王立新, 李雪艷, 姜　慧, 朱嘉健(.中國地震局地震監(jiān)測與減災(zāi)技術(shù)重點實驗室 廣東省地震局，廣州　50070；.暨南大學 力學與土木工程系, 廣州　5063)

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基于加速度二次協(xié)方差矩陣參數(shù)變化比法的環(huán)境振動下結(jié)構(gòu)損傷識別

王立新1, 李雪艷2, 姜慧1, 朱嘉健1(1.中國地震局地震監(jiān)測與減災(zāi)技術(shù)重點實驗室 廣東省地震局，廣州510070；2.暨南大學 力學與土木工程系, 廣州510632)

摘要：在白噪聲環(huán)境激勵下，結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的自相關(guān)/互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成一個新的二次協(xié)方差(CoC)矩陣，組成這一協(xié)方差矩陣的元素經(jīng)證明是結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(頻率、振型、阻尼)的函數(shù)；與提取模態(tài)參數(shù)的一般損傷識別方法相比，二次協(xié)方差矩陣包含結(jié)構(gòu)振動的更多和更高階模態(tài)信息。利用結(jié)構(gòu)損傷前和損傷后的二次協(xié)方差(CoC)矩陣參數(shù)的變化比，對只基于振動輸出的、環(huán)境振動下的結(jié)構(gòu)進行損傷識別。對一個七層框架結(jié)構(gòu)模型進行了數(shù)值模擬，首先對不同噪聲程度、不同損傷位置和程度的損傷結(jié)構(gòu)進行損傷定位，再結(jié)合模型修正法，對結(jié)構(gòu)損傷程度進行識別，展示了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：損傷識別；二次協(xié)方差矩陣；環(huán)境激勵

基于環(huán)境振動的工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測，具有無須貴重的激勵設(shè)備，不中斷結(jié)構(gòu)的正常使用，方便省時，價格低廉，只需測定響應(yīng)數(shù)據(jù)等優(yōu)點[1-6]；避免了在使用激振設(shè)備過程中對結(jié)構(gòu)造成損傷，提高了安全性，測試環(huán)境符合結(jié)構(gòu)的邊界條件和實際工況，能夠更為真實準確地反應(yīng)結(jié)構(gòu)在工作狀態(tài)下的振動特性[5,7]。Li等[8]提出了白噪聲激勵條件下的加速度響應(yīng)二次協(xié)方差(CoC)矩陣，經(jīng)證明該矩陣的元素僅是結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(頻率、振型、阻尼)的函數(shù)。這一方法的顯著優(yōu)點表現(xiàn)在，首先，僅利用加速度響應(yīng)即可計算，不需進行模態(tài)識別，避免了在模態(tài)參數(shù)識別中可能帶來的功率譜泄露、密集模態(tài)丟失、截斷誤差等問題；第二，該方法可以避免時域方法的系統(tǒng)定階問題；第三，理論上CoC矩陣所包含的模態(tài)階數(shù)只受限于數(shù)據(jù)采樣頻率，也就是可以盡量多地包含更多階數(shù)的模態(tài)信息，避免丟失響應(yīng)信號中與損傷有關(guān)的高階模態(tài)，使得提取的損傷指標更加靈敏。本文將利用基于該二次協(xié)方差矩陣參數(shù)變化比的方法來對一環(huán)境激勵下的七層框架結(jié)構(gòu)進行損傷識別。

1加速度響應(yīng)二次協(xié)方差矩陣參數(shù)變化比方法的基本原理

支座激勵下的N自由度黏性阻尼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運動方程為：

(1)

(2)

從式(2)計算出矩陣u(p)·(u(p))T為[8]：

(3)

式中下標i×j表示為矩陣[u(p)·(u(p))T]的第i行j列的單元，i與j是結(jié)構(gòu)的模態(tài)階數(shù)，Δt是采樣步長，S是反應(yīng)白噪聲激勵能量水平的常數(shù)，其它參數(shù)的細節(jié)見參考文獻[8]。

