牟 萍，楊勝發(fā)，童思陳

(重慶交通大學 國家內河航道整治工程技術研究中心，重慶 400074)

基于Morlet小波分析的嘉陵江流域年徑流周期研究

牟 萍，楊勝發(fā)，童思陳

(重慶交通大學 國家內河航道整治工程技術研究中心，重慶 400074)

為揭示嘉陵江流域年徑流序列的周期變化特征，基于嘉陵江北碚站共計59年(1954—2012年)的實測徑流資料，采用Morlet小波函數(shù)對其年徑流序列進行了多時間尺度變化特性分析。結果表明:北碚站年徑流存在4，14，44年左右尺度的周期變化特征，其中44年尺度的周期包括2個豐-枯變化過程，其小波系數(shù)對應著最大峰值，為流域年徑流變化的第1主周期；14年尺度的周期包括6個豐-枯交替循環(huán)變化過程，其小波系數(shù)對應的峰值次之，為第2主周期；與第1、第2主周期相比，4年尺度的變化峰值很小，屬于小波動，即嘉陵江流域年徑流在整個統(tǒng)計時間域內的變化由第1、第2主周期控制。

水利工程；年徑流；Morlet 小波；小波方差

徑流的形成過程受多種因素的綜合影響，如大氣環(huán)流、下墊面條件、人類活動等，既有確定性因素，又有偶然因素，因此徑流序列的變化十分復雜，常常表現(xiàn)出不確定性、非平穩(wěn)性和非線性的特征[1]。然而，在某一特定的相對長的歷史時期，大氣環(huán)流是影響年徑流多年變化的主要因素，而大氣環(huán)流受太陽活動的制約，研究表明太陽活動具有一定的循環(huán)周期，因此年徑流的多年變化也可能存在隱含的近似周期[2]。

小波分析是一種信號的時間尺度分析方法，在時域和頻域上均具有良好的局部化特征和多分辨功能[3]，被廣泛用于水文時間序列的周期性和趨勢性分析[4]。Morlet小波是小波函數(shù)的一種，已有學者[5-10]用其研究水文時間序列的周期性和趨勢性。

嘉陵江是長江上游的一級支流，嘉陵江流域的年徑流豐枯變化對長江年徑流有重要的影響，基于嘉陵江流域年徑流周期性特征的研究，對了解長江流域年徑流特征，合理規(guī)劃長江流域水資源利用方案，降低洪水災害風險具有重要意義。侯保儉等[11]對嘉陵江徑流的趨勢進行了研究，為揭示嘉陵江流域年徑流序列的周期性特征，筆者采用Morlet小波變換法對北碚站年徑流的周期進行了分析。

1 基本資料

嘉陵江是長江上游的主要支流之一，發(fā)源于秦嶺北麓的寶雞市鳳縣，流經陜西、甘肅、四川、重慶四省(直轄市)，在重慶主城區(qū)匯入長江，全長1 120 km，流域面積近16萬km2，是長江支流中流域面積最大，長度僅次于漢江，流量僅次于岷江的河流。嘉陵江流域徑流量的豐、枯變化對長江上游的徑流，尤其是寸灘站徑流特征有較大影響。三峽水庫蓄水后，嘉陵江流域的來水來沙直接影響三峽水庫的入庫水沙條件。

北碚水文站位于重慶市北碚區(qū)，該站建于1939年，距河口里程約54.6 km，為嘉陵江流域出口控制站，控制嘉陵江15.67萬km2的廣大地區(qū)，約占嘉陵江流域面積的98%。筆者收集了北碚站1954—2012年的實測共計59年的年徑流序列資料，如圖1。

圖1 北碚站年徑流序列(1954—2012年)Fig.1 Annual runoff series from 1954 to 2012 at Beibei gauging station

