因此，應(yīng)用模運(yùn)算這一正負(fù)間周期的特點(diǎn)，可以在像素值修改量Δx最小的情況下，通過修改像素值x為x +Δx來隱藏一位a進(jìn)制信息d(d =0，1，2，…，a -1).當(dāng)a =2k時(shí)，可以通過修改像素值x為x +Δx來隱藏k位二進(jìn)制信息.將式(3)的載體像素x擴(kuò)展至n個(gè)像素，將得到n維超立方體模映射隱寫算法.

3.2n維超立方體模映射隱寫算法

n維超立方體模映射隱寫算法可以實(shí)現(xiàn)將一位an進(jìn)制秘密信息嵌入到n個(gè)載體像素中.

3.2.1相關(guān)定義、定理

定義1 n維超立方體模映射(n-Dimensional Hy-percube Modulo Mapping，nDHMM)信息隱藏(簡(jiǎn)稱n維模映射，nDMM)，是指將n個(gè)像素值通過線性組合后的模運(yùn)算結(jié)果映射到一位an進(jìn)制秘密信息，從而實(shí)現(xiàn)信息隱藏.

設(shè)一位an進(jìn)制秘密信息嵌入到n個(gè)其像素值為x1，x2，…，xn的載體像素中，算法的提取函數(shù)定義為

式中，a =2，3，…; n =1，2，3，…; c為引入的算法安全系數(shù)，是xi的線性函數(shù)值平移量，根據(jù)模運(yùn)算的余數(shù)循環(huán)的周期性，c =0，1，2，3，…，an-1.

定理1式(6)中，當(dāng)xi的變化量Δxi都在由式(4)所確定的整數(shù)集合A內(nèi)取a個(gè)連續(xù)不同的變化量時(shí)，式(7)成立，即在an個(gè)像素值組合的n維超立方體編碼中的元素正好是an進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼(0，1，2，…，an-1).

證明略.

推理1式(6)中，當(dāng)a為偶數(shù)，xi的變化量Δxi都在由式(4)所確定的集合A內(nèi)取值(a + 1個(gè)變化量)時(shí)，式(7)成立，即在(a +1)n個(gè)像素值組合的模映射中的元素包含an進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼(0，1，2，…，an- 1)，有(a +1)n- an個(gè)f值重復(fù).

由定理1和推理1可知，在n維超立方體坐標(biāo)系中，某一點(diǎn)(x1，x2，…，xn)的±「a/2」的超立方體空間范圍內(nèi)的所有點(diǎn)的函數(shù)值f一定等于(當(dāng)a為奇數(shù)時(shí))或包含(當(dāng)a為偶數(shù)時(shí))an進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼(0，1，2，…，an-1).因此可以實(shí)現(xiàn)an進(jìn)制信息隱藏.信息嵌入就是遍歷這些點(diǎn)的函數(shù)值f等于an進(jìn)制信息d的點(diǎn)(當(dāng)a為奇數(shù)時(shí))，且離(x1，x2，…，xn)最近的點(diǎn)(當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)).

當(dāng)a =2k時(shí)，本算法具有LSBs一樣的嵌入率k.

3.2.2嵌入過程

根據(jù)前面的敘述，信息隱藏嵌入步驟如下:

(1)二進(jìn)制信息流轉(zhuǎn)an進(jìn)制信息流

依次取二進(jìn)制數(shù)據(jù)流D的L位數(shù)字，將其轉(zhuǎn)化為K 位an進(jìn)制的數(shù)字序列.L、K的取值計(jì)算式為

當(dāng)a = 2k時(shí)，可以用一位an進(jìn)制信息完全表示nk位二進(jìn)制信息，即K =1，L = nk.