假設(shè)加速度計安裝在監(jiān)測結(jié)構(gòu)上，在白噪聲激勵下連續(xù)記錄監(jiān)測點的加速度響應(yīng)，監(jiān)測得到的加速度響應(yīng)二次協(xié)方差矩陣通過下式計算為：

(4)

式中,E表示為期望值，式(4)中CoC矩陣Tp可以直接通過加速度響應(yīng)的協(xié)方差矩陣Rp=[Rpl1(t)Rpl2(t) …Rplm(t)]T計算得到。

假設(shè)結(jié)構(gòu)在位置r處發(fā)生了損傷，這個損傷在結(jié)構(gòu)的剛度上用剛度矩陣的改變ΔK來表征，那么結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后的第i個CoC矩陣參數(shù)的改變量ΔCi就是損傷的位置向量r和剛度矩陣的改變ΔK的函數(shù)[12]，

ΔCi=fi(ΔK,r)

(5)

把該函數(shù)對沒有損傷的情況(ΔK=0)進行展開，并忽略高階項，得到

(6)

當結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生損傷時，剛度矩陣的改變ΔK=0，所以對于所有可能的r來說，沒有損傷時，fi(0,r)=0，因此式(6)變?yōu)椋?/p>

ΔCi≈ΔK×gi(r)

(7)

同樣的對第j個CoC矩陣參數(shù)的改變量ΔCj,有，

ΔCj≈ΔK×gj(r)

(8)

所以由式(7)和式(8)有，

(9)

由式(9)得出結(jié)論：當結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后，任意某兩個CoC矩陣參數(shù)改變量的比值僅是損傷位置的函數(shù)，而與損傷的大小沒有關(guān)系，并且隨著損傷位置的不同，這個CoC矩陣參數(shù)變化比的比值也會變化，那么利用實測出的結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷后的“CoC矩陣參數(shù)變化比”便可以識別出結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷的位置。

需要注意的是，上述從式(5)～式(9)的推導過程中引入了近似，式(6)中截去了高階非線性項從而引入了截斷誤差。如果被截去的高階非線性項在函數(shù)ΔCi中占的分量不大的話，也就是說ΔCi是關(guān)于參數(shù)ΔK的線性或者弱非線性函數(shù)，那么式(6)對式(5)的近似誤差較小，后續(xù)式(7)中的誤差也在可接受的范圍內(nèi)，這將會是一個影響后續(xù)基于該指標的損傷識別是否成功的關(guān)鍵因素。因此，在實際結(jié)構(gòu)的分析中，需要事先研究ΔCi與ΔK的關(guān)系，從而確定所提出的方法是否適用，這一點在下文第2節(jié)會進一步討論。

2CoC矩陣參數(shù)變化比方法的數(shù)值模擬

基于CoC矩陣參數(shù)變化比方法，對一個七層框架結(jié)構(gòu)模型進行損傷識別。結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，該結(jié)構(gòu)被劃分為70個歐拉梁單元，共65個節(jié)點，節(jié)點排列如圖 1所示，其中左邊豎向柱(第1～第21單元)的橫截面積為2.425×10-4m2,截面慣性矩為4.753 5×10-10m4,密度為7 850 kg/m3；橫向梁(第22～第49單元)的橫截面積為4.46×10-4m2，截面慣性矩為2.957 2×10-9m4,密度為7 734.2 kg/m3；右邊豎向柱(第50～第70單元)的橫截面積為2.425×10-4m2，截面慣性矩為4.753 5×10-10m4,密度為7 850 kg/m3。材料的彈性模量E為2×1011N/m2。在節(jié)點23、25、26、28、29、31、32、34、35、37、38、40、41、43處添加一重為3.8 kg的鐵塊。結(jié)構(gòu)底部為固支約束，理想白噪聲激勵施加在結(jié)構(gòu)的支座上，大小為0.01 m2/s4。在該模擬計算中，節(jié)點2，5，8，11，14，17和20處的水平和豎直方向的加速度通過Newmark數(shù)值方法計算得出，用來模擬實際結(jié)構(gòu)中測試得到的加速度響應(yīng)，并用來計算實驗二次協(xié)方差(CoC)矩陣。