由于觀測、測量技術的限制，有記錄的實測年徑流系列是有限的，在年徑流序列兩端很可能會產生“邊界效應”，為減小這種邊界效應，目前在小波分析中最常用的處理方法是在其兩端數(shù)據(jù)進行對稱延伸[7]。筆者采用對稱延伸，即在北碚站年徑流數(shù)據(jù)的兩端分別對其對稱性延伸1倍長度，借助MATLAB小波工具箱信號延伸(Signal Extension)功能來實現(xiàn)。

為減少水利工程建設、城市化進程[12]等人類活動對年徑流序列的影響，對年徑流序列進行標準化處理，如式(1)。

(1)

2 Morlet小波分析

常用的小波函數(shù)有Morlet小波、Harr小波和MexHat小波[13]，由于徑流演變的過程具有“多時間尺度”的連續(xù)變化特征，筆者借鑒劉素一等[14]的研究成果，選取Morlet小波。它是一種連續(xù)的復數(shù)小波，其變化系數(shù)包括實部、虛部兩個變量，實部表示信號在不同時間位置上的分布和相位信息，用來區(qū)分不同特征的時間尺度信號；小波變換系數(shù)的模反映了特征時間尺度信號的強弱程度[3]。用Morlet小波系數(shù)對年徑流時間序列進行分析時，能夠同時反映年徑流變化的時間尺度和出現(xiàn)變化的時間位置，以及時間尺度信號的強弱[15]。小波分析涉及小波函數(shù)和小波變換兩方面。

2.1 小波函數(shù)

小波函數(shù)指的是具有震蕩特性，在有限的區(qū)域內能夠迅速衰減到0的一類函數(shù)ψ(t)[5]:

(2)

ψ(t)也稱為基小波，其伸縮和平移構成一簇函數(shù)系：

(3)

式中：ψa,b(t)為子小波；a為尺度因子，反映了小波的周期長度；b為時間因子，反映了在時間上的平移。

2.2 小波變換

對于給定的Morlet小波和水文時間序列f(t)，其連續(xù)小波變換為[5,16]：

(4)

由于在實際應用分析時，連續(xù)序列很難用數(shù)字符號表達，因此經常將連續(xù)的時間序列離散化。水文時間序列亦如此，常取過程狀態(tài)的總量、平均值或極值作為時間序列的值，如降水量、水位、徑流量等[17]。

小波變化的離散形式為[11]：

(5)

顯然，Wf(a,b)隨參數(shù)a和b變化。由于Morlet小波是復數(shù)形式，所以變換后的系數(shù)亦為復數(shù)，取小波系數(shù)的實部，以b為橫坐標，a為縱坐標所作的關于Wf(a,b)的二維等值線圖，即小波系數(shù)實部等值線圖。

在尺度a相同情況下，小波變換系數(shù)隨時間的變化過程反映了水文時間序列在該尺度下的變化特征：小波變換系數(shù)為正時對應于偏多期；小波變換系數(shù)為負時對應于偏少期；小波變換系數(shù)為0對應著由偏少期向偏多期或由偏多期向偏少期的過渡[11]。

根據(jù)C.TORRENCE等[18]導出的關系，Morlet小波尺度a與周期T有如下對應關系：

(6)

式中:c為無維度的頻率，為了滿足Morlet小波函數(shù)的容許性條件，據(jù)C.TOTRENCE等的研究，取c=6。

小波方差[19-20]公式為：

(7)

離散形式為：

(8)

式中:Var(a)為小波方差；N為年徑流系列的長度；Wf(a,xt)為尺度a、時間xt處的小波系數(shù)的平方，對于復系數(shù)則為系數(shù)模的平方。

3 嘉陵江流域年徑流的小波分析

根據(jù)上述小波分析方法對延伸后標準化的年徑流序列進行Morlet小波變換，計算小波系數(shù)Wf(a,b)，保留原年徑流序列時段內的小波系數(shù)。通過小波系數(shù)及小波方差對嘉陵江流域年徑流的周期進行分析和檢驗。