(2)取1位an進(jìn)制信息d，由密鑰產(chǎn)生的隨機(jī)序列選擇n個(gè)載體像素的像素值xi作為一組(x1，x2，…，xn)，并按式(6)計(jì)算其函數(shù)值f.如果f = d，不改變像素xi，否則按下面規(guī)則確定像素xi的修改量:

當(dāng)a =2k + 1，即奇數(shù)時(shí)，Δxi按式(4)所確定的集合A，通過遍歷Δxi，使

當(dāng)a =2k，即偶數(shù)時(shí)，Δxi按式(4)所確定的集合A，通過遍歷Δxi，在f(x1+Δx1，x2+Δx2，…，xn+Δxn)= d下，取總像素值修改量平方(即方差)總和最小時(shí)的Δxi的修改方案，即像素值修改滿足

(3)如計(jì)算載密像素x'i溢出，即x'i＜0，或x'i＞255時(shí)，則分別按式(12)調(diào)整，然后再重新嵌入信息.

反復(fù)執(zhí)行2 -3，直至信息嵌入完畢.

例1a = 3，n = 2，c = 1，x1= 52，x2= 63，an進(jìn)制信息d1=5.

a奇數(shù)，嵌入過程與計(jì)算結(jié)果如表1所示.

由表中的計(jì)算結(jié)果，函數(shù)值f = d1的修改量為

表1　像素值變化量與函數(shù)值

例2a = 2，n = 2，c = 0，x1= 52，x2= 63，an進(jìn)制信息d2=3.

a偶數(shù)，嵌入過程與計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2　像素值變化量與函數(shù)值

由表中的計(jì)算結(jié)果，f = d2的最小修改量為

3.2.3提取過程

從載密圖像提取二進(jìn)制秘密信息的步驟:

(1)由密鑰產(chǎn)生的隨機(jī)序列從載密圖像選擇n個(gè)像素為一組(x'1，x'2，…，x'n)，從中提取的一位an進(jìn)制秘密信息為d = f(x'1，x'2，…，x'n).

(2)將提取的an進(jìn)制信息轉(zhuǎn)二進(jìn)制信息.

反復(fù)執(zhí)行1 -2，直至信息提取完畢.

當(dāng)不知K和L的取值時(shí)將得不到正確的信息數(shù)制轉(zhuǎn)換，在一定程度上提高了算法的安全性.

例3從例1的載密像素中提取的秘密信息為

從例2的載密像素中提取的秘密信息為

3.2.4嵌入率

本文算法的嵌入率為

3.2.5載密圖像失真度理論分析

載密圖像視覺質(zhì)量通常用峰值信噪比PSNR評(píng)價(jià)，256級(jí)灰度圖像的PSNR定義為

式中，Mean Squared Error(MSE)為原圖像與載密圖像之間的均方差，計(jì)算式為

式中，m和n分別為圖像的高和寬，xi，j和x'i，j分別為原圖像和載密圖像(i，j)像素的像素值.

PSNR越大，其圖像質(zhì)量越高.一般要求PSNR＞30dB，理想的圖像視覺質(zhì)量要求PSNR＞39dB.

為從理論上比較LSBs，OPAP，LSBMR，EMD，F(xiàn)EMD和本文算法的載密圖像視覺質(zhì)量，下面計(jì)算這些算法的均方差MSE.設(shè)秘密信息數(shù)據(jù)在{ 0，1}或［0，2n］或［0，an-1］范圍內(nèi)均勻分布.

對(duì)于LSBs，當(dāng)嵌入率為k時(shí)，LSBs的像素值最大修改量為2k-1，每一位被修改為0和1的可能性一樣，低第i位的均方差為(1/2)×(2i -1)2.所以，嵌入k位LSBs的載密圖像的均方差為

對(duì)于OPAP，像素值最大修改量為2k -1.設(shè)原圖像像素值為x，載密像素值為x'.|x - x'| =0或|x - x'| =2k -1的可能性是1/2k，|x - x' |在［1，2k -1- 1］內(nèi)的可能性是1/2k -1.所以，嵌入k位信息的OPAP的均方差為

對(duì)于EMD，n個(gè)像素中的任一像素被改變1的可能性是2n/(2n +1).所以，該算法的均方差為

對(duì)于LSBMR，最多只改變兩個(gè)像素中的一像素值為1，且被改變1的可能性是3/4.所以，該算法的均方差為MSELSBMR=0.375.

對(duì)于FEMD算法，信息嵌入方案是像素值改變最小的方案，可以用式(19)計(jì)算其均方差.