圖1　七層框架結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The 7-story frame structure model

首先模擬單元26的剛度依次下降 5%、10%、…、85%，計算出每種損傷程度狀態(tài)下的“CoC矩陣參數(shù)變化比”。由于CoC矩陣是對稱矩陣，為了簡化數(shù)據(jù)，只取其對角線上的元素進行分析，由此得到結(jié)構(gòu)的“CoC矩陣參數(shù)變化比”與單元不同程度損傷所對應(yīng)的曲線見圖2和表1，對單元49做同樣計算可得到圖3，圖中均采用結(jié)構(gòu)CoC矩陣對角線上元素和第1個對角元素的比值。可見，雖然并不是所有的ΔCi/ΔCj隨損傷程度變化的曲線都是絕對水平線，但是大部分曲線在一定損傷大小內(nèi)(圖2是50%，圖3是60%)都是接近水平線的，由此表明兩個CoC矩陣參數(shù)改變量的比值ΔCi/ΔCj在一定損傷程度內(nèi)，主要是由損傷位置決定，損傷大小對它的影響較小。也即說明，對于該模型結(jié)構(gòu)，第1節(jié)式(6)中引入的近似是在可接受的范圍內(nèi)，從而可以應(yīng)用本文提出的損傷識別方法。

圖2　單元26的剛度從5%減少到95%的CoC參數(shù)變化比曲線Fig.2 Curves of CoC parameters when the stiffness of Element 26 is reduced from 5% to 95%

圖3　單元49的剛度從5%減少到95%的CoC參數(shù)變化比曲線Fig.3 Curves of CoC parameters when the stiffness of Element 49 is reduced from 5% to 95%

圖4　單元26的剛度減少35%對應(yīng)的“實測”CoC參數(shù)變化比向量與理論CoC參數(shù)變化比向量的的MAC值Fig.4 The‘measured’ and computed MAC values due to 35% stiffness reduction in Element 26

圖5　單元26的剛度減少35%時“實測”和理論CoC參數(shù)變化比向量的比較Fig.5 Comparison of the‘measured’ and computed CoC change ratios due to 35% stiffness reduction in Element 26

圖6　單元10的剛度減少35%對應(yīng)的“實測”CoC參數(shù)變化比向量與理論CoC參數(shù)變化比向量的的MAC值Fig.6 The ‘measured’ and computed MAC values due to 35% stiffness reduction in Element 10

圖7　單元10的剛度減少35%時“實測”的CoC參數(shù)變化比向量與理論的變化比向量的比較Fig.7 Comparison of the ‘measured’ and computed CoC change ratios due to 35% stiffness reduction in Element 10

綜上所述，CoC矩陣參數(shù)變化比方法雖然無法識別出單元的損傷程度，但是可以識別出損傷位置；即使無法給出精確的損傷位置，也可以給出小范圍的可能損傷位置，這樣就能縮小潛在損傷單元的數(shù)目。本文再結(jié)合基于CoC靈敏度和模型修正方法便可以識別出損傷單元的損傷程度[8]。這里取損傷工況3為例進行計算，即單元10損傷30%和單元26損傷25%，在“實測”CoC矩陣參數(shù)變化比向量中加入15%的白噪聲。首先通過CoC矩陣參數(shù)變化比法，可以把損傷范圍從所有單元縮小到10個單元(根據(jù)MAC值的大小，取單元10,11，12，26, 38, 42, 48, 49, 51和52為最有可能損傷單元)，再利用CoC參數(shù)靈敏度和模型修正法，可以得出損傷向量如圖8所示，可以看出，損傷位置和大小都能準確識別出。

因此，本文提出的基于CoC矩陣參數(shù)變化比向量縮小損傷范圍，然后再精確識別損傷大小的二步法，可以提高模型修正法的耐噪聲能力和提高其收斂速度，提高了方法的有效性。

