王小宇, 莫智文

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

任意Bell型糾纏態(tài)的雙向受控概率隱形傳態(tài)

王小宇, 莫智文*

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

提出一種利用非最大糾纏態(tài)作為量子信道,實(shí)現(xiàn)任意Bell型糾纏態(tài)的雙向受控概率隱形傳態(tài).通信雙方Alice、Bob和控制方Charlie事先密享糾纏態(tài)構(gòu)建量子信道.通信開始后,Alice和Bob分別對(duì)自己擁有的個(gè)別粒子做測(cè)量,并通過經(jīng)典信道公布結(jié)果,若控制方同意雙方通信則對(duì)自己的粒子做測(cè)量,將結(jié)果通過經(jīng)典信道公布.通信雙方根據(jù)所有測(cè)量的結(jié)果對(duì)各自粒子做相應(yīng)的幺正變換,引入輔助粒子完成投影測(cè)量或者POVM測(cè)量,最后再引入輔助粒子實(shí)現(xiàn)雙向隱形傳態(tài).

糾纏態(tài); 幺正變換; 雙向傳態(tài); 投影測(cè)量

1 預(yù)備知識(shí)

量子通信是量子論與通信論相結(jié)合的一門新型交叉科學(xué),主要涉及量子密碼通信,量子遠(yuǎn)程傳態(tài)和量子密集編碼等研究領(lǐng)域,其中量子隱形傳態(tài)又是最引人矚目的課題之一.C. H. Bennett等[1]提出了量子隱形傳態(tài)的概念,是一種利用經(jīng)典信道和量子糾纏資源實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程傳態(tài)的方式[2].學(xué)者已經(jīng)提出了許多傳送未知量子態(tài)的方案,比如單粒子態(tài)、多粒子態(tài)的隱形傳態(tài)、單向受控隱形傳態(tài)[3]、雙向隱形傳態(tài)[4-6]、概率隱形傳態(tài)等.X. W. Zha等[7]提出第一個(gè)量子雙向受控隱形傳態(tài)方案,作為量子隱形傳態(tài)的一個(gè)新領(lǐng)域,受到極大的關(guān)注.一些利用多粒子糾纏態(tài)作為量子信道的雙向受控隱形傳態(tài)方案[7-15]已經(jīng)被提出來,但是這些方案都是針對(duì)任意單粒子的隱形傳態(tài)方案.

M.H.Sang[16]通過利用七粒子糾纏態(tài)作為量子信道實(shí)現(xiàn)任意單粒子與二粒子態(tài)的雙向受控隱形傳態(tài).迄今為止,關(guān)于任意Bell型糾纏態(tài)的雙向概率量子隱形傳態(tài)方案還沒有研究,并且在實(shí)驗(yàn)中制備的糾纏態(tài)一般都是非最大糾纏,最大糾纏態(tài)很難制備.基于以上這些情況,本文提出一種任意Bell型糾纏態(tài)的雙向受控概率隱形傳態(tài)方案.

2 實(shí)現(xiàn)受控雙向概率隱形傳態(tài)方案

2.1 控制方為單粒子的受控雙向概率隱形傳態(tài) 當(dāng)控制方為單粒子時(shí),選用五粒子非最大糾纏態(tài)做為量子信道,實(shí)現(xiàn)任意Bell型糾纏態(tài)的傳輸.文獻(xiàn)[8]給出了一個(gè)五粒子糾纏態(tài)作為的量子信道實(shí)現(xiàn)雙向受控隱形傳態(tài)方案,量子信道可以表示為

|ψ3〉A(chǔ)1B1|ψ4〉A(chǔ)2B2|b〉C1),

(1)

假設(shè)Alice和Bob有待傳態(tài)為

|ζ〉A(chǔ)A′=(a0|00〉+a1|11〉),

|η〉BB′=(b0|00〉+b1|11〉),

(2)

|ψ〉A(chǔ)1A2B1B2C=

(α|00〉+β|11〉)A2B2?|0〉+

(α|00〉-β|11〉)A2B2?|1〉,

(3)

其中,系數(shù)均為非零實(shí)數(shù),并且滿足α2+β2=1,α>β.粒子A、A′、A1、A2屬于Alice,粒子B、B′、B1、B2屬于Bob,粒子C屬于Charlie.整個(gè)系統(tǒng)初態(tài)為

|ψ〉A(chǔ)A′A1A2BB′B1B2C=

|ζ〉A(chǔ)A′?|ψ〉A(chǔ)1A2B1B2C?|η〉BB′.

