鐘斌斌，李 妍，張永芳，陳 煒

（華中科技大學 電氣與電子工程學院，湖北 武漢 430074）

0 引言

隨著電力電子變換器裝置廣泛應用到電力系統(tǒng)中，直流與交流網絡通過換流器相互耦合，換流器諧波源模型直接影響到諧波分析的正確性和準確性，成為目前學術界和工程界都非常關注的問題［1-4］。目前諧波分析中采用的換流器諧波源建模方法主要包括恒流源模型、Norton模型、諧波耦合導納矩陣模型、開關函數(shù)模型等［5-6］。 文獻［7］提出一個線性的簡化模型來近似表示諧波源在基波電壓初相位為零時的諧波特性，其各參數(shù)均需要通過多次實際運行測量數(shù)據進行最小二乘逼近建模，求取較困難，且諧波次數(shù)越高，諧波電流誤差越大；文獻［8］基于諧波耦合導納矩陣，以解析方法推導晶閘管可控電抗器端口（交流側端口）電壓電流之間的耦合關系，并對交流側諧波源模型進行了三方面的簡化，具有較高的精度和適用性；文獻［1，9］從工程實際出發(fā)，考慮觸發(fā)角受余弦信號的調制，利用脈沖寬度調制和脈沖位置調制的頻譜分析，運用轉移函數(shù)法分析換流器兩側諧波分布，使工程實際中的諧波估算更加方便，結果更加精確；但上述建模方法均未對交直流兩側諧波相互耦合關系展開研究討論。

文獻［10-11］通過諧波傳遞函數(shù)矩陣和開關函數(shù)的方法建立諧波模型矩陣，研究交直流兩側諧波電壓、電流之間的關系，但僅對單相換流器開展分析；類似地，文獻［12-13］以三相整流橋為例建立諧波模型，對整流器兩側的交互作用進行分析，由于建?？紤]觸發(fā)角非對稱，需通過牛頓-拉夫遜算法約束調整換相重疊角，該步驟需多次迭代計算整個參數(shù)矩陣，運算復雜，在應用于諧波分析時可能導致收斂困難。

考慮到電力系統(tǒng)中交流側系統(tǒng)諧波電壓幅值通常很小，不影響各開關器件的正常導通［14］，因此換流器觸發(fā)角一般是對稱的。本文基于二端口網絡的H參數(shù)矩陣定量描述換流器交流側電流與電壓、交流側電流與直流側電流、直流側電壓與交流側電壓、直流側電壓與電流之間的耦合關系。通過將換流器各開關器件的動作狀態(tài)分別以對應的開關函數(shù)表示，在觸發(fā)角對稱條件下分析各換流階段換流器兩側電壓電流的數(shù)學關系，并以傅里葉變換為工具求解各H參數(shù)矩陣，建立換流器諧波全耦合模型。本文模型可廣泛應用于電力系統(tǒng)中存在各種背景諧波的交直流網絡；當觸發(fā)角較大，換相重疊角較小時，可忽略換相過程影響得出簡化模型，適用于可控換流器觸發(fā)角較大或者系統(tǒng)電抗較小的工程應用背景。Simulink時域仿真結果驗證了建模工作的準確性。

1 換流器H參數(shù)諧波模型

1.1 H參數(shù)矩陣及其物理意義

圖1 三相換流器電路Fig.1 Circuit of three-phase converter

根據圖1三相換流器電路，將其視為二端口網絡，如圖2所示，建立基于H參數(shù)的二端口網絡方程（1）。

圖2 換流器二端口網絡Fig.2 Dual-port network of converter

通過H參數(shù)二端口網絡方程（1）可直觀地觀察到，換流器兩側電壓、電流之間的耦合關系可以用H參數(shù)矩陣表示，其中H11矩陣表示交流側電流與電壓之間的相互耦合關系，H12矩陣表示交流側電流與直流側電流之間的相互耦合關系，H21矩陣表示直流側電壓與交流側電壓之間的相互耦合關系，H22矩陣表示直流側電壓與電流的相互耦合關系。