3.1 年徑流周期分析

取小波系數(shù)Wf(a,b)的實部，以年份為橫坐標，時間尺度為縱坐標繪制小波系數(shù)實部等值線圖，為了使小波系數(shù)圖清晰，便于觀察，將小波系數(shù)擴大1 000倍(下同)，如圖2。小波系數(shù)的變化特征可以用來表征年徑流的變化特征。當小波系數(shù)實部為正數(shù)(實線)時，代表年徑流豐水期；小波系數(shù)為負數(shù)(虛線)時，代表年徑流枯水期；小波系數(shù)實部為0時，代表年徑流量由豐水期向枯水期或者由枯水期向豐水期的轉折點。

圖2 北碚站年徑流Morlet小波系數(shù)實部等值線Fig.2 Contour map of real part of annual runoff Morlet wavelet transform coefficients at Beibei gauging station

為了清楚的了解年徑流的變化規(guī)律，用顏色的深淺來表示年徑流量的大小，顏色越深，年徑流量越大；顏色越淺，年徑流量越小(圖2)。可以看出，北碚站年徑流量存在18～64 年、8～17年、3～7年左右的3類時間尺度的演變規(guī)律，其中在18～64年時間尺度上，年徑流經歷了枯→豐→枯→豐→枯→豐6個交替變化過程，且最前枯水期和最后豐水期的等值線未閉合，說明1954年之前可能為枯水期，2012年后可能還存在豐水期；在8～17年時間尺度上存在豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯→豐→枯12個豐枯交替變化過程，并且這兩個尺度的周期變化在整個研究時段表現(xiàn)得比較穩(wěn)定；而3～7年尺度的周期，周期性變化較小。

從位相結構上看，在18～64年時間尺度上，1954—1960年為枯水期，1960—1970年為豐水期，1970—1980年為枯水期，1980—1993年為豐水期，1993—2004年為枯水期，2005—2012年為豐水期，且2005年以后，等值線未閉合，說明2012年以后可能還存在連續(xù)幾年的豐水期。在8～17年時間尺度上，1954—1956年、1963—1968年、1973—1975年、1980—1985年、2009—2012年為豐水期、1989—1993年，1957—1962年、1969—1972年、1976—1979年、1986—1988年、1994—2008年為枯水期。

圖3 北碚站年徑流Morlet小波系數(shù)模等值線Fig.3 Module contour map of annual runoff Morlet wavelet transform coefficients at Beibei gauging station

從圖3可知，在嘉陵江流域徑流演化過程中，18～64年的時間尺度所對應的能力密度最大，中心時間尺度為44年左右，主要發(fā)生在20世紀70年代以后，說明在該時間尺度上周期變化最明顯；8～17年時間尺度所對應的能量密度次之，中心時間尺度為14年左右，主要存在于20世紀70年代—90年代。

3.2 年徑流主周期檢驗

小波方差圖能夠反映年徑流時間序列的波動幅度隨尺度a的分布情況，可用來辨識時間序列中各種尺度的擾動強度程度和周期變化特征[15]，從而確定年徑流演化過程中存在的主周期。

根據(jù)式(8)計算北碚站年徑流序列的小波方差，并以時間尺度a為橫坐標，以小波方差值為縱坐標作小波方差圖(圖4)。

圖4 北碚站年徑流Morlet小波系數(shù)方差Fig.4 Morlet wavelet variance of annual runoff at Beibei gauging station

由圖4可知，小波方差圖中存在3個較為明顯的峰值，依次對應著4，14，44年的時間尺度。其中，44年左右的時間尺度對應著最大峰值，說明44年左右的周期震蕩最強，為流域年徑流變化的第1主周期；14年左右的時間尺度對應著第2大峰值，為流域年徑流變化的第2主周期；4年左右的時間尺度對應著第3峰值，但與第1、第2峰值相比，峰值很小，屬于小波動，可以忽略。嘉陵江流域年徑流在整個時間域內的變化主要由第1、第2主周期控制。

