基于偽隨機(jī)特征向量的二次修改的結(jié)構(gòu)拓?fù)渲胤治?/h1>
2016-05-20 03:54:14何建軍陳享姿長(zhǎng)沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院長(zhǎng)沙410114
振動(dòng)與沖擊 2016年8期
何建軍, 陳享姿(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410114)
?
基于偽隨機(jī)特征向量的二次修改的結(jié)構(gòu)拓?fù)渲胤治?/p>
何建軍, 陳享姿(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114)
摘要：研究了連續(xù)兩次修改的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治鰡?wèn)題?；谖覀兲岢龅奶卣飨蛄總坞S機(jī)初始化方法，獨(dú)立和耦合質(zhì)量正交化處理措施，再結(jié)合瑞利-里茲分析法，形成了適用于兩次修改的增加自由度的結(jié)構(gòu)拓?fù)浯笮薷牡目焖賱?dòng)力學(xué)重分析方法。該方法減少了兩次直接分析所需要的大量計(jì)算量，且操作簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。數(shù)值算例結(jié)果表明，對(duì)于這類涉及兩次修改的拓?fù)浯笮薷闹胤治鰡?wèn)題，該方法是十分有效和高精度的。
關(guān)鍵詞：連續(xù)兩次修改；偽隨機(jī)；動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治?；質(zhì)量正交化
優(yōu)化設(shè)計(jì)往往是一個(gè)不斷重復(fù)的迭代過(guò)程。有理論分析表明，大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型可能有無(wú)窮多，這導(dǎo)致結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)迭代次數(shù)多，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，嚴(yán)重影響了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的效率和其在工程實(shí)際中的實(shí)用性[1]。其中，重復(fù)的結(jié)構(gòu)直接分析計(jì)算又占據(jù)了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中主要的計(jì)算量和時(shí)間，而相比直接分析，結(jié)構(gòu)近似重分析卻能夠有效的減少結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的計(jì)算量，顯著的加快拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的進(jìn)度，從而有利于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)在工程實(shí)際中的廣泛應(yīng)用和普及，因此開展結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)重分析方法的研究仍然是一項(xiàng)很有意義的工作。
目前，結(jié)構(gòu)重分析方法的研究拓展到了區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)修改的特征值重分析[2]，規(guī)則結(jié)構(gòu)局部修改的特征值重分析[3]，復(fù)特征值的近似重分析[4]和線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析的重分析方法[5]等一些新的重分析問(wèn)題[6-7]上來(lái)，這些都表明結(jié)構(gòu)重分析方法的研究仍然是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中一項(xiàng)很值得關(guān)注的重要內(nèi)容。
現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)近似重分析方法對(duì)于一次拓?fù)湫薷模赡芫哂辛己玫木?，那么?duì)于兩次(這里的兩次是指第一次修改重分析以初始結(jié)構(gòu)的特征信息為基礎(chǔ)，而第二次修改后的新結(jié)構(gòu)重分析又以第一次近似重分析的結(jié)果為基礎(chǔ))或者多次修改卻難以繼續(xù)保持好的近似性。假設(shè)對(duì)于第二次修改，采用第一次修改近似重分析的結(jié)果作基礎(chǔ)獲得的再次重分析結(jié)果不理想，設(shè)計(jì)者又不得不反過(guò)來(lái)再對(duì)第一次修改后的新結(jié)構(gòu)進(jìn)行完整或直接的重分析，這樣近似重分析方法減少的計(jì)算時(shí)間就比較有限，其實(shí)際實(shí)用就會(huì)受到限制。因此，本文基于我們提出的獨(dú)立和耦合質(zhì)量正交化處理措施和特征向量偽隨機(jī)初始化方法，再結(jié)合瑞利-里茲分析法，對(duì)一類新的涉及連續(xù)兩次修改的拓?fù)浯笮薷闹胤治鰡?wèn)題進(jìn)行了研究，數(shù)值算例結(jié)果表明了方法的有效性。
1動(dòng)力學(xué)方程
假設(shè)拓?fù)湫薷那俺跏冀Y(jié)構(gòu)的自由度為m，其廣義特征方程為
(1)
同理，再令增加了n自由度的拓?fù)鋬?yōu)化后新結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題表述如下
Km+nΨi=λiMm+nΨi
(2)
式中，Km+n和Mm+n分別表示拓?fù)湫薷暮蠼Y(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；而λi和Ψi分別表示其第i階特征值及相應(yīng)的特征向量,m+n表示拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的有限元離散自由度數(shù)。