本文研究三相換流器諧波模型，將式（1）擴展為三相換流器的H參數(shù)二端口網絡方程（2），其中，H11擴展為3×3矩陣，即虛線左上角9個矩陣；H12擴展為3×1矩陣，即虛線右上角3個矩陣；H21擴展為1×3矩陣，即虛線左下角3個矩陣；H22矩陣依舊為1×1矩陣，即虛線右下角Hdd矩陣。以交流側a相電流為例，矩陣Haa、Hab、Hac分別表示交流側a相電流與交流側a、b、c三相電壓之間的相互耦合關系，矩陣Had表示其與直流側電流之間的相互耦合關系。

因此，通過求解上式16個H參數(shù)矩陣，三相換流器交直流兩側諧波的相互耦合關系可以定量地用二端口網絡方程的H參數(shù)矩陣進行描述。

1.2 考慮換相過程的開關函數(shù)

為描述交直流兩側的諧波交互影響，本文將換流器開關器件的每個動作狀態(tài)都通過一個開關函數(shù)進行描述，表示該區(qū)間內交直流兩側電壓、電流的波形關系。如圖3所示，將開關器件工作狀態(tài)由開關函數(shù)Hx進行描述，即將電壓、電流開關函數(shù)分解成多個Hx開關函數(shù)展開研究。其上標x表示此時工作區(qū)間內x號開關器件處于導通狀態(tài)，例如H12表示此時換流器的1號和2號2個開關器件同時處于導通狀態(tài)；H456表示此時有4號、5號和6號3個開關器件同時處于導通狀態(tài)，即該區(qū)間為換相過程。

圖3 開關函數(shù)原理圖Fig.3 Schematic diagram of switching functions

1.3 指數(shù)形式傅里葉變換

為方便矩陣運算及直觀體現(xiàn)諧波模型的作用機理，本文將各開關函數(shù)Hx以指數(shù)形式的傅里葉變換表示

以Ix=HxI為例，令其矩陣形式如式（3）所示，其中諧波傅里葉系數(shù) hxn可通過式（4）求得［15］。

其中，θ、δ分別為Hx末端、始端相位。

可以看到，整個二端口網絡方程中的H參數(shù)矩陣元素均為常數(shù)（僅與觸發(fā)角、換相重疊角有關），而與換流器兩側交直流電壓、電流無關。

2 換流器模型諧波分析

2.1 交流側電流

根據圖3中交流側電流開關函數(shù)，其諧波分析可以在換流器截止、導通換相、導通和截止換相4個連續(xù)區(qū)間討論，即為4個區(qū)間的各電流相量之和。以a相電流為例，其截止期間相電流為0；在導通換相、導通和截止換相期間，通過各區(qū)間的電流開關函數(shù)和交流側電流線性組合，如式（5）所示。

其中，I1和I4為導通期間電流，I561和I234為導通換相期間電流，I123和I456為截止換相期間電流，可由式（6）得到。

其中為換流器交流側電流為各開關函數(shù)Hx所對應的區(qū)間內的交流側電流。

2.1.1 導通期間交流側電流

導通期間，由電流開關函數(shù)可知，交流側電流等于直流側電流，即得到：

根據上式分析可知，導通期間，交流側電流僅與直流側電流有耦合關系，且當直流側電流中有諧波成分時，在交流側將耦合產生除特征諧波以外的非特征諧波。

2.1.2 換相期間交流側電流

根據圖3中導通換相和截止換相期間的電流開關函數(shù)，換流器某相電流中一個開關器件導通換相期的開始同時伴隨著另外一相電流中對應的開關器件截止換相期的開始，它們之間的電路等效關系如圖4所示，其中電壓、電流的上標“off”表示截止換相期，“on”表示導通換相期。

