王　磊, 譚　平, 李森萍(廣州大學(xué) 工程抗震研究中心,廣州　510405)

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基于人工魚群算法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)LQR權(quán)矩陣優(yōu)化

王磊, 譚平, 李森萍(廣州大學(xué) 工程抗震研究中心,廣州510405)

摘要：針對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下線性二次最優(yōu)控制的權(quán)參數(shù)選取問題，提出了基于人工魚群算法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)權(quán)矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法以結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)和控制力均方值的加權(quán)組合為目標(biāo)函數(shù)，考慮了結(jié)構(gòu)和外激勵(lì)的隨機(jī)性對(duì)于控制效果的影響。其優(yōu)化結(jié)果不僅保證了控制器的控制效果，而且降低了控制效果對(duì)于隨機(jī)參數(shù)的敏感性，增強(qiáng)了控制器的魯棒性。最后結(jié)合數(shù)值算例，驗(yàn)證了所述方法的有效性和正確性。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)結(jié)構(gòu);權(quán)矩陣;主動(dòng)質(zhì)量阻尼器;魚群算法

線性二次型經(jīng)典最優(yōu)控制算法(Linear Quadratic Optimal Control,LQR)因其性能指標(biāo)物理意義明確，最優(yōu)控制解可以解析表達(dá)，易于實(shí)現(xiàn)閉環(huán)反饋控制，而被廣泛運(yùn)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制之中[1-4]。LQR控制器的控制效果直接取決于加權(quán)矩陣的選取，如果加權(quán)矩陣選取不當(dāng)，則可能造成控制裝置不能發(fā)揮最優(yōu)性能，造成資源浪費(fèi)，甚至對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)產(chǎn)生不利的影響。對(duì)于權(quán)矩陣的選取較常用的為試探法，即選擇不同的權(quán)矩陣比較計(jì)算選取最優(yōu)值。此種方法一般僅能得到局部最優(yōu)解。鑒于此，發(fā)展了多種優(yōu)化權(quán)矩陣的方法。郭一峰等[5-6]基于遺傳算法采用不同的目標(biāo)函數(shù)對(duì)權(quán)矩陣進(jìn)行了優(yōu)化，其優(yōu)化后的控制效果都滿足設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)性能的要求；張葛祥等[7]利用參數(shù)滿意度對(duì)權(quán)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，綜合考慮了控制性能和能量間的關(guān)系；祁皚等[8]提出了一種新的權(quán)矩陣選擇方法，并詳細(xì)分析了權(quán)矩陣參數(shù)對(duì)控制效果的影響；楊剛等[9]提出了僅包含一個(gè)可調(diào)參數(shù)的新目標(biāo)函數(shù)，并利用非線性優(yōu)化理論對(duì)該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化分析。在以往的研究中，對(duì)于權(quán)矩陣的優(yōu)化大多集中于確定性結(jié)構(gòu)在特定激勵(lì)下的分析。然而在實(shí)際環(huán)境之中，存在著大量的不確定性，僅對(duì)特定激勵(lì)下確定性結(jié)構(gòu)進(jìn)行權(quán)矩陣優(yōu)化，忽略結(jié)構(gòu)和外部環(huán)境激勵(lì)的隨機(jī)性對(duì)于控制效果的影響，其優(yōu)化結(jié)果仍具有一定的局限性，難以全面表現(xiàn)控制裝置對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果。

本文基于人工魚群算法，對(duì)隨機(jī)地震下隨機(jī)結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)的權(quán)矩陣進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。其中對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)和環(huán)境激勵(lì)的隨機(jī)性造成的復(fù)合隨機(jī)問題，首先通過結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)隨機(jī)參數(shù)靈敏度分析，合理的確定結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)，進(jìn)一步利用Gegenbauer多項(xiàng)式將含λ-PDF分布隨機(jī)變量的隨機(jī)結(jié)構(gòu)化為等效擴(kuò)階系統(tǒng)，采用Kanai-Tajimi地震動(dòng)模型為地震動(dòng)輸入，計(jì)算結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)。最后結(jié)合數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性及所優(yōu)化參數(shù)的魯棒性。

1隨機(jī)結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)正交分解

對(duì)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)AMD振動(dòng)控制系統(tǒng)，其動(dòng)力平衡方程為

Ks(θ)Xs=-MsIf(t)+HfTMD

(1)

(2)

fTMD=kT(xT-xn)+cT(xT-xn)-u(t,θ)

(3)