顯然，依據(jù)初始結(jié)構(gòu)和新增加結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系，對(duì)矩陣分塊，式(2)中拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的Km+n、Mm+n可寫成
(3)
(4)
也可以將上式表示為更簡(jiǎn)潔的形式
(5)
以上及接下來(lái)的表達(dá)式中，下標(biāo)“m”表示初始結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)，而“n”表示新增加的自由度數(shù)。
于是，動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治鰳?gòu)造的問(wèn)題就是在不直接求解式(2)和節(jié)省計(jì)算量的前提下，通過(guò)間接的方法獲得拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)的近似特征值及特征向量。
2連續(xù)兩次修改的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)浯笮薷闹胤治龇椒?/p>
2.1新增加自由度上特征向量的初始化
對(duì)于自由度增加的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫薷?，可先將拓?fù)鋬?yōu)化后新結(jié)構(gòu)的自由度分為獨(dú)立的兩部分，其對(duì)應(yīng)的特征向量也分為兩部分
Ψi=[(Ψmi)Τ(Ψni)Τ]，(i?m)
(6)
式中，Ψmi和Ψni分別對(duì)應(yīng)初始結(jié)構(gòu)自由度和新增加自由度上的特征向量。
(7)
2.2獨(dú)立質(zhì)量正交化處理
現(xiàn)有的重分析方法都忽略了初始自由度和新增加自由度之間的獨(dú)立關(guān)系，因此為了突出兩者的獨(dú)立性質(zhì)和效果，我們提出了獨(dú)立質(zhì)量正交化處理的新策略，簡(jiǎn)稱解耦質(zhì)量正交化處理。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，這一策略對(duì)于改善近似拓?fù)渲胤治龇椒ǖ木染哂蟹浅ｏ@著的作用。
初始自由度：
(8)
新增加自由度：
ΚnnΨni=ΜnnΨni
(9)
2.3整個(gè)自由度上的瑞利-里茲分析
本質(zhì)上，單元由于彼此之間的連接關(guān)系組成了一個(gè)整體-結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)初始自由度和新增加自由度上特征向量的耦合作用才是決定整個(gè)模態(tài)特征的主要因素，因此，為了獲得整個(gè)自由度上特征向量的優(yōu)良近似結(jié)果，再對(duì)整個(gè)自由度上的特征向量進(jìn)行質(zhì)量正交化處理和瑞利-里茲分析。
(1) 通過(guò)質(zhì)量正交化處理改善由式(8)，(9)得到的拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)整個(gè)離散自由度上的初始特征向量
Κm+nΨi=Μm+n[(Ψmi)T(Ψni)T]T
(10)
(2) 基于式(10)得到的近似基向量，計(jì)算投影子空間
Κr=(Ψr)TKm+n)Ψi
(11)
Mr=(Ψr)TMm+n)Ψi
(12)
(3) 進(jìn)行瑞利-里茲分析
ΚrΨri=λriMm+n)Ψi
(13)
(4) 通過(guò)上述一系列的改善策略和里茲分析過(guò)程，最終由下式可得到拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)的高精度的近似特征值和特征向量
λi=λri, Ψ=[(Ψm)T(Ψn)T]T[Ψr]
(14)
從該方法的整個(gè)流程可以看出，所有環(huán)節(jié)簡(jiǎn)單、易懂和通用，而且其中包含一些相似的分析部分，因此，該方法實(shí)際的操作和計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)將非常容易和可行。
2.4連續(xù)兩次修改
由式(14)得到第一次修改結(jié)構(gòu)的近似特征值和特征值向量，并將其作為第二次修改重分析的初始特征值和特征向量，然后再執(zhí)行式(6)～式(14)，就可得到第二次修改后結(jié)構(gòu)的近似特征值和特征向量。粗略分析，第一次修改近似重分析的誤差會(huì)累積到第二次修改的近似重分析中。兩次重分析之間顯然存在誤差的轉(zhuǎn)移和累積，但由于偽隨機(jī)初始特征向量措施的實(shí)施，從第二次修改的近似重分析結(jié)果來(lái)看，誤差并沒有明顯的增加，表明本文所提出的特征向量偽隨機(jī)初始化方法一方面簡(jiǎn)化了以往新增加自由度上特征向量的初始化措施，另一方面有效的避免了兩次近似重分析誤差的累積。
2.5誤差定義
定義特征值相對(duì)誤差(Relative error)：
(15)
式中,精確特征值λei是直接求解拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)的特征方程得到的，λai是采用所提出的獨(dú)立耦合質(zhì)量正交化處理近似方法計(jì)算得到的特征值, 同時(shí)給出近似特征向量與精確特征向量的夾角余弦值α, 也即模態(tài)置信因子(Model Assurance Criterion,MAC )來(lái)衡量近似特征向量和精確特征向量的相關(guān)性[8]，公式如下
(16)
式中,x，y分別表示直接計(jì)算得到的精確特征向量和CA方法間接求解得到的近似特征向量。MAC的值越接近1，表明兩向量的相關(guān)性就越好；反之，MAC的值越接近0，表明兩向量的相關(guān)性越差，也即近似特征向量的逼近質(zhì)量越差。Massa[6]曾指出，MAC的值在0.7～1之間就表明近似特征向量與精確特征向量具有良好的相關(guān)性。
3數(shù)值算例