圖4 換流器換相過程Fig.4 Commutation process of converter

根據圖4電路換相過程中電壓、電流關系，可得到其數(shù)學關系式如式（8）所示，且本文并未將換相過程進行線性化處理。

截止端換相電流ioff與導通端換相電流ion兩者之和始終等于直流側Idc；且ioff在換相初始相位（φc）時等于 Idc，ion在換相初始相位（φc）時等于 0。 得到截止換相處的交流側電流表達式為：

將式（9）以傅里葉級數(shù)指數(shù)形式表示：

得到截止換相電流ioff（ωt）的頻域傅里葉系數(shù)為：

根據式（11）可知，截止換相過程中，交流側電壓與電流存在耦合關系，當交流側電壓含有系統(tǒng)諧波情況下，交流側電流中將耦合產生相應的非特征諧波；另外交流側電壓和直流側電流共同作用耦合產生直流成分。

將上式轉換成矩陣形式：

等效成：

其中，IM為2n+1階單位矩陣；為系統(tǒng)側電抗的對角矩陣；φc為換相初始相位。

同理，可得導通換相電流ioff（ωt）頻域矩陣形式：

根據上式可知，導通換相過程：交流側電壓、電流存在耦合關系，當交流側電壓含有系統(tǒng)諧波情況下，交流側電流中將耦合產生相應的非特征諧波。

2.1.3 諧波模型參數(shù)

綜上，將各個區(qū)間對應的Iaca代入上式，得到換流器交流側電流完整表達式。

以上表明交流側電流與電壓在換相期間存在耦合關系；在導通期間，交流側電流與直流側電流存在耦合關系。

將諧波模型矩陣式（2）與式（15）聯(lián)立，即可得到換流器諧波模型矩陣中各個H參數(shù)矩陣：

2.2 直流側電壓

根據圖3中直流側電壓開關函數(shù)的描述，同樣可以在截止、導通換相、導通和截止換相4個連續(xù)期間進行討論，即通過幅值分別為0、0.5、1和0.5的水平線段進行近似［16］。以a相為例，其截止期間的直流側電壓為0；其他3個期間通過開關函數(shù)與其對應的交流側電壓（考慮系統(tǒng)電抗產生的壓降后）線性組合得到直流側電壓，如式（20）所示［12］。

根據上式分析可知，直流側電壓與交流側電壓及直流側電流均耦合，當忽略交流側阻抗ZL產生的壓降時，直流側電壓僅與交流側電壓耦合。

由諧波模型矩陣式（2）與式（20），即可得到換流器諧波模型矩陣中剩余各個H參數(shù)矩陣：

3 諧波簡化模型

當換流器電路參數(shù)和觸發(fā)角確定，其直流側電流直流分量和換相重疊角μ分別為：

其中，U為交流側線電壓有效值；R為直流側負載電阻；α為觸發(fā)角；Ls為交流側等效電抗；ω=2πf為角頻率。

得到換相重疊角關于觸發(fā)角及換流器電路參數(shù)的表達式：

根據式（26）和圖5，當觸發(fā)角（α＜90°）逐漸增大，換相重疊角將逐漸減小，相應的換相過程的開關函數(shù)區(qū)間減小，即換相過程對換流器諧波模型的影響減小。因此，當換相重疊角較小時，可不考慮換相過程的影響，諧波模型矩陣式（2）中左上角9個參數(shù)矩陣均為0矩陣，且其余7個參數(shù)矩陣也大幅簡化，可將式（16）—（19）和（21）—（24）中換相過程開關函數(shù)（H561等）置0得到，得到簡化模型矩陣式（27）。

圖5 換相重疊角與觸發(fā)角關系曲線Fig.5 Relationship between commutation overlap angle and firing angle