(4)

首先,Alice和Bob分別對(duì)粒子(A,A′,A1)和(B,B′,B1)作正交基三粒子量子聯(lián)合測(cè)量,其測(cè)量基如下:

(5)

Alice和Bob通過經(jīng)典信道把測(cè)量的結(jié)果公布給對(duì)方,若Charlie同意雙方通信則對(duì)粒子做|0〉、|1〉基測(cè)量,并對(duì)雙方公布測(cè)量結(jié)果.三方測(cè)量后,系統(tǒng)坍縮為如下32種結(jié)果之一:

〈0|〈μ±|〈φ±|ψ〉=

(b0α|0〉±b1β|1〉)A2,

〈1|〈μ±|〈φ?|ψ〉=

(b0α|0〉?b1β|1〉)A2,

〈0|〈ν±|〈φ±|ψ〉=

(b0β|1〉±b1α|0〉)A2,

〈1|〈ν±|〈φ?|ψ〉=

(-b0β|1〉±b1α|0〉)A2,

〈0|〈μ±|〈φ±|ψ〉=

(b0α|0〉±b1β|1〉)A2,

〈1|〈μ±|〈φ±|ψ〉=

(b0α|0〉?b1β|1〉)A2,

〈0|〈ν±|〈φ±|ψ〉=

(b0β|1〉±b1α|0〉)A2,

〈1|〈ν±|〈φ±|ψ〉=

(b0β|1〉?b1α|0〉)A2.

(6)

Alice和Bob根據(jù)獲得的信息對(duì)粒子A2、B2做相應(yīng)幺正變換(見表1),其中

σI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,

σZ=|0〉〈0|-|1〉〈1|,

σX=|0〉〈1|+|1〉〈0|.

表 1 三方測(cè)量結(jié)果以及對(duì)應(yīng)幺正變換

假設(shè)Alice、Bob和Charlie測(cè)量結(jié)果為|φ+〉、|μ-〉、|0〉,粒子A2、B2坍縮為

(a0α|0〉+a1β|1〉).

(7)

然后Alice對(duì)粒子A2作σZ變換,Bob對(duì)粒子B2作σI變換得

(a0α|0〉+a1β|1〉).

(8)

為了重構(gòu)原始態(tài),Alice和Bob分別引入一個(gè)初態(tài)為|0〉的輔助粒子A3、B3,Alice在基{|00〉A(chǔ)2A3,|01〉A(chǔ)2A3,|10〉A(chǔ)2A3,|11〉A(chǔ)2A3}下對(duì)粒子A2、A3進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠献儞Q.Bob在基{|00〉B2B3,|01〉B2B3,|10〉B2B3,|11〉B2B3}下對(duì)粒子B2、B3進(jìn)行酉變換.酉矩陣為

(9)

在U變換下,粒子A2、A3將演變?yōu)槿缦滦问?/p>

β(b0|0〉+b1|1〉)A2?|0〉A(chǔ)3+

(10)

在U變換下,粒子B2、B3將演變?yōu)?/p>

β(a0|0〉+a1|1〉)B1?|0〉B3+

(11)

2.2 控制方為2個(gè)粒子的受控雙向概率隱形傳態(tài)控制方為單粒子時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)雙向隱形傳態(tài),當(dāng)改變控制方的粒子個(gè)數(shù)時(shí),同樣也可以實(shí)現(xiàn)雙向傳輸.當(dāng)控制方粒子為2個(gè)時(shí),選擇2對(duì)非最大三粒子糾纏態(tài)作為量子信道.

此時(shí)通信雙方Alice、Bob與控制方Charlie共享一個(gè)六粒子糾纏態(tài)為量子信道,表達(dá)式為

|ψ〉A(chǔ)1A2B1B2C1C2=(α|000〉+β|111〉)A1B2C1?

(x|000〉+y|111〉)B1A2C2,

(12)

其中,系數(shù)均為非零實(shí)數(shù)且滿足(α2+β2)=1,(x2+y2)=1,α>β,x>y.粒子A、A′、A1、A2屬于Alice,粒子B、B′、B1、B2屬于Bob,粒子C1、C2屬于Charlie.整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)為

|ψ〉A(chǔ)A′A1A2BB′B1B2C1C2=

|ζ〉A(chǔ)A′?|ψ〉A(chǔ)1A2B1B2C1C2?|η〉BB′.

(13)

Alice和Bob分別對(duì)自己的粒子(A、A′、A1)和(B、B′、B1)各作正交基三粒子量子聯(lián)合測(cè)量,測(cè)量基為

(14)

Alice和Bob通過經(jīng)典信道把測(cè)量的結(jié)果公布給對(duì)方.以下是Alice和Bob測(cè)量后的系統(tǒng)坍縮情況:

(15)

若Charlie同意雙方通信則對(duì)粒子C1、C2做{|+〉,|-〉}基測(cè)量,并將結(jié)果公布給通信雙方,測(cè)量后系統(tǒng)坍縮為64種情況之一.然后根據(jù)所有測(cè)量結(jié)果,Alice和Bob對(duì)粒子A2、B2做幺正變換見表2,其中i,j,k,l∈{+,-}.

表 2 三方測(cè)量結(jié)果以及對(duì)應(yīng)幺正變換

假設(shè)Alice、Bob和Charlie測(cè)量結(jié)果為|φ+〉、|μ+〉、|+〉C1、|+〉C2,粒子A2、B2將坍縮為

(16)

Alice對(duì)粒子A2做σI變換,Bob對(duì)粒子B2做σI變換,得到新的形式分別為

(17)

Alice和Bob各自引進(jìn)一個(gè)初態(tài)為|0〉的輔助粒子A3、B3,以A3、B3為目標(biāo)比特,A2、B2為控制比特,進(jìn)行控制非門操作,則粒子A2、A3量子態(tài)和粒子B2、B3量子態(tài)可表示成如下形式

(18)

其中

|F1〉A(chǔ)3=x|0〉+y|1〉;

|E1〉A(chǔ)2=b0|0〉+b1|1〉,

|F2〉A(chǔ)3=x|0〉-y|1〉;

|E2〉A(chǔ)2=b0|0〉-b1|1〉.

