宋 燕, 張庭婷, 姜 威

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州　121000)

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基于脈沖控制的害蟲(chóng)管理模型

宋 燕, 張庭婷, 姜 威

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州121000)

摘要：基于噴灑殺蟲(chóng)劑及投放病蟲(chóng)的綜合控制害蟲(chóng)策略， 建立了具有脈沖控制的微分方程模型. 利用脈沖微分方程的Floquet定理、 比較定理， 證明了害蟲(chóng)滅絕周期解的全局漸近穩(wěn)定性與系統(tǒng)的持久性， 并利用分支理論給出了正周期解存在的分支參數(shù).

關(guān)鍵詞：脈沖控制； 害蟲(chóng)滅絕； 全局漸近穩(wěn)定； 持久性； 正周期解

0引言

傳統(tǒng)的害蟲(chóng)防治策略是噴灑農(nóng)藥， 該方法不僅操作簡(jiǎn)單而且見(jiàn)效快， 特別是在害蟲(chóng)猖獗的時(shí)候， 各種化學(xué)及生物農(nóng)藥可以迅速殺死大量的害蟲(chóng).但是由于化學(xué)農(nóng)藥的不合理、 過(guò)量使用， 病蟲(chóng)害產(chǎn)生抗藥性， 導(dǎo)致農(nóng)藥殘留量大、 環(huán)境污染嚴(yán)重、 人畜中毒現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生， 嚴(yán)重危害了人們的生活.為了減少農(nóng)藥對(duì)人類造成的危害， 人們開(kāi)始采取強(qiáng)制防治措施.近年來(lái)， 文獻(xiàn)[1-5]研究了在噴灑殺蟲(chóng)劑的同時(shí)投放染病的害蟲(chóng)或投放天敵來(lái)控制害蟲(chóng)， 取得了許多好的結(jié)果.本文基于噴灑殺蟲(chóng)劑及投放病蟲(chóng)的綜合控制害蟲(chóng)策略， 建立了具有脈沖控制的微分方程模型， 利用脈沖微分方程的Floquet定理、 比較定理， 證明了害蟲(chóng)滅絕周期解的全局漸近穩(wěn)定性與系統(tǒng)的持久性， 并利用分支定理給出了正周期解存在的分支參數(shù).

1模型的建立及預(yù)備知識(shí)

將害蟲(chóng)分為易感類S， 染病類I， 設(shè)t時(shí)刻總害蟲(chóng)數(shù)量為N(t)， 易感類數(shù)量為S(t)， 病蟲(chóng)數(shù)量為I(t)， N(t)=S(t)+I(t).本文假設(shè)：

1) 沒(méi)有染病時(shí)， 害蟲(chóng)種群按Logistic規(guī)律增長(zhǎng)， 病蟲(chóng)沒(méi)有生育能力， 而且不能危害農(nóng)作物；

2) 每只病蟲(chóng)對(duì)易感類害蟲(chóng)都具有傳染力， 傳染系數(shù)為β；

3) 在時(shí)刻t=nτ(n=1, 2, 3, …)噴灑殺蟲(chóng)劑和投放病蟲(chóng)同時(shí)進(jìn)行， 設(shè)殺蟲(chóng)劑對(duì)易感類害蟲(chóng)及病蟲(chóng)的殺死率分別為p1與p2， 0≤p1, p2<1， 每次投放病蟲(chóng)的數(shù)量為μ.

考慮如下具有脈沖控制的害蟲(chóng)管理模型

(1)

其中： r>0是易感類害蟲(chóng)的內(nèi)稟增長(zhǎng)率； K>0是環(huán)境容納量； 0<θ<1； ω為病蟲(chóng)的死亡率； τ為脈沖周期.

引理1設(shè)X(t)=(S(t), I(t))是系統(tǒng)(1)的解， 并且滿足初始條件X(0+)≥0， 則對(duì)所有的t≥0， 都有X(t)≥0； 若X(0+)>0， 則對(duì)所有的t≥0， 都有X(t)>0.

引理2設(shè)函數(shù)m(t)∈PC′[R+, R]滿足下列不等式

其中： p(t), q(t)∈PC′[R+, R]且dk≥0， bk是常數(shù)， 則

引理3系統(tǒng)(1)的所有正解是一致最終有界的， 即存在M>0， 使得對(duì)充分大的t， 有S(t)≤M, I(t)≤M.

證明令V(t)=S(t)+I(t)， 則當(dāng)t≠nτ時(shí)， 有

V(nτ+)=S(nτ+)+I(nτ+)=(1-p1)S(nτ)+(1-p2)I(nτ)+μ≤V(nτ)+μ

于是由引理2知

所以V(t)是一致最終有界的， 從而存在常數(shù)M>0， 使得當(dāng)t充分大時(shí)， 有S(t)≤M, I(t)≤M.