對(duì)于本文算法，信息嵌入方案是像素值方差和改變最小的方案，其均方差為

根據(jù)以上典型算法和本文算法的均方差MSE和峰值信噪比PSNR的理論分析計(jì)算式，將這些算法的PSNR比較數(shù)據(jù)列表如表3所示.

表3數(shù)據(jù)表明，本文算法1DMM的PSNR與OPAP相同，但算法比OPAP簡(jiǎn)單、可選嵌入率多得多; 1DMM 的PSNR遠(yuǎn)大于LSBs;當(dāng)a = 2時(shí)，本文算法2DMM的PSNR與LSBMR一樣，但LSBMR只有一種嵌入率1bpp.

當(dāng)a =2時(shí)，本文算法的PSNR大于EMD.

對(duì)于FEMD和本文算法，當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，對(duì)于任一信息只有一種像素值修改方案，PSNR相同;由推理1知，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，對(duì)某些信息可提供多種像素值修改方案，可以取得更小的像素值修改量.表3的理論計(jì)算數(shù)據(jù)表明，當(dāng)a = 2，本文算法4DMM的載密圖像質(zhì)量明顯優(yōu)于FEMD，PSNR比FEMD高出0.1848dB;當(dāng)n＞2，a＞2，且a為偶數(shù)時(shí)，本文算法的載密圖像質(zhì)量?jī)?yōu)于FEMD.

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

已通過大量實(shí)驗(yàn)證明本文算法的有效性和可行性，限于篇幅，在此僅給出代表性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.本次實(shí)驗(yàn)采用Matlab2012b平臺(tái)，實(shí)驗(yàn)圖像選用大小都是512 ×512的Lena，Airplane，Peppers和Baboon的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像，如圖3所示; an進(jìn)制秘密信息是由Lorenz混沌序列處理得到的隨機(jī)an進(jìn)制信息，信息嵌入像素位置由Lorenz混沌序列隨機(jī)確定，隨機(jī)選擇安全系數(shù)c的有序隨機(jī)整數(shù)序列也由Lorenz混沌序列處理得到.為使實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)便有效，安全系數(shù)c按每次嵌入操作在［0，an- 1］內(nèi)隨機(jī)選擇.

表3　本文算法與LSBs，OPAP，LSBMR，EMD，F(xiàn)EMD的PSNR比較

4.1本文算法實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)，an進(jìn)制隨機(jī)信息嵌滿載體圖像的所有像素;從載密圖像提取的an進(jìn)制隨機(jī)信息與嵌入時(shí)的an進(jìn)制隨機(jī)信息完全一致.

n維超立方體模映射隱寫算法在不同模an下的嵌入率和載密圖像視覺質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示.由表4中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，算法可以提供精細(xì)大范圍的嵌入率選擇，且載密圖像可以達(dá)到比較好的圖像質(zhì)量，當(dāng)a為偶數(shù)且n較大時(shí)，可獲得更好的視覺質(zhì)量;不同類型圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常一致，也與表3的理論分析計(jì)算結(jié)果很一致，這就證明了本文算法適合不同類型的載體圖像，以及本文算法的載密圖像均方差分析是正確的.

隨著n的增加，可以減少嵌入操作次數(shù)，但時(shí)間復(fù)雜度卻以an增長(zhǎng).一般建議采用2DMM和4DMM，如嵌入率小或采用并行算法，則可采用8DMM.采用8DMM算法，嵌入率為1bpp時(shí)，像素均方差MSE為0.3472，PSNR可達(dá)52.7254dB.

當(dāng)嵌入率Payload = 3bpp時(shí)，PSNR大于理想值39dB.當(dāng)嵌入率Payload =4 bpp時(shí)，PSNR近似35dB，一維模映射隱寫算法1DMM各實(shí)驗(yàn)載密圖像的視覺質(zhì)量如圖4所示.與圖3的原圖像相比，無任何失真現(xiàn)象，仍保持良好的圖像視覺質(zhì)量.

