吳曉鵬

一、問題的提出

隨著網(wǎng)絡技術的發(fā)展與普及，高三統(tǒng)考采用的網(wǎng)上閱卷，也更加細致和精確的給出了學校、班級中每個小題、每個學生的得分情況等大量的數(shù)據(jù)，以及收集同一個題目中的各種錯誤答案或不同的解法，統(tǒng)一分發(fā)到老師的手中。但是在實際教師的講評過程中，可能并沒有關注或充分研究這些提供給我們的信息，導致在教學中的“高耗低效”。如果我們能夠對這些信息作好客觀準確的分析，并針對性地用于改進后續(xù)教學，定會使我們的教學更合理、更有效率。本文以常熟市2016屆高三調研測試的一道試題為例進行試題分析，希望能對現(xiàn)在的高三教學有所啟發(fā)。

二、試題的分析

1.試題呈現(xiàn)

應用題是高中數(shù)學中的重要內容，是高考中的重點，同時又是教學中的難點。很多學生往往讀一遍題就匆匆列式計算，并把做不對應用題歸結為題都讀不懂，或是看懂題目花太久時間了，計算的時候慌了就算錯了。不少教師也認為應用題要靠學生的理解力，看得懂題就會做，在教學講評過程中不夠重視，想通過大量的練習達到質的飛躍，實際上往往效果不佳。那問題究竟出在哪？筆者希望通過數(shù)據(jù)的分析尋找解答。

題目

某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y=（其中a，b為常數(shù)）模型。

（1）求a，b的值；

（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t。

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度。

試題解析：

（1）由題意得，點M，N的坐標分別為，（5，40），（20，2.5）

本題主要考查函數(shù)方程的理解運用，導數(shù)幾何意義、運用導數(shù)求函數(shù)最值及學生的運算求解能力.本次考試采用網(wǎng)上閱卷，兩位老師雙批一個題目，若在誤差分數(shù)之內則取平均分；若在誤差之外，則由閱卷組長仲裁給分，故分數(shù)具有很好的參考價值。

2.學生答題概況及分析

本題全校平均得分8.43（滿分15分）難度系數(shù)為0.562，

其中第一問平均得分3.80分（滿4分），第二問（1）平均得分3.67分（滿分5分）。第二問（2）平均得分0.96分（滿分6分）。

考生總數(shù)為735人，具體各分數(shù)人數(shù)如下表：

對上表數(shù)據(jù)進行分析，我們可以掌握如下學情。

（1）對于坐標代入，運算方程組這樣的基本問題絕大部分學生能順利解決。

第一問得滿分人數(shù)為675，占考生總數(shù)的91.84%，說明絕大部分學生對此問題的解決掌握得很好，也表明對該類問題的教學是成功的；得分在2-3分的有39人，占考生總數(shù)的5.3%，這部分學生正確得到了關于a、b的方程組，但計算出錯了，表明少數(shù)學生對方程組的計算還不過關；得分小于或等于2分（含0分）的有21人，占考生總數(shù)的2.86%，這部分學生大都空白未做，對本題作放棄處理，查閱試卷后發(fā)現(xiàn)，大部分為體育藝術類考生.這一方面反映了學生的解題心理有問題，遇到應用題時有恐懼心理，認為這樣的題目都不一定看得懂，肯定得不到分，于是就放棄了；另一方面給我們教師的教學找到了方向，這21位學生應是我們對該類問題進行后續(xù)教學的重點對象，要鼓勵他們樹立正確的解題觀點，要敢于去探討、研究，不輕易放棄，通過平時對題目的鉆研提升自己的解題能力和解題信心。

（2）對導數(shù)的應用和求值計算問題學生呈現(xiàn)三個層次。

第二問求公路l的長度的最小值，重點考查將學生區(qū)分為了三個層次。

第一層次，得9-11分的人數(shù)為75，占考生總數(shù)的10.2%，這些同學主要采用參考答案給出的方法或思路進行求解，還有部分同學利用均值不等式g（t）=第二層次，得5-8分的人數(shù)為497，占67.62%，這部分同學能根據(jù)題目條件寫出f（t）表達式，但是在求解最小值上半途而廢。出現(xiàn)的問題有：①少數(shù)同學不會求導，寫出表達式后就放棄了②大部分同學會求導，但是求導過程中運算錯誤；

第三層次，得0-2分的人數(shù)為163，占22.18%，這個比例是比較大的，反映出有小部分的同學在對應用題的理解、分析、轉化上沒有辦法、束手無策。分析原因，一部分同學是同學絕大部分第一問是得滿分的，應該是具備基本知識的，不過對高中數(shù)學知識與信息的整合能力還比較欠缺，對有一直接放棄的，他們對應用題有存有恐懼心理，只要圖形以前沒怎么遇到過，或是圖形比較復雜，就會覺得做了也做不出，還不如想把時間放在其他題目上；一部分同學進行了嘗試，但是在切線的設與求解過程中不夠熟悉，理不清思路。這些定綜合性的問題難以解決，這也給我們提示，在后面的復習中要重點關注這些同學，同時對此類問題的解決要做好思路探索、方法提煉和恰當訓練。