控制力u(t)可采用LQR控制算法進(jìn)行設(shè)計(jì),以層間位移為控制目標(biāo)。首先定義二次性能泛函為：

(4)

式中：Z(t)=[d1,d2,…,dn]T，其中di為結(jié)構(gòu)的第i層層間位移，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。

不失一般性，假設(shè)式(1)中結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度有下列形式[12]

(5)

(6)

(7)

(8)

把式(5)～式(8)代入式(1)利用正交多項(xiàng)式逼近理論，得到其確定性系統(tǒng)如下

ui=0,1,…,nii=1,…,N

(9)

2隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)靈敏度

對(duì)于式(5)～式(7)所示的結(jié)構(gòu)隨機(jī)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣可分解為均值分量和零均值隨機(jī)分量之和：

(10)

(11)

(12)

隨機(jī)結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量也能分解為

(13)

則式(1)所示隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)亦可做同樣分解

(14)

(15)

若已知隨機(jī)結(jié)構(gòu)各個(gè)參數(shù)的分布參數(shù)，利用攝動(dòng)法通過式(15)求解結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)對(duì)于各個(gè)隨機(jī)參數(shù)的靈敏度，從而以靈敏度為依據(jù)來選取結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量，可有效降低隨機(jī)變量選取的盲目性和不確定性。

3基于人工魚群算法的權(quán)矩陣優(yōu)化

人工魚群算法是李曉磊等[13]提出的一類基于動(dòng)物行為的群體智能優(yōu)化算法。該算法通過模擬魚類的覓食、聚群、追尾、隨機(jī)等行為在搜索區(qū)域中進(jìn)行尋優(yōu)，是一種群智能算法。其具有并行性、簡單性、能很快跳出局部極優(yōu)值、尋優(yōu)速度快、對(duì)初值不敏感等特點(diǎn)。本文利用人工魚群算法，對(duì)權(quán)矩陣進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1　人工魚群算法優(yōu)化流程圖Fig.1 Flow chart for weighting matrices using artificial fish algorithm

結(jié)構(gòu)在地震作用下的性能很大程度上取決于結(jié)構(gòu)各層的層間位移，因此在本文中所設(shè)計(jì)AMD系統(tǒng)主要的控制對(duì)象選取為結(jié)構(gòu)層間位移，權(quán)矩陣設(shè)定為Q=10βI，R=1，其中β為待優(yōu)化參數(shù)。對(duì)于實(shí)際工程，控制系統(tǒng)的輸入能量一定是有界的，為了實(shí)現(xiàn)前述控制目標(biāo)并兼顧能量消耗，本文定義食物濃度函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))如下

(16)

4仿真分析

4.1算例模型

三層剪切型隨機(jī)結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，其中對(duì)于結(jié)構(gòu)質(zhì)量參數(shù)，由于在實(shí)際工程中其變異系數(shù)常常較小，所以被考慮為確定性參數(shù)。

表1　結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)

注：質(zhì)量、剛度、阻尼單位分別為：t, kN/m, kN·s/m.

4.2隨機(jī)參數(shù)靈敏度分析

表1中結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)對(duì)于結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)均方值的一階靈敏度為式(13)計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)值，對(duì)于式(13)利用攝動(dòng)法求解(攝動(dòng)步長為0.01σ，σ為隨機(jī)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差)。由各隨機(jī)參數(shù)靈敏度分析可知：① 剛度對(duì)于結(jié)構(gòu)各層層間位移均方值的影響較阻尼的影響大；② 各層剛度的隨機(jī)變化都對(duì)本層的層間位移均方值有較大影響，對(duì)其他各層影響程度較小且基本相當(dāng)；③ 各層阻尼的隨機(jī)變化對(duì)層間位移均方值影響規(guī)律相同：對(duì)一層影響最大，三層次之，二層最小。依據(jù)以上分析，后文在對(duì)于控制系統(tǒng)權(quán)矩陣優(yōu)化時(shí)僅考慮一、二層剛度為隨機(jī)參數(shù)，其分布如圖2所示，其中一層剛度變異系數(shù)為8%，二層為7%，其概率密度函數(shù)如下所示

(17)