4.2與EMD等典型算法比較實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)在載體圖像(Lena)、秘密信息、嵌入位置等同等實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行各種算法的實(shí)驗(yàn)仿真比較.EMD算法在n = 2時(shí)取得算法的最大理論嵌入率為1.16bpp，本實(shí)驗(yàn)用2位五進(jìn)制信息表示4位二進(jìn)制信息，即實(shí)際嵌入率為1bpp.本次實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目安排及實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示.表5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與表3的理論分析計(jì)算結(jié)果一致，由此證明這些算法的載密圖像均方差分析是正確的.

表4　不同an值的嵌入率和圖像質(zhì)量

續(xù)表4

表5　典型算法和本文算法的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5　結(jié)束語

理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的nDMM算法與眾多的隱寫算法相比，具有如下重要特點(diǎn):

(1)nDMM算法增加或提高了參數(shù)取值的密鑰空間，可以更有效抵御隱寫分析和非法提取秘密信息.

(2)nDMM算法完全可以替代LSB、LSBs、LSBM和LSBMR等基于LSB的隱寫算法，以及這些算法在其它隱寫算法中的應(yīng)用［10～12］，并大幅度提高這些隱寫算法的“失真-嵌入量(PSNR，嵌入率)”性能和安全性.

(3)nDMM算法與EMD及基于EMD的隱寫算法相比，“失真-嵌入量”性能更進(jìn)一步接近理論值，更好的安全性;當(dāng)a = 2k時(shí)，避免了信息數(shù)制轉(zhuǎn)換中的數(shù)據(jù)冗余問題;具有更好的應(yīng)用靈活性與方便性，可以象基于LSB的算法的應(yīng)用［10～12］和文獻(xiàn)［22］的隱寫方案一樣，靈活方便地結(jié)合像素差、像素邊緣匹配和圖像局部復(fù)雜度等自適應(yīng)隱寫算法思想研究新的高性能自適應(yīng)隱寫算法;特別適合基于塊的自適應(yīng)隱寫算法的應(yīng)用，這不僅提高嵌入效率，而且提高載密圖像視覺質(zhì)量.

(4)選擇大的參數(shù)n且a為偶數(shù)時(shí)，可以得到更好的載密圖像視覺質(zhì)量.

(5)根據(jù)瞿治國(guó)博士等人［18］和張新鵬教授等人［19］的研究成果，以及基于LSB的算法在頻域中的應(yīng)用［7～9，12］，nDMM算法同樣適合DCT和DWT頻域信息隱藏和其他媒體的信息隱藏.

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廖琪男男，1964年4月出生，廣西鐘山人，教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理、數(shù)字圖像加密、信息隱藏.

E-mail: lqner@163.com

Secure Steganography by n-Dimensional Hypercube Modulo Mapping

LIAO Qi-nan1，SUN Xian-bo2，PAN Rui-dong3
(1.Department of Computer Science，Guangxi University of Finance＆Economics，Nanning，Guangxi 530003，China; 2.Department of Applied Mathematics，Guangxi University of Finance＆Economics，Nanning，Guangxi 530003，China; 3.Experimental Center，Guangxi University of Finance＆Economics，Nanning，Guangxi 530003，China)

Abstract:In order to solve the problems existing in steganography based on modular function，this paper presents ndimensional hypercube modulo mapping steganographic algorithm.According to modular arithmetic properties，the algorithm defines an n-dimensional modular function which n pixels values are mapped to a data in an-ary notational system，thus the algorithm realizes that each secret digit in an-ary notational system is carried by n cover pixels.The algorithm can get different rates of embedding and visual quality of stego image when we choose different parameter a，and can get better visual quality of stego image when a is even number and we choose bigger parameter n.Theoretical analysis and experimental results show that the proposed algorithm，by comparing with many steganography，not only has the function of these algorithms，but also has a better visual quality of stego image，better security，and stronger practicability.

Key words:digital image; modular function; remainder cycle; steganography

作者簡(jiǎn)介

基金項(xiàng)目:廣西高?？蒲许?xiàng)目(No.YB2014342)

收稿日期:2014-07-17;修回日期: 2015-05-10;責(zé)任編輯:李勇鋒

DOI:電子學(xué)報(bào)URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.024

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：0372-2112(2016)01-0160-08