張　俊，羅大庸，孫妙平

(1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410075; 2.湖南現(xiàn)代物流職業(yè)學(xué)院，湖南長沙410131)

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一種基于時滯區(qū)間不均分方法的變時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的新穩(wěn)定性條件

張俊1，2，羅大庸1，孫妙平1

(1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410075; 2.湖南現(xiàn)代物流職業(yè)學(xué)院，湖南長沙410131)

摘要：針對一種變時延線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，采用時滯區(qū)間不均分法，將時滯分割成m個區(qū)間.在每個區(qū)間都構(gòu)建不同的Lyapunov-Krasovskii泛函，并引入三重積分項，同時結(jié)合自由權(quán)矩陣法，在各自的時滯區(qū)間上采用保守性小的積分不等式來處理泛函導(dǎo)數(shù)，進而獲得了保證網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的一種新的穩(wěn)定性條件.并且，最后通過相應(yīng)的數(shù)值算例驗證了本文中的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：變時延;網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng); Lyapunov-Krasovskii泛函;穩(wěn)定性

1　引言

眾所周知，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)將網(wǎng)絡(luò)引入控制系統(tǒng)后，在物理空間上大大提高了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的靈活性.但同時，控制與通信的相互作用帶來了因網(wǎng)絡(luò)時延造成的不利問題，使得NCS的分析和設(shè)計變得復(fù)雜.一旦網(wǎng)絡(luò)時延過長或無法測量，極有可能造成系統(tǒng)失穩(wěn).因此，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時延穩(wěn)定性判據(jù)是大家一直以來研究的一個熱點問題.

對于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在的時延，一般分為固定時延控制、隨機時延控制等.固定時延的方法通常是通過在接收端設(shè)置緩存區(qū)，人為地把所有隨機時延變成了固定的最大時延參數(shù);也有一些方法利用隨機控制法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，但前提是要求網(wǎng)絡(luò)時延能夠滿足一定的分布特性，可以對其進行回歸建模預(yù)測［1］，這點在實際應(yīng)用中難以獲取.關(guān)于隨機時延的處理，時滯分割法、自由權(quán)矩陣法和積分不等式等方法應(yīng)用很廣泛，通過建立Lyapunov-Krasovskii泛函，并結(jié)合線性矩陣不等式(LMI)［2，3］等方法或者凸優(yōu)化方法設(shè)計滿足性能指標(biāo)的控制器，得到系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù).

很多前人的研究結(jié)論都是構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函，主要是采用一定的一重積分或二重積分，導(dǎo)致所得結(jié)論的保守性.自從何、吳［4～7］和劉［8］引入自由權(quán)矩陣的方法，避免了對系統(tǒng)進行模型變換，也無須設(shè)定交叉項，降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性.Zhang等［9］構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函時，對一部分的積分項沒有進行分段處理，同時在推導(dǎo)過程中放大了時延參數(shù)δ.Zhu［10］、Park［11］、Zeng［12］、Pavlovi＇c G［13］、Han［14］和Sun［15］等將積分不等式方法引入到網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，并做了一定程度上的放大，進而得到不同保守性的結(jié)果.Wu［16］和Balasubramaniam P［17］研究了時滯分割法，但是分解數(shù)目增加造成決策變量太多.Wang等［18］又提出了一種新的時滯分割方法，形式簡單，含矩陣變量少，有利于降低系統(tǒng)的保守性.

在實際過程中，大部分的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)都不同程度地存在網(wǎng)絡(luò)時延.一般而言時延是時變的，但是它又存在一定的變化范圍.綜合考慮到上述因素，本文設(shè)計了一種時滯不均勻分段的方法，在不同的分割區(qū)間分別構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，并且引入了三重積分和自由權(quán)矩陣等方法，結(jié)合積分不等式、Schur補等公式，得到了時滯相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)，更有利于降低結(jié)論的保守性.

2　變時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析

2.1問題描述

下面，考慮具有時變的NCS系統(tǒng)狀態(tài)方程，表示為

其中，x(t)∈n為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，y(t)是系統(tǒng)的輸出向量，A0∈n×n，A1∈n×n，C∈n×n是系統(tǒng)的常數(shù)矩陣，τ(t)是系統(tǒng)時變網(wǎng)絡(luò)時延且存在變化范圍.