圖2　概率密度曲線Fig.2 PDF curve

4.3權(quán)矩陣優(yōu)化

人工魚群算法最終優(yōu)化結(jié)果為β=15.013，其優(yōu)化過程和優(yōu)化前后魚群在 [10,16,-3,0]區(qū)域內(nèi)分布分別如圖3、4所示，由圖可知魚群算法對(duì)本文優(yōu)化目標(biāo)收斂快、計(jì)算效率高，在優(yōu)化的初始，魚群的分布較為均勻，隨著優(yōu)化的進(jìn)行，魚群通過覓食、聚群、追尾、隨機(jī)等行為逐漸向最優(yōu)值靠攏，尋優(yōu)過程相對(duì)簡單、快捷，特別是由于考慮了魚群的擁擠度因子，將會(huì)有少數(shù)人工魚分布在次優(yōu)值附近，所以人工魚群算法較其他優(yōu)化算法容易跳出優(yōu)化函數(shù)局部最優(yōu)值的影響從而得到函數(shù)的全局最優(yōu)值。

圖3　優(yōu)化過程Fig.3 Optimization process

圖4　人工魚分布Fig.4 Artificial fish distribution

參數(shù)量值參數(shù)量值ωg/(rad·s-1)15.6mt(t)1.44ξg0.6kt/(kN·m-1)23.7S0/(cm2·s-3)15.74ct/(kN·s·m-1)0.7

表4對(duì)比了無控、TMD控制、AMD控制結(jié)構(gòu)的層間位移均方根。由表4分析可知，相對(duì)于無控結(jié)構(gòu)，主、被動(dòng)控制系統(tǒng)對(duì)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)均方根都具有一定的控制效果。但是由于參數(shù)的不確定性，特別是結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性的影響，TMD對(duì)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果不明顯。但是由于主動(dòng)控制力的引入，AMD控制效果較TMD有較大的提高，AMD能更有效地降低結(jié)構(gòu)各層層間位移響應(yīng)，減小結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)下的損傷。因此，采用本文所述魚群算法優(yōu)化的權(quán)矩陣，在綜合考慮了控制能量的前提下，取得了較好的控制效果，增大了控制系統(tǒng)對(duì)于外界不確定因素的魯棒性，降低了控制效果對(duì)于隨機(jī)參數(shù)的敏感性，增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的安全性與魯棒性。

表3　人工魚群算法參數(shù)

表4　結(jié)構(gòu)響應(yīng)均方根

注:控制效果中括號(hào)內(nèi)外分別為AMD和TMD的控制效果。

5結(jié)論

本文在充分考慮了外激勵(lì)和結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性的影響下，利用魚群算法對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)的LQR權(quán)矩陣進(jìn)行了優(yōu)化分析，得到了如下一些結(jié)論：

(1) 實(shí)際工程之中參數(shù)的不確定性是不可避免的，在合理設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)應(yīng)充分考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和外激勵(lì)的隨機(jī)性。本文提出的基于人工魚群算法的LQR權(quán)矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，不依賴于特定的外激勵(lì)時(shí)程，能有效減小結(jié)構(gòu)層間位移響應(yīng)的均方根，降低AMD系統(tǒng)控制效果對(duì)于隨機(jī)參數(shù)的敏感性，提高AMD控制系統(tǒng)的魯棒性，具有重要的理論意義和工程應(yīng)用前景；

(2) 人工魚群算法對(duì)LQR權(quán)矩陣優(yōu)化過程表明其具有簡單高效、不易陷入局部最優(yōu)、對(duì)初值不敏感的特點(diǎn)；

(3) 對(duì)于結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)敏感性分析表明，相較于阻尼，剛度的隨機(jī)變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響更大；各層剛度隨機(jī)變化對(duì)各層層間位移均方根的影響規(guī)律為：對(duì)本層影響最大，其他各層影響次之且程度基本相當(dāng)；對(duì)于各層阻尼的隨機(jī)變化，其對(duì)于結(jié)構(gòu)層間位移影響規(guī)律基本相同：對(duì)一層影響最大，三層次之，二層最??；

(4) 仿真分析結(jié)果表明，權(quán)矩陣優(yōu)化后AMD對(duì)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果優(yōu)于TMD，在綜合考慮能量消耗的條件下,AMD能有效降低結(jié)構(gòu)的層間位移響應(yīng)，增大結(jié)構(gòu)的安全性，使結(jié)構(gòu)性能滿足設(shè)計(jì)要求。

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Optimal analysis of weight matrices of LQR algorithm for stochastic structure-AMD system based on artificial fish algorithm

WANGLei,TANPing,LISen-ping(Earthquake Engineering Research and Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China)

Abstract:In allusion to the choice of the weight matrices Q and R in LQR algorithm in the stochastic structure-AMD system under stationary random excitation, the optimization method of the weