吳 平(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

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某類系統(tǒng)譜的上界

吳 平
(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

摘 要：根據(jù)Rayleigh定理、分部積分和不等式估計(jì)等方法，得到系統(tǒng)譜(特征值)的上界的不等式，其結(jié)果在數(shù)學(xué)、物理和力學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的理論研究和應(yīng)用價(jià)值.

關(guān)鍵詞：某類系統(tǒng)；譜；上界；不等式

其中μ1，μ2是正實(shí)數(shù).由相關(guān)方程理論知，問(wèn)題(1)的譜是離散的，且都是正實(shí)數(shù).設(shè)

問(wèn)題(1)可寫(xiě)成如下矩陣形式

設(shè)問(wèn)題(3)的特征值為0≤λ1≤λ2≤…≤λn≤…，與之對(duì)應(yīng)的帶權(quán)s(x)正交規(guī)范特征向量為u1，u2，…， un，…，滿足

由式(2)和式(4)得

根據(jù)分部積分得

假設(shè)

式中：

顯然，φik與uj帶權(quán)s(x)正交(i，j=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，且滿足

根據(jù)Rayleigh定理，得到如下不等式

計(jì)算得

假設(shè)

由式(9)得

根據(jù)式(7)和式(10)有

1 引理

引理1 設(shè)ui是問(wèn)題(3)對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，則

證明 根據(jù)分部積分、Schwartz不等式、式(5)和式(6)得

同理可得

由式(13)和式(14)得

引理2 設(shè)λ1，λ2，…，λn是問(wèn)題(3)的n個(gè)特征值，則

證明 由恒等式和分部積分法得

由式(15)有

因?yàn)?/p>

由分部積分得

根據(jù)式(19)、式(20)、式(21)、式(5)和分部積分，有

引理3 對(duì)于φik和λi(i=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，有

證明 根據(jù)φik的定義，有

顯然

根據(jù)Schwartz不等式和引理1有

2 主要結(jié)果

定理1 若λi(i=1，2，…，n+1)是問(wèn)題(3)的特征值，則

證明 根據(jù)引理3、式(12)和引理2，可得定理1的1)，在定理1的1)式右端用λn代換λi，可得定理1的2).

定理2 當(dāng)n≥1，則有

證明 設(shè)參數(shù)σ>λn，由式(11)得

根據(jù)式(23)和Young不等式得

其中δ>0為待定常數(shù).

為了使式(27)式右端的值達(dá)到最小，取

將式(28)代入式(27)有

根據(jù)引理2、式(26)和式(29)得

其中σ>λn，選擇σ使式(30)右端等于0，即

假設(shè)

可得，函數(shù)f(σ)在(λn，+∞)內(nèi)單調(diào)減少且連續(xù)，其值域?yàn)?0，+∞)，所以，存在唯一的σ使式(31)成立.由式(30)知σ≥λn+1，用λn+1來(lái)代替式(31)中σ，即得定理2.

3 結(jié)論

根據(jù)Rayleigh定理、分部積分和不等式估計(jì)等方法，得到了系統(tǒng)譜(特征值)的上界的不等式，其結(jié)果在數(shù)學(xué)、物理和力學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的理論研究和應(yīng)用價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳平. 一類偏微分方程特征值的上界估計(jì)[J]. 寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，16(2)：36-39.

[2] 吳平. 某類系統(tǒng)特征值的帶權(quán)估計(jì)[J]. 商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，11(5)：27-30.

[3] 吳平. 一類偏微分系統(tǒng)譜的上界估計(jì)[J]. 寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，18(1)：94-97.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

引文格式： 吳平.某類系統(tǒng)譜的上界[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，27(2)：56-60.

中圖分類號(hào)：O175.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-5475(2016)02-0056-05

DOI：10.16219/j.cnki.szxbzk.2016.02.014

收稿日期：2015-12-08；修回日期：2016-01-07

作者簡(jiǎn)介：吳 平(1962-)，男，江蘇蘇州人，副教授，主要從事方程的特征值研究.

Upper Bound for Spectrum of A System

WU Ping
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Abstract：This paper considers estimates for spectrum of a system. The inequality of the upper bound of the spectrum is obtained by using integral， Reyleigh theorem and inequality estimation. The result is widely used in maths physics and mechanics.

Key words：a system；spectrum；upper bound；inequality