圖1 初始結(jié)構(gòu)Fig.1 The original
圖2 148桿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(第一次修改)Fig.2148-bartopologystructure(thefirstmodification)圖3 161桿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(第二次修改)Fig.3161-bartopologystructurestructure(thesecondmodification)
表1 采用不同方法得到的連續(xù)兩次拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)前五階特征值及特征向量的比較
對(duì)于算例1，從表1可以看出，即便是對(duì)于連續(xù)兩次修改的拓?fù)浯笮薷牡膭?dòng)力學(xué)重分析問(wèn)題，采用本文方法也能得到修改后新結(jié)構(gòu)的高精度的近似特征值和特征向量。
在相同的計(jì)算環(huán)境和平臺(tái)下，經(jīng)多次運(yùn)算，直接重分析分析和近似重分析平均計(jì)算費(fèi)用的比較如下：整個(gè)精確直接重分析計(jì)算需用時(shí)0.166 4 s，本文整個(gè)近似方法重分析計(jì)算需用時(shí)0.003 768 s，節(jié)省近97.8%的計(jì)算費(fèi)用。由于采用了特征向量偽隨機(jī)初始化方法，將使得重分析計(jì)算在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的可操作性大大簡(jiǎn)化和加強(qiáng)。而且可以預(yù)見，本文所提出的方法對(duì)于減少拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算量將是相當(dāng)可觀的。
例3-2考慮如圖4所示的彎曲薄板結(jié)構(gòu)，假定板的材料參數(shù)為彈性模量E=2.1×1011Pa，質(zhì)量密度為ρ=7 800 kg/m3。板的厚度為0.01 m, 泊松比為0.3。整個(gè)板長(zhǎng)0.8 m, 寬0.4, 左端固支，其余端自由，有限元離散成3 321個(gè)節(jié)點(diǎn)和3 200個(gè)矩形單元。假設(shè)第一次拓?fù)湫薷牡慕Y(jié)果是增加1 640個(gè)節(jié)點(diǎn)及1 600個(gè)矩形單元，如圖5所示；第二次拓?fù)湫薷牡慕Y(jié)果是增加820個(gè)節(jié)點(diǎn)及800個(gè)矩形單元，其它材料或者物理參數(shù)保持不變，如圖6所示。
對(duì)于算例2，從表2可以看出，即便是對(duì)于連續(xù)兩次修改的拓?fù)浯笮薷牡膭?dòng)力學(xué)重分析問(wèn)題，采用本文方法也能得到修改后新結(jié)構(gòu)的高精度的近似特征值和特征向量。
圖4 初始的懸臂彎曲板結(jié)構(gòu)Fig.4 The original cantilevered bending plate structure
圖5 第1次修改的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.5 The topology structure by the first modification
圖6 第2次修改的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.6 The topology structure by the second modification
模態(tài)λeiλciRe1λuiRe2λdiRe3λtiRe4MAC417.47E+2007.86E+2005.177.60E+2001.697.49E+2003.31E-0017.48E+2001.15E-0020.821722.92E+4004.35E+40049.093.83E+40031.273.55E+40021.472.95E+4001.020.820533.80E+4005.05E+40032.974.02E+4005.874.54E+40019.543.86E+4001.580.769442.30E+5007.15E+500210.285.37E+500133.013.80E+50065.292.34E+5001.730.8092
在相同的計(jì)算環(huán)境和平臺(tái)下，經(jīng)多次運(yùn)算，直接重分析分析和近似重分析平均計(jì)算費(fèi)用的比較如下：整個(gè)精確直接重分析計(jì)算需用時(shí)1.832 6 s，本文整個(gè)近似方法重分析計(jì)算需用時(shí)0.537 8 s，節(jié)省近70.6%的計(jì)算費(fèi)用。
4結(jié)論
本文針對(duì)這類新的涉及連續(xù)兩次修改的結(jié)構(gòu)拓?fù)浯笮薷牡膭?dòng)力學(xué)重分析問(wèn)題，基于我們提出的獨(dú)立和耦合質(zhì)量正交化處理措施和特征向量偽隨機(jī)初始化方法，再結(jié)合瑞利-里茲分析法，形成了一種高效、高精度的近似動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治龇椒ā?shù)值算例的結(jié)果表明，所提的方法對(duì)解決新問(wèn)題是十分有效的，且方法簡(jiǎn)便易實(shí)施，而且該近似重分析方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，近似結(jié)果又具有隨機(jī)性。
參 考 文 獻(xiàn)
[1] Amir O, Sigmund O, Lazarov B S, et al. Efficient reanalysis techniques for robust topology optimization[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, 245/246: 217-231.