圖8　單元10的剛度減少30%和單元26的剛度減少25%時通過二步法所識別出的損傷向量Fig.8 The obtained damage vector from the two-step method due to 30% stiffness reduction in Element 10 and 25% reduction in Element 2

本文提出的方法直接基于輸出加速度響應(yīng)進行結(jié)構(gòu)損傷識別，計算簡單，也避免了模態(tài)識別過程中可能產(chǎn)生的誤差，但是應(yīng)該看到，結(jié)構(gòu)環(huán)境振動響應(yīng)信噪比低，噪聲的影響不可忽略。為了降低噪聲的影響，本文在由加速度響應(yīng)計算互相關(guān)函數(shù)Rpl(τ)時，要求有足夠時間長度的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)。因為在計算時是假定結(jié)構(gòu)處于白噪聲激勵下的，這樣才能把激勵大小從互相關(guān)函數(shù)中去掉。但實際的環(huán)境激勵不是理想的白噪聲激勵，所以對實際的環(huán)境振動響應(yīng)數(shù)據(jù)，需要保證測試的加速度響應(yīng)具有足夠長的時間才能達到所需要的精度，這樣的處理同時也降低了殘留在加速度響應(yīng)中的噪聲影響。

另外需要說明的是，加速度響應(yīng)協(xié)方差是結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(頻率，振型和阻尼等)的函數(shù)，它是個全局參數(shù)，理論上，在某測點處發(fā)生的損傷，是能反應(yīng)到其它測點加速度響應(yīng)的協(xié)方差中的。但在實際使用中，由于測試加速度信號本身帶有噪聲，再加上方法誤差，這些都會影響方法的準確性。采用更多測點可以在一定程度上糾正這些誤差帶來的誤判，從而提高識別的準確性，所以本文中使用了比較多的測點。

表1　第26個單元剛度不同程度減少時CoC參數(shù)變化比的變化

3結(jié)論

本文利用環(huán)境激勵下的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)二次協(xié)方差(CoC)矩陣參數(shù)變化比法，對結(jié)構(gòu)進行損傷定位；再基于準確的定位或者縮小了的損傷識別區(qū)域，結(jié)合參數(shù)靈敏度和模型修正法，對結(jié)構(gòu)進行損傷識別，并把該方法應(yīng)用在一個七層框架結(jié)構(gòu)上，通過計算分析，得到了滿意的結(jié)果，展示了該方法的有效性和實用性。

參 考 文 獻

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Damage identification under ambient vibration based on change ratios of covariance of covariance matrix components of structural acceleration responses

WANGLi-xin1,LIXue-yan2,JIANGHui1,ZHUJia-jian1(1.CEA Key Laboratory of Earthquake Monitoring and Disaster Mitigation Technology, Earthquake Administration of Guangdong Province, Guangzhou 510070, China;2.Department of Mechanics & Civil Engineering, Jinan University, Guangzhou 510632, China)

Abstract:A new covariance of covariance (CoC) matrix is formed from the auto/cross-correlation functions of acceleration responses of a structure under ambient white noise excitation.The components of a CoC matrix are proved to be a function of modal parameters (modal frequency, mode shape and modal damping) only of the structure.Compared to the general damage-identification methods of extracting modal parameters, the formulated covariance matrix contains more information, especially the higher vibration modes of a structure.Using the change ratios of CoC matrix components, a method of damage identification is proposed for structures under ambient vibration based on vibration outputs in this paper.A seven-floor frame structure is studied through numerical simulation in two steps (namely, first damage location and then damage-extent identification) to demonstrate the efficiency of the proposed method.

Key words:damage identification; covariance of covariance matrix; ambient vibration

中圖分類號:TU375.4

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.022

收稿日期：2015-08-05修改稿收到日期：2015-11-01

基金項目：地震科技星火計劃(XH16031);國家自然科學青年基金(51208230);廣東省重大科技專項(2012A080102008);廣東省地震預(yù)警與重大工程安全診斷重點實驗室建設(shè)項目(2011A060901006)

第一作者 王立新 男，博士，副研究員，1976年9月生

E-mail:wlxustc@hotmail.com