引理4考慮系統(tǒng)

(2)

其中： b, μ>0, 0<θ<1， 則系統(tǒng)(2)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解

證明由計(jì)算知， 系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程的解為

w(t)=w((n-1)τ+)exp(-b(t-(n-1)τ))((n-1)τ

于是w(nτ)=w((n-1)τ+)exp(-bτ)， 由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程可得頻閃映射

w(nτ+)=(1-θ)w((n-1)τ+)exp(-bτ)+μ

該映射存在唯一不動(dòng)點(diǎn)

且易知該不動(dòng)點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的， 于是系統(tǒng)(2)存在全局漸近穩(wěn)定的正周期解

2害蟲(chóng)滅絕周期解的存在性及穩(wěn)定性

證明當(dāng)S(t)=0時(shí)， 得到系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)

(3)

由引理4知， 系統(tǒng)(3)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解

易知其基解矩陣為:

在下面的計(jì)算中沒(méi)有用到*， 所以沒(méi)有必要給出其確切的表達(dá)式. 相應(yīng)地， 系統(tǒng)(1)的脈沖條件為

于是系統(tǒng)(1)的單值矩陣為:

這時(shí)有ξ.

(4)

由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程知， 當(dāng)t>N1τ時(shí)，

對(duì)第一個(gè)方程在區(qū)間((n-1)τ,nτ](n>N1+1)上積分得

于是有S(nτ)≤S(0+)·ξn→0(n→∞).又當(dāng)t∈((n-1)τ,nτ]時(shí)，

(5)

由引理4知， 系統(tǒng)(5)有全局漸近穩(wěn)定的正周期解

由上面的討論知， 系統(tǒng)(1)的害蟲(chóng)滅絕周期解是全局吸引的， 從而是全局漸近穩(wěn)定的.

3系統(tǒng)的一致持續(xù)性

證明已知存在M>0， 使S(t)≤M,I(t)≤M.下面證明： 存在m>0, 使得當(dāng)t充分大時(shí)， 有S(t)≥m,I(t)≥m.

下面證明存在t1>0， 使得S(t1)≥m*. 否則對(duì)?t>0， 有S(t)

(6)

考慮脈沖微分方程

(7)

由引理4知系統(tǒng)(7)有全局漸近穩(wěn)定的正周期解

由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程知， 當(dāng)t充分大時(shí)， 有

(8)

在區(qū)間((n-1)τ, nτ]上積分得

由前面條件知，η于是S(nτ)≥S(0+)·ηn→∞(n→∞)， 這與S(t)有界相矛盾， 故存在t1>0， 使得S(t1)≥m*.

S((n1+1+n2)τ)≥S((n1+1)τ)·ηn2

當(dāng)t∈(t*, (n1+1)τ]時(shí)，

(9)

在(t*, (n1+1)τ]上積分得

于是

取m=min{m1,m2}， 則當(dāng)t充分大時(shí)， 有S(t)≥m,I(t)≥m.

4正周期解的存在性

證明為了與文[6]中定理的符號(hào)一致， 令x1(t)=I(t)，x2(t)=S(t)， 則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

經(jīng)計(jì)算得

=1-(1-p2)exp(-ωτ0)>0

從而f(τ0)>0， 因此B<0， 即BC<0.利用分支定理， 在點(diǎn)τ0處， 系統(tǒng)(1)發(fā)生了超臨界分支， 即當(dāng)τ>τ0， 并且在τ0附近， 系統(tǒng)(1)存在一個(gè)正周期解.

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(責(zé)任編輯： 林曉)

The pest management model with impulsive control

SONG Yan， ZHANG Tingting， JIANG Wei

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou， Liaoning 121000， China)

Abstract:Based on the integrated control strategy with spraying pesticides and releasing infective pests to control pests, we establish a model of differential equations with impulsive control. Using the Floquet Theorem of impulsive differential equations and the Comparison Theorem, the globally asymptotical stability of the periodic solution of susceptible pest eradication and the permanence of the system are proven, and using bifurcation theory the bifurcation parameter for existence of the positive periodic solution is given.

Keywords:impulsive control; pest eradication; globally asymptotical stability; permanence; positive periodic solution

中圖分類號(hào)：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61070242); 遼寧省教育廳基金資助項(xiàng)目(L2012404)

通訊作者:宋燕(1962-), 教授, 主要從事常微分方程定性理論及非線性生物動(dòng)力系統(tǒng)研究， jzsongyan@163.com

收稿日期:2013-07-17

文章編號(hào)：1000-2243(2016)02-0156-07

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.02.0156