[2] Chen Su-huan, Ma Liang, Meng Guang-wei, et al. An efficient method for evaluating the natural frequencies of structures with uncertain-but-bounded parameters[J].Computers and Structures, 2009, 87: 582-590.
[3] Kaveh A, Fazli H. Approximate eigensolution of locally modified regular structures using a substructuring technique[J].Computers and Structures, 2011, 89: 529-537.
[4] Ma Liang, Chen Su-huan, Meng Guang-wei. Combined approximation for reanalysis of complex eigenvalues[J].Computers and Structures, 2009, 87: 502-506.
[5] Cacciola P, Muscolino G. Reanalysis techniques in stochastic analysis of linear structures under stationary multi-correlated input[J].Probabilistic Engineering Mechanics, 2011, 26: 92-100.
[6] Massa F, Tison T, Lallemand B. Structural modal reanalysis methods using homotopy perturbation and projection techniques[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 200: 2971-2982.
[7] Kashiwagi M. A numerical method for eigensolution of locally modified systems based on the inverse power method[J].Finite Elements in Analysis and Design, 2009, 45: 113-120.
[8] 邸娜,陳力奮,王皓. 非虧損系統(tǒng)二次特征值問(wèn)題的Ritz降階法[J].振動(dòng)與沖擊, 2002, 21(4)：80-84.
DI Na, CHEN Li-fen, WANG Hao. Ritz reduced method for quadratic eigenproblems of non-defective systems[J].Journal of Vibration and Shock, 2002, 21(4)：80-84.
[9] Kirsch U. Combined approximations—a general reanalysis approach for structural optimization[J].Struct Multidisc Optim, 2000, 20: 97-106.
Structural topology reanalysis for twice continuous modifications based on pseudo-random eigenvector
HEJian-jun,CHENXiang-zi(School of Automobile and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)
Abstract:According to the problem of structural dynamic topological reanalysis for two continuous modifications, a new method for dynamic reanalysis of topological modified structure with added degrees and twice-continuous modifications was proposed in this paper.This method is a combined independent mass-orthogonalization strategy and a pseudo-random numbers initialization eigenvector method with Rayleigh-Ritz analysis.Compared with the direct finite element analysis, computational cost can be significantly reduced by this method, which is also easy to operate and implement.The numerical example shows that the proposed method for dynamic topological reanalysis of twice-continuous modifications is effective and has high precision.
Key words:twice continuous modifications; dynamic topological reanalysis; pseudo-random; mass orthogonalization
中圖分類號(hào):O342
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.033
收稿日期：2014-12-25修改稿收到日期：2015-03-25
基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51305048);湖南省高等學(xué)校科學(xué)研究一般項(xiàng)目(11C0045);謝億民“湖湘學(xué)者”子課題資助
第一作者 何建軍 男，博士, 講師，1979年生
E-mail: hezhengde8@163.com
何建軍, 陳享姿(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410114)
?
基于偽隨機(jī)特征向量的二次修改的結(jié)構(gòu)拓?fù)渲胤治?/p>
何建軍, 陳享姿(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114)
摘要：研究了連續(xù)兩次修改的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治鰡?wèn)題?；谖覀兲岢龅奶卣飨蛄總坞S機(jī)初始化方法，獨(dú)立和耦合質(zhì)量正交化處理措施，再結(jié)合瑞利-里茲分析法，形成了適用于兩次修改的增加自由度的結(jié)構(gòu)拓?fù)浯笮薷牡目焖賱?dòng)力學(xué)重分析方法。該方法減少了兩次直接分析所需要的大量計(jì)算量，且操作簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。數(shù)值算例結(jié)果表明，對(duì)于這類涉及兩次修改的拓?fù)浯笮薷闹胤治鰡?wèn)題，該方法是十分有效和高精度的。
關(guān)鍵詞：連續(xù)兩次修改；偽隨機(jī)；動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治?；質(zhì)量正交化
優(yōu)化設(shè)計(jì)往往是一個(gè)不斷重復(fù)的迭代過(guò)程。有理論分析表明，大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型可能有無(wú)窮多，這導(dǎo)致結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)迭代次數(shù)多，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，嚴(yán)重影響了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的效率和其在工程實(shí)際中的實(shí)用性[1]。其中，重復(fù)的結(jié)構(gòu)直接分析計(jì)算又占據(jù)了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中主要的計(jì)算量和時(shí)間，而相比直接分析，結(jié)構(gòu)近似重分析卻能夠有效的減少結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的計(jì)算量，顯著的加快拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的進(jìn)度，從而有利于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)在工程實(shí)際中的廣泛應(yīng)用和普及，因此開展結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)重分析方法的研究仍然是一項(xiàng)很有意義的工作。
目前，結(jié)構(gòu)重分析方法的研究拓展到了區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)修改的特征值重分析[2]，規(guī)則結(jié)構(gòu)局部修改的特征值重分析[3]，復(fù)特征值的近似重分析[4]和線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析的重分析方法[5]等一些新的重分析問(wèn)題[6-7]上來(lái)，這些都表明結(jié)構(gòu)重分析方法的研究仍然是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中一項(xiàng)很值得關(guān)注的重要內(nèi)容。
現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)近似重分析方法對(duì)于一次拓?fù)湫薷模赡芫哂辛己玫木?，那么?duì)于兩次(這里的兩次是指第一次修改重分析以初始結(jié)構(gòu)的特征信息為基礎(chǔ)，而第二次修改后的新結(jié)構(gòu)重分析又以第一次近似重分析的結(jié)果為基礎(chǔ))或者多次修改卻難以繼續(xù)保持好的近似性。假設(shè)對(duì)于第二次修改，采用第一次修改近似重分析的結(jié)果作基礎(chǔ)獲得的再次重分析結(jié)果不理想，設(shè)計(jì)者又不得不反過(guò)來(lái)再對(duì)第一次修改后的新結(jié)構(gòu)進(jìn)行完整或直接的重分析，這樣近似重分析方法減少的計(jì)算時(shí)間就比較有限，其實(shí)際實(shí)用就會(huì)受到限制。因此，本文基于我們提出的獨(dú)立和耦合質(zhì)量正交化處理措施和特征向量偽隨機(jī)初始化方法，再結(jié)合瑞利-里茲分析法，對(duì)一類新的涉及連續(xù)兩次修改的拓?fù)浯笮薷闹胤治鰡?wèn)題進(jìn)行了研究，數(shù)值算例結(jié)果表明了方法的有效性。
1動(dòng)力學(xué)方程
假設(shè)拓?fù)湫薷那俺跏冀Y(jié)構(gòu)的自由度為m，其廣義特征方程為
(1)
同理，再令增加了n自由度的拓?fù)鋬?yōu)化后新結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題表述如下
Km+nΨi=λiMm+nΨi
(2)
式中，Km+n和Mm+n分別表示拓?fù)湫薷暮蠼Y(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；而λi和Ψi分別表示其第i階特征值及相應(yīng)的特征向量,m+n表示拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的有限元離散自由度數(shù)。
顯然，依據(jù)初始結(jié)構(gòu)和新增加結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系，對(duì)矩陣分塊，式(2)中拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的Km+n、Mm+n可寫成
(3)
(4)
也可以將上式表示為更簡(jiǎn)潔的形式
(5)
以上及接下來(lái)的表達(dá)式中，下標(biāo)“m”表示初始結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)，而“n”表示新增加的自由度數(shù)。
于是，動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治鰳?gòu)造的問(wèn)題就是在不直接求解式(2)和節(jié)省計(jì)算量的前提下，通過(guò)間接的方法獲得拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)的近似特征值及特征向量。
2連續(xù)兩次修改的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)浯笮薷闹胤治龇椒?/p>
2.1新增加自由度上特征向量的初始化
對(duì)于自由度增加的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫薷?，可先將拓?fù)鋬?yōu)化后新結(jié)構(gòu)的自由度分為獨(dú)立的兩部分，其對(duì)應(yīng)的特征向量也分為兩部分
Ψi=[(Ψmi)Τ(Ψni)Τ]，(i?m)
(6)
式中，Ψmi和Ψni分別對(duì)應(yīng)初始結(jié)構(gòu)自由度和新增加自由度上的特征向量。
(7)
2.2獨(dú)立質(zhì)量正交化處理
現(xiàn)有的重分析方法都忽略了初始自由度和新增加自由度之間的獨(dú)立關(guān)系，因此為了突出兩者的獨(dú)立性質(zhì)和效果，我們提出了獨(dú)立質(zhì)量正交化處理的新策略，簡(jiǎn)稱解耦質(zhì)量正交化處理。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，這一策略對(duì)于改善近似拓?fù)渲胤治龇椒ǖ木染哂蟹浅ｏ@著的作用。
初始自由度：
(8)
新增加自由度：
ΚnnΨni=ΜnnΨni
(9)
2.3整個(gè)自由度上的瑞利-里茲分析
本質(zhì)上，單元由于彼此之間的連接關(guān)系組成了一個(gè)整體-結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)初始自由度和新增加自由度上特征向量的耦合作用才是決定整個(gè)模態(tài)特征的主要因素，因此，為了獲得整個(gè)自由度上特征向量的優(yōu)良近似結(jié)果，再對(duì)整個(gè)自由度上的特征向量進(jìn)行質(zhì)量正交化處理和瑞利-里茲分析。
(1) 通過(guò)質(zhì)量正交化處理改善由式(8)，(9)得到的拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)整個(gè)離散自由度上的初始特征向量
Κm+nΨi=Μm+n[(Ψmi)T(Ψni)T]T
(10)
(2) 基于式(10)得到的近似基向量，計(jì)算投影子空間
Κr=(Ψr)TKm+n)Ψi
(11)
Mr=(Ψr)TMm+n)Ψi
(12)
(3) 進(jìn)行瑞利-里茲分析
ΚrΨri=λriMm+n)Ψi
(13)
(4) 通過(guò)上述一系列的改善策略和里茲分析過(guò)程，最終由下式可得到拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)的高精度的近似特征值和特征向量
λi=λri, Ψ=[(Ψm)T(Ψn)T]T[Ψr]
(14)
從該方法的整個(gè)流程可以看出，所有環(huán)節(jié)簡(jiǎn)單、易懂和通用，而且其中包含一些相似的分析部分，因此，該方法實(shí)際的操作和計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)將非常容易和可行。
2.4連續(xù)兩次修改
由式(14)得到第一次修改結(jié)構(gòu)的近似特征值和特征值向量，并將其作為第二次修改重分析的初始特征值和特征向量，然后再執(zhí)行式(6)～式(14)，就可得到第二次修改后結(jié)構(gòu)的近似特征值和特征向量。粗略分析，第一次修改近似重分析的誤差會(huì)累積到第二次修改的近似重分析中。兩次重分析之間顯然存在誤差的轉(zhuǎn)移和累積，但由于偽隨機(jī)初始特征向量措施的實(shí)施，從第二次修改的近似重分析結(jié)果來(lái)看，誤差并沒有明顯的增加，表明本文所提出的特征向量偽隨機(jī)初始化方法一方面簡(jiǎn)化了以往新增加自由度上特征向量的初始化措施，另一方面有效的避免了兩次近似重分析誤差的累積。
2.5誤差定義
定義特征值相對(duì)誤差(Relative error)：
(15)
式中,精確特征值λei是直接求解拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)的特征方程得到的，λai是采用所提出的獨(dú)立耦合質(zhì)量正交化處理近似方法計(jì)算得到的特征值, 同時(shí)給出近似特征向量與精確特征向量的夾角余弦值α, 也即模態(tài)置信因子(Model Assurance Criterion,MAC )來(lái)衡量近似特征向量和精確特征向量的相關(guān)性[8]，公式如下
(16)
式中,x，y分別表示直接計(jì)算得到的精確特征向量和CA方法間接求解得到的近似特征向量。MAC的值越接近1，表明兩向量的相關(guān)性就越好；反之，MAC的值越接近0，表明兩向量的相關(guān)性越差，也即近似特征向量的逼近質(zhì)量越差。Massa[6]曾指出，MAC的值在0.7～1之間就表明近似特征向量與精確特征向量具有良好的相關(guān)性。
3數(shù)值算例
圖1 初始結(jié)構(gòu)Fig.1 The original
圖2 148桿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(第一次修改)Fig.2148-bartopologystructure(thefirstmodification)圖3 161桿拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(第二次修改)Fig.3161-bartopologystructurestructure(thesecondmodification)
表1 采用不同方法得到的連續(xù)兩次拓?fù)湫薷慕Y(jié)構(gòu)前五階特征值及特征向量的比較
對(duì)于算例1，從表1可以看出，即便是對(duì)于連續(xù)兩次修改的拓?fù)浯笮薷牡膭?dòng)力學(xué)重分析問(wèn)題，采用本文方法也能得到修改后新結(jié)構(gòu)的高精度的近似特征值和特征向量。
在相同的計(jì)算環(huán)境和平臺(tái)下，經(jīng)多次運(yùn)算，直接重分析分析和近似重分析平均計(jì)算費(fèi)用的比較如下：整個(gè)精確直接重分析計(jì)算需用時(shí)0.166 4 s，本文整個(gè)近似方法重分析計(jì)算需用時(shí)0.003 768 s，節(jié)省近97.8%的計(jì)算費(fèi)用。由于采用了特征向量偽隨機(jī)初始化方法，將使得重分析計(jì)算在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的可操作性大大簡(jiǎn)化和加強(qiáng)。而且可以預(yù)見，本文所提出的方法對(duì)于減少拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算量將是相當(dāng)可觀的。
例3-2考慮如圖4所示的彎曲薄板結(jié)構(gòu)，假定板的材料參數(shù)為彈性模量E=2.1×1011Pa，質(zhì)量密度為ρ=7 800 kg/m3。板的厚度為0.01 m, 泊松比為0.3。整個(gè)板長(zhǎng)0.8 m, 寬0.4, 左端固支，其余端自由，有限元離散成3 321個(gè)節(jié)點(diǎn)和3 200個(gè)矩形單元。假設(shè)第一次拓?fù)湫薷牡慕Y(jié)果是增加1 640個(gè)節(jié)點(diǎn)及1 600個(gè)矩形單元，如圖5所示；第二次拓?fù)湫薷牡慕Y(jié)果是增加820個(gè)節(jié)點(diǎn)及800個(gè)矩形單元，其它材料或者物理參數(shù)保持不變，如圖6所示。
對(duì)于算例2，從表2可以看出，即便是對(duì)于連續(xù)兩次修改的拓?fù)浯笮薷牡膭?dòng)力學(xué)重分析問(wèn)題，采用本文方法也能得到修改后新結(jié)構(gòu)的高精度的近似特征值和特征向量。
圖4 初始的懸臂彎曲板結(jié)構(gòu)Fig.4 The original cantilevered bending plate structure
圖5 第1次修改的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.5 The topology structure by the first modification
圖6 第2次修改的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.6 The topology structure by the second modification
模態(tài)λeiλciRe1λuiRe2λdiRe3λtiRe4MAC417.47E+2007.86E+2005.177.60E+2001.697.49E+2003.31E-0017.48E+2001.15E-0020.821722.92E+4004.35E+40049.093.83E+40031.273.55E+40021.472.95E+4001.020.820533.80E+4005.05E+40032.974.02E+4005.874.54E+40019.543.86E+4001.580.769442.30E+5007.15E+500210.285.37E+500133.013.80E+50065.292.34E+5001.730.8092
在相同的計(jì)算環(huán)境和平臺(tái)下，經(jīng)多次運(yùn)算，直接重分析分析和近似重分析平均計(jì)算費(fèi)用的比較如下：整個(gè)精確直接重分析計(jì)算需用時(shí)1.832 6 s，本文整個(gè)近似方法重分析計(jì)算需用時(shí)0.537 8 s，節(jié)省近70.6%的計(jì)算費(fèi)用。
4結(jié)論
本文針對(duì)這類新的涉及連續(xù)兩次修改的結(jié)構(gòu)拓?fù)浯笮薷牡膭?dòng)力學(xué)重分析問(wèn)題，基于我們提出的獨(dú)立和耦合質(zhì)量正交化處理措施和特征向量偽隨機(jī)初始化方法，再結(jié)合瑞利-里茲分析法，形成了一種高效、高精度的近似動(dòng)力學(xué)拓?fù)渲胤治龇椒ā?shù)值算例的結(jié)果表明，所提的方法對(duì)解決新問(wèn)題是十分有效的，且方法簡(jiǎn)便易實(shí)施，而且該近似重分析方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，近似結(jié)果又具有隨機(jī)性。
參 考 文 獻(xiàn)
[1] Amir O, Sigmund O, Lazarov B S, et al. Efficient reanalysis techniques for robust topology optimization[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, 245/246: 217-231.
[2] Chen Su-huan, Ma Liang, Meng Guang-wei, et al. An efficient method for evaluating the natural frequencies of structures with uncertain-but-bounded parameters[J].Computers and Structures, 2009, 87: 582-590.
[3] Kaveh A, Fazli H. Approximate eigensolution of locally modified regular structures using a substructuring technique[J].Computers and Structures, 2011, 89: 529-537.
[4] Ma Liang, Chen Su-huan, Meng Guang-wei. Combined approximation for reanalysis of complex eigenvalues[J].Computers and Structures, 2009, 87: 502-506.
[5] Cacciola P, Muscolino G. Reanalysis techniques in stochastic analysis of linear structures under stationary multi-correlated input[J].Probabilistic Engineering Mechanics, 2011, 26: 92-100.
[6] Massa F, Tison T, Lallemand B. Structural modal reanalysis methods using homotopy perturbation and projection techniques[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 200: 2971-2982.
[7] Kashiwagi M. A numerical method for eigensolution of locally modified systems based on the inverse power method[J].Finite Elements in Analysis and Design, 2009, 45: 113-120.
[8] 邸娜,陳力奮,王皓. 非虧損系統(tǒng)二次特征值問(wèn)題的Ritz降階法[J].振動(dòng)與沖擊, 2002, 21(4)：80-84.
DI Na, CHEN Li-fen, WANG Hao. Ritz reduced method for quadratic eigenproblems of non-defective systems[J].Journal of Vibration and Shock, 2002, 21(4)：80-84.
[9] Kirsch U. Combined approximations—a general reanalysis approach for structural optimization[J].Struct Multidisc Optim, 2000, 20: 97-106.
Structural topology reanalysis for twice continuous modifications based on pseudo-random eigenvector
HEJian-jun,CHENXiang-zi(School of Automobile and Mechanical Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)
Abstract:According to the problem of structural dynamic topological reanalysis for two continuous modifications, a new method for dynamic reanalysis of topological modified structure with added degrees and twice-continuous modifications was proposed in this paper.This method is a combined independent mass-orthogonalization strategy and a pseudo-random numbers initialization eigenvector method with Rayleigh-Ritz analysis.Compared with the direct finite element analysis, computational cost can be significantly reduced by this method, which is also easy to operate and implement.The numerical example shows that the proposed method for dynamic topological reanalysis of twice-continuous modifications is effective and has high precision.
Key words:twice continuous modifications; dynamic topological reanalysis; pseudo-random; mass orthogonalization
中圖分類號(hào):O342
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.033
收稿日期：2014-12-25修改稿收到日期：2015-03-25
基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51305048);湖南省高等學(xué)校科學(xué)研究一般項(xiàng)目(11C0045);謝億民“湖湘學(xué)者”子課題資助
第一作者 何建軍 男，博士, 講師，1979年生
E-mail: hezhengde8@163.com