首先，令0＜τ(t)＜h.在這里，先把時滯區(qū)間分為m個時滯子區(qū)間，即有，m為正整數(shù)，且有hj -1＜hj，h0= 0，δj= hj- hj -1(j = 1，…，m).同時令，對于t＞0，有l(wèi)∈{ 1，…，m}，滿足τ(t)∈［hl -1hl］.

在進行穩(wěn)定性證明之前，先給出下面需要使用的有關(guān)引理.

引理1假設(shè)存在一定維數(shù)的正定對稱矩陣h和某一常數(shù)α＞0，滿足下面不等式成立

引理2對于任意定常對稱矩陣X∈n×n，且X＞0，若有h＞0和向量函數(shù)x(t)∈n，滿足下面積分不等式［19］，即

2.2穩(wěn)定性分析

定理1對系統(tǒng)(1)來說，假設(shè)存在一定維數(shù)的正定矩陣P，Qj，Mj，Nj，Zi，Zl(i = 1，…，l; j = 1，…，m)，且有一定維數(shù)的矩陣H1，H2，G1，G2，若能滿足下面式(2)和(3)的矩陣不等式組成立，則保證系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.

其中，

矩陣不等式中標(biāo)示“*”的部分代表了矩陣中的對稱元.

注：隨著時滯區(qū)間分段數(shù)m的增加，所得到的最大允許時滯上界增大，降低了所得結(jié)論的保守性，但是同時也會增加了上述矩陣不等式的維數(shù)，造成計算量增大.基于保守性問題和矩陣不等式維數(shù)的考慮，需要權(quán)衡兩者，折中考慮m的數(shù)值大小.

下面開始進行系統(tǒng)穩(wěn)定性證明.

證明構(gòu)造以下Lyapunov-Krasovskii泛函，具體如式(4)所示.

其中，

這里，P，Qj，Mj，Nj，Zi，Zl為待定的正定對稱矩陣，(i = 1，…，l; j =1，…，m).

注：文獻［9］對構(gòu)造的L-K泛函中的一重積分和二重積分，利用時滯分段方法降低了所得結(jié)論的保守性，文獻［4～7］采用自由權(quán)矩陣方法，一定程度上也有利于降低系統(tǒng)的保守性.本節(jié)中建立的L-K泛函與文獻［9］不同，對所有的積分項進行了分段處理，同時又適當(dāng)?shù)匾肓俗杂蓹?quán)矩陣，并且還加入了三重積分項，進一步降低系統(tǒng)的保守性.

將Vi(t)(i =1，…，5)分別沿著時間t取導(dǎo)數(shù)，計算得到

根據(jù)引理1和引理2，分別有

另外，令存在一定維數(shù)的矩陣，根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，存在表達式(12)和(13)

根據(jù)式(14)，對于l =1，2，…，m，如有Λ1＜0，Λ2＜0，則存在充分小的ε，有，由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.Λ1和Λ2見定理1中定義.

2.3數(shù)值算例

下面將通過數(shù)值算例來驗證本節(jié)中提出的方法以及和其他已有結(jié)論的對比.

例1考慮如下參數(shù)的線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

為了方便比較，令δ1=δ2=…=δm.

Case1：當(dāng)μ和m選擇不同數(shù)值的時候，利用定理1得到最大允許時滯上界和已有一些文獻的結(jié)論都列在表1中.

表1　保證系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的最大允許時滯上界

從表1中可以看出，當(dāng)μ為不同數(shù)值時，利用本文定理1得到的最大網(wǎng)絡(luò)時延最大值和表1中已有文獻的結(jié)果均都列表其中.文獻［9］在構(gòu)造了L-K泛函中，對其中的一項沒有進行時滯區(qū)間時，人為地將d(t)-(k - 1)δ和kδ- d(t)分別擴大為δ.在文獻［12］中，構(gòu)造的L-K泛函對時滯區(qū)間進行了分區(qū)處理，并且引入了自由權(quán)矩陣來降低系統(tǒng)的保守性.文獻［13］根據(jù)Razumikhin定理研究了隨機時延問題，沒有對積分區(qū)間細(xì)化處理.文獻［14，15］在L-K泛函中引入了積分不等式，并進一步在形式上進行不同程度的擴不均分處理，并且當(dāng)大，都只是對整個時延區(qū)間進行積分.綜合前面文獻，本文構(gòu)造的L-K泛函中所有項都分別時滯區(qū)間不均分處理，而且在每個時滯區(qū)間都引入三重積分，同時又在網(wǎng)絡(luò)時延τk(t)所在時滯區(qū)間增加了自由權(quán)矩陣.相比于前面文獻中提出的方法來說，本文更加細(xì)化處理了L-K泛函的每個子項，進一步降低系統(tǒng)的保守性.根據(jù)表1中的結(jié)果可以看出，當(dāng)μ變大的過程中，網(wǎng)絡(luò)時延的上限值隨之變小.表1中，當(dāng)m = 2，隨著μ從0變?yōu)?，本文中的結(jié)果從5.821s降低為2.109s，數(shù)值上比文獻［12，14］的結(jié)果要大一些.另外，采用了時滯區(qū)間不均分處理，如果分區(qū)數(shù)量越大，則網(wǎng)絡(luò)實驗的上限值也變大，就本文中提出的方法，當(dāng)m = 5，網(wǎng)絡(luò)時延上限值分別為6.025s(當(dāng)μ= 0)、4.657s(當(dāng)μ= 1)，相對比m =2和m =3的網(wǎng)絡(luò)時延參數(shù)對應(yīng)增大.由此可見，本文中提出的方法增大了系統(tǒng)的最大網(wǎng)絡(luò)時滯的上界范圍，保守性進一步降低.而且時滯區(qū)間細(xì)分?jǐn)?shù)量越大，越有利于降低系統(tǒng)的保守性.

Case2：當(dāng)m = 2，分別對μ1和μ2取不同數(shù)值的時候，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界，都列表在表2中.

表2　μ1和μ2取不同數(shù)值時保證系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的最大允許時滯上界

算例中以2變量的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)為例，因此每個變量產(chǎn)生的網(wǎng)絡(luò)時延不同，時延的變化率也不同，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)時延的上限值也發(fā)生變化.從表2的結(jié)果來看，當(dāng)μ1=μ2=0時，網(wǎng)絡(luò)時延上限值為5.821s，當(dāng)μ1和μ2都變大至1，網(wǎng)絡(luò)時延上限值變?yōu)?.109s.而且從表2中看到，無論是μ1還是μ2，只要任何一個參數(shù)變大，都會造成網(wǎng)絡(luò)時延變短.

3　結(jié)論

本文以一類變時延線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)為對象，基于時滯不均分法，研究其穩(wěn)定性問題.在構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函時，將時滯區(qū)間分割為若干個子區(qū)間，并分別在不同的時滯分割區(qū)間引入了三重積分項，并且增加自由權(quán)矩陣用來，細(xì)化處理不同子區(qū)間的泛函導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的交叉項，有利于降低系統(tǒng)的保守性，獲得了新的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù).而且，時滯區(qū)間分割數(shù)越多，系統(tǒng)的保守性越低，最后通過數(shù)值算例驗證了該方法的有效性.

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張俊女，1978年9月生于湖南吉首市，副教授，現(xiàn)為中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院博士生，主要從事網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)、智能控制等方面的研究.

E-mail: linecon78@163.com

羅大庸男，1944年10月生于湖南長沙市，教授，博士生導(dǎo)師.1962年畢業(yè)于中南礦冶學(xué)院控制系，其后在中南大學(xué)任教，主要從事控制理論與控制工程，信息融合技術(shù)、綜合自動化等方面的研究.

E-mail: dyluo@ mail.csu.edu.cn

A New Stability Condition for Networked Control System with Time-Varying Delay Based on Time Delay Uneven-Partitioning Approach

ZHANG Jun1，2，LUO Da-yong1，SUN Miao-ping1
(1.School of Information Science and Engineering，Central South University，Changsha，Hunan 410075，China; 2.Hunan Modern Logistics Occupation Technical College，Changsha，Hunan 410131，China)

Abstract:Aimed to a type of networked control system with time-varying delay，it divided the time area into m sections unevenly.Then，it made each different Lyapunov-Krasovskii functional by taking triple integral and combined with freeweighting matrices，used less conservative integral inequality to tackle the derivative of Lyapunov-Krasovskii functional.Furthermore，it got a new stability condition for time-varying delay of networked control system.Finally，numerical example was given to prove the result in this paper.

Key words:time-varying delay; networked control system; Lyapunov-Krasovskii functional; stability

作者簡介

基金項目:國家青年科學(xué)基金(No.61403425);湖南省科技廳課題(No.2013GK3137);湖南省教育廳課題(No.14C0814)

收稿日期:2015-04-03;修回日期: 2015-07-29;責(zé)任編輯:孫瑤

DOI:電子學(xué)報URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.009

中圖分類號：TP13

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：0372-2112(2016)01-0054-06