3.對應用題復習教學的建議

（1）解應用題時要讓學生體會建模的思維過程

針對上述第三層次的學生，在教學中教師要重點呈現(xiàn)建模的的思維過程。

筆者在校內、校與校間的聽課中發(fā)現(xiàn)，對應用題的講解，大部分老師是把重點放在解模上，對審題建模的過程往往一筆帶過，覺得學生已經(jīng)先做過了，為了節(jié)省時間不需要再講了。有時遇到情境比較復雜的，就首先給學生“清除障礙”，把問題中的關鍵字、詞、句進行重點分析，甚至幫學生把變量設好。誠然這樣做能使學生能清晰地看清問題中的量及量與量之間的關系，在解題時也不容易犯錯誤，但是老師如此包辦任務就導致學生在分析、理解題目上產(chǎn)生依賴性，缺少自覺主動分析問題的能力，以至于在考試時會跌倒在建模這一環(huán)節(jié)。因此，筆者認為解應用題應讓學生自己進入到問題情境中去，逐字逐句讀題目，聯(lián)系生活懂題意，再聯(lián)想相關的概念、定理、公式等數(shù)學知識，尋找出變量及變量間的關系，教師要給學生時間進行分析、整理、交流、抽象、提煉，讓學生親身經(jīng)歷把“實際問題”轉化為“數(shù)學問題”的過程，如此經(jīng)常練習學生就不會再害怕恐懼了。當然在這個過程中教師可給予適當?shù)囊龑?，但應注意教師只是組織者，學生才是主角。

（2）解模要注意方法的積累和細致的運算

對于上述第一、二層次的學生，問題出現(xiàn)在建模后的解模過程中。

主要原因是對目標函數(shù)的處理缺少方法或計算出錯。因此在平時的教學中，一方面我們要引導學生對題目解答后進行反思總結，整理提煉出解決一類問題的方法，例如各種類型的函數(shù)如何求其最值，對于二元問題的處理策略等等；另一方面，由于應用題受實際情況的限制，數(shù)據(jù)往往較大或較繁，例如本題中出現(xiàn)這一形式的求導，教師一定要指導學生計算時應心態(tài)平穩(wěn)，切不可有煩躁情緒，要耐心細致地計算，并適時地回頭檢查是否有計算錯誤，培養(yǎng)學生良好的計算習慣。

（3）對學生解應用題中各環(huán)節(jié)的細節(jié)作針對性指導

對于能較好完成應用題的建模與解模過程，但是無法得到滿分的學生，應在解題各環(huán)節(jié)的細微處作針對性指導。

學生在解題時為了追求速度，往往會忽略一些細節(jié)的東西，如漏寫函數(shù)的定義域，書寫求導過程不嚴謹，沒有將建模結果回歸到實際問題的解決方法，導致會而不全，不能得到滿分，是非?？上У模@種情況往往與平時做題不細致有關。因此，教師在平時教學過程中應指導學生養(yǎng)成良好的解題習慣。首先認真審題、明確要求，對題目從頭至尾認真審讀，審題干、審材料、審條件、審答項、審說明和要求，關鍵性字句要字斟句酌，切不可草率行事，否則會差之毫厘、謬以千里。越是似曾相識的所謂“熟題”越要謹慎縝密地審題。其次做題步驟要力求準確、規(guī)范、完整、清晰，平時做題時就應該按要求該寫的寫上、該劃的劃上，切忌眼高手低，一看題目差不多就放過去，在考試時就很難做完滿、規(guī)范。羅增儒在中學數(shù)學解題的理論與實踐中說，解題不僅僅是規(guī)則的簡單重復或操作的生硬執(zhí)行，而是對方法的繼續(xù)熟練，對概念的繼續(xù)學習。我們要求學生重視細節(jié)，并不是為了得滿分或不失分，而是要讓學生從這些細節(jié)中體會解題的嚴謹，“為什么一定要加這一步？”“不加會出現(xiàn)什么樣的問題？”當學生能自己回答這些問題了，那么我們的細節(jié)指導就真的成功了。

三、一點感想

以上是筆者對該試題作的粗淺分析，是基于事實與數(shù)據(jù)得出的論斷。教育對數(shù)據(jù)的使用才剛剛起步，教育的數(shù)據(jù)時代即將來臨，通過技術的創(chuàng)新與發(fā)展，以及數(shù)據(jù)的全面感知、收集、分析、共享，我們會有一種全新的研究方法，這樣的研究方法，將會對我們的教育產(chǎn)生巨大變革。正如哈佛大學社會學教授加里·金對“大數(shù)據(jù)分析”這樣評價：“這是一場革命，龐大的數(shù)據(jù)資源使得各個領域開始了量化進程，無論學術界、商界還是政府，所有領域都將開始這種進程?！睂砦覀兊慕逃虒W該是怎樣的，我們目前還不清楚，但我們不應只做看客，我們要有整合教學數(shù)據(jù)的能力，要有探索數(shù)據(jù)背后的價值和制定精確行動綱領的能力，要有進行精確快速實時行動的能力，我們應努力做一個創(chuàng)新的實踐者。

【參考文獻】

[1]羅增儒.《中學數(shù)學解題的理論與實踐》.廣西教育出版社，2008

[2]皮連生.《學與教的心理學》.上海華東師范大學出版社 1997.5

[3]陳志江.《問計學生 反思高三應用題教學》.教學與管理，2013.8