3.3 主周期分析

根據(jù)小波方差檢驗的結果，14年和44年左右的時間尺度為第1主周期和第2主周期，繪制第1、第2主周期所對應的小波系數(shù)實部過程線圖(圖5)。

圖5 北碚站年徑流變化的14，44年時間尺度小波實部Fig.5 Real part of annual runoff wavelet transform coefficients at Beibei gauging station in 14 a and 44 a

從主周期小波系數(shù)實部過程線圖中我們可以分析出在不同的時間尺度下，流域年徑流存在的平均周期和豐、枯變化特征。由圖5可知，在14年特征時間尺度上，流域年徑流變化經歷了由豐到枯的交替循環(huán)變化過程，大約為6個周期，周期T≈10年，與上述由小波系數(shù)實部圖分析的流域年徑流在8～17年時間尺度上存在12個豐枯交替變化的過程一致；而在44年特征時間尺度上，年徑流經歷了約2個周期的豐-枯變化過程，周期T≈30 年。

在44年時間尺度上的第1個枯水期中，包含著14年時間尺度上的2個豐水期和1個枯水期；在44年時間尺度上的第1個豐水期中，包含著14年時間尺度上的1個豐水期和2個枯水期；在44年時間尺度上的第2個枯水期中，包含著2個豐水期和1個枯水期。上述現(xiàn)象驗證了嘉陵江流域年徑流序列存在著多時間尺度特征，且小時間尺度被包含于大時間尺度中，大時間尺度的豐枯結構中嵌套著小時間尺度的豐枯變化規(guī)律。

4 結 語

筆者采用Morlet小波分析法對北碚水文站1954—2012年共計59年的年徑流量序列進行了小波變換，結果表明：北碚站年徑流量存在18～64年、8～17年、3～7年左右的3類時間尺度的演變規(guī)律，其中心分別對應著44年、14年和4年。利用小波方差對其進行檢驗，44年的時間尺度所對應的能量密度最大，為第1主周期；14年的時間尺度所對應的能量密度次之，為第2主周期；4年的時間尺度所對應的能量密度最小，較前兩者可忽略不計。因此，嘉陵江流域年徑流在整個時間域內的變化主要由第1、第2主周期控制。

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Periodical Analysis on Annual Runoff in Jialing River BasinBased on the Morlet Wavelet Analysis

MU Ping, YANG Shengfa, TONG Sichen

(National Engineering Research Center for Inland Waterway Regulation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P.R.China)

Based on the measured data of annual runoff series of 59 years from 1954 to 2012 in Beibei gauging station, the multi-time scale characteristics of runoff was analyzed by using Morlet wavelet to study the periodic variation of Jialing River basin. The results show that there are 4-year, 14-year, and 44-year period changes of the annual runoff of Beibei gauging station. The scale of 44-year period with the maximum peak has two cycles from the wet season to the dry season, which is the first major period of runoff series in Jialing River Basin, and the scale of 14-year period is the second major period, which has six cycles from the wet season to the dry season and whose Morlet wavelet coefficients are also secondary. Compared with the former two major periods, the change of peak value of 4-year period is small, which belongs to small fluctuations and means that the change of annual runoff in Jialing River basin is mainly affected by the first and second major periods.

hydraulic engineering; annual runoff; Morlet wavelet; wavelet variance

2015-01-23；

2015-04-17

國家科技支撐計劃項目(2012BAB05B03)；重慶市科委自然科學基金項目(CSTC 2011 JJA30002)；重慶市教委項目(KJ1400319)

牟 萍(1986—)，女，山東德州人，博士研究生，主要從事水沙動力學與航道工程方面的研究。E-mail：mpdream2012@163.com。

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.01.15

TV213.9

A

1674-0696(2016)01-076-04