(19)

(20)

其中

|F1〉B3=α|0〉+β|1〉;

|E1〉B2=a0|0〉+a1|1〉,

|F2〉B3=α|0〉-β|1〉;

|E2〉B2=a0|0〉-a1|1〉.

(21)

只要Alice對(duì)輔助粒子A3用|Fi〉A(chǔ)3(i=1,2)進(jìn)行測(cè)量,就可對(duì)應(yīng)獲得量子態(tài)|Ei〉A(chǔ)3(i=1,2).|F1〉A(chǔ)3、|F2〉A(chǔ)3不是正交的,因而無法確定性的區(qū)分量子態(tài),但是,可以通過局部測(cè)量方式以一定概率恢復(fù)原始量子信息.在這里采用POVM測(cè)量，首先構(gòu)造如下測(cè)量算子:

P3=I-P1-P2,

(22)

其中

(23)

ε與x、y有關(guān),其作用是保證P3是正算子.為了確定ε,這3個(gè)正算子可以寫成矩陣的形式:

(24)

根據(jù)POVM的值,Alice就能夠推斷出輔助粒子A3的量子態(tài),確定輔助粒子A3的量子態(tài),隨之確定粒子A2的量子態(tài),進(jìn)而選用適當(dāng)?shù)溺壅儞Q就能重構(gòu)A2量子態(tài).假如Alice知道粒子A2量子態(tài)是|E1〉A(chǔ)2或|E2〉A(chǔ)2,則只需對(duì)粒子A2做σI或σZ變換.

同樣地,Bob也用POVM測(cè)量方法對(duì)輔助粒子B3進(jìn)行測(cè)量,同理可得3個(gè)正算子可以寫成矩陣的形式:

(25)

根據(jù)POVM的值,Bob就能夠推斷出輔助粒子B3的量子態(tài),如果Bob確定輔助粒子B3的量子態(tài),粒子B2的量子態(tài)也就確定,Bob選用適當(dāng)?shù)溺壅儞Q就能重構(gòu)B2量子態(tài).假如Bob知道粒子B2量子態(tài)是|E1〉B2或|E2〉B2,則只需對(duì)B2做σI或σZ變換.

3 結(jié)語

本文提出三方參與的量子雙向受控概率隱形傳態(tài)方案,通過密享糾纏態(tài)實(shí)現(xiàn)Bell型糾纏態(tài)雙向隱形傳態(tài).通信雙方Alice和Bob既是發(fā)送者也是接收者,第三方Charlie控制和協(xié)助通信雙方量子態(tài)的交換.通信開始后,Alice和Bob分別對(duì)自己擁有的個(gè)別粒子做測(cè)量,并公布結(jié)果,若控制方同意雙方通信則對(duì)自己的粒子做測(cè)量,將自己所處的態(tài)公布.控制方的測(cè)量提高了方案的安全性.雙方根據(jù)所有的測(cè)量結(jié)果對(duì)各自粒子做相應(yīng)的幺正變換,引入輔助粒子完成投影測(cè)量、POVM測(cè)量及量子門操作,從而實(shí)現(xiàn)雙向概率隱形傳態(tài).如果其中任何一方不合作,接收者都不能完美恢復(fù)出原始傳送的未知量子糾纏態(tài).有且僅當(dāng)傳輸量子信道達(dá)到最大糾纏時(shí),能夠成功實(shí)現(xiàn)量子雙向隱形傳態(tài).

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2010 MSC：35K05

(編輯 鄭月蓉)

Bidirectional Controlled Probabilistic Teleportation of Bell-type Entangled State

WANG Xiaoyu, MO Zhiwen

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

A scheme of bidirectional controlled teleportation of Bell-type State is proposed with non-maximally entangled state as quantum channel. Two sides of communication (Alice and Bob)and the controller (Charlie) secretly share entangled state in advance to construct quantum channel. After communication, Alice and Bob perform quantum projection measurement on their own qubits respectively, and announce the measurement results via classical channel. If Charlie agrees to intercommunication, he should measure his qubits and announce the results via classical channel. Then according to the all measurement results, Alice and Bob can make appropriate unitary transformations. Both Alice and Bob introduce an auxiliary qubit, and perform the projective measurement or positive-operation valued measurement respectively. At last they introduce an auxiliary qubit again to recover the teleported states.

entangled state; unitary transformation; bidirectional quantum teleportation; projective measurement

2016-03-04

教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20135134110003)

O59

A

1001-8395(2016)06-0815-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.006

*通信作者簡(jiǎn)介：莫智文(1963—),男,教授,主要從事人工智能、模糊語言、粗糙集、量子信息處理的研究,E-mail:mozhiwen@263.net