從上述分析可知，當不考慮換相過程時，換流器簡化諧波模型很大程度上簡化了諧波模型，特別是交流側電流與電壓之間不存在耦合關系，交流側電流僅與直流側電流耦合。

4 算例仿真分析

本節(jié)通過對比本文建立的頻域諧波模型和Simulink時域仿真結果，驗證基于H參數(shù)的換流器諧波全耦合模型的準確性。由于本文重點研究換流器交直流兩側諧波交互作用機理，故在建模分析過程中認為換流器交流側系統(tǒng)阻抗相等。算例采用三相全控整流橋，具體參數(shù)為：系統(tǒng)線電壓有效值為400 V，交流側電感Ls=0.2 mH，直流負載側電阻R=5 Ω，負載電感L=0.5 H。

4.1 無系統(tǒng)背景諧波情況

當不存在系統(tǒng)背景諧波，即理想環(huán)境下，本文建立的諧波模型及其簡化模型和Simulink時域仿真得到兩側諧波幅值對比如表1所示。

由表1結果可知，本文所建立的換流器諧波模型在無背景諧波情況下?lián)Q流器兩側的特征諧波幅值與時域仿真結果基本一致，誤差較?。涣硗?，隨著觸發(fā)角增大，本文簡化諧波模型的精確度有較大提高；可以預見當觸發(fā)角增大到一定程度時，該簡化模型將有很強的實用性。

表1 無背景諧波情況下?lián)Q流器兩側諧波幅值Table1 Amplitude of harmonics at both sides of converter without background harmonics

根據表2可知，在本文算例設定條件下，當觸發(fā)角大于30°時，簡化模型交流側電流總諧波畸變率（THD）和直流側電壓紋波系數(shù)（RF）均與仿真結果接近，可建議采用簡化模型展開分析研究。

表2 電流總諧波畸變率與電壓紋波系數(shù)結果分析Table 2 Analysis of current THD and voltage RF

4.2 有系統(tǒng)背景諧波情況

當考慮系統(tǒng)含有背景諧波，假設三相供電電源A相發(fā)生諧波畸變，含有5次正序諧波電壓，幅值為系統(tǒng)相電壓的5%；且負載直流側電流中亦發(fā)生畸變，含有5次正序諧波電流，其幅值為直流電流的5%，此時取觸發(fā)角為15°。

考慮主導非特征諧波，交流側正序h次諧波擾動，將在直流側產生h±（6k±1）次諧波；直流側h次諧波擾動將在交流側產生 h±1 次諧波［14，16］。 按照上述分析，本算例應在特征諧波的基礎上在交流側產生 3、4、6、9、15、…次非特征諧波擾動；在直流側產生 4、8、10、14、16、…次非特征諧波。

本文諧波模型及其簡化形式和時域仿真結果的諧波頻譜見圖6、7?？梢姡恢绷鱾入妷?、電流各諧波次數(shù)與理論分析及時域仿真一致，且各諧波幅值誤差較小，可以驗證本文諧波全耦合模型對分析換流器交、直流兩側諧波全耦合具備有效性和準確性。

圖6 有背景諧波情況下交流側電流諧波頻譜Fig.6 Harmonic spectrum of AC-side current with background harmonics

圖7 有背景諧波情況下直流側電壓諧波頻譜Fig.7 Harmonic spectrum of DC-side voltage with background harmonics

5 結語

本文通過引入二端口網絡的H參數(shù)矩陣，將換流器各開關器件的動作狀態(tài)分別以對應的開關函數(shù)表示，在觸發(fā)角對稱條件下分析各換流階段交直流兩側的電壓電流數(shù)學關系，并以傅里葉變換為工具求解各H參數(shù)矩陣，建立諧波全耦合模型。各H參數(shù)矩陣定量地描述了換流器交流側電流與電壓、交流側電流與直流側電流、直流側電壓與交流側電壓、直流側電壓與電流之間的耦合關系。本文諧波模型對存在各種復雜背景諧波狀況的交直流系統(tǒng)均可適用；當觸發(fā)角較大、換相重疊角較小時，可不考慮換相過程的影響，得到簡化模型，適用于可控換流器觸發(fā)角較大或系統(tǒng)電抗較小的工程應用背景。最后在Simulink時域仿真中驗證了本文模型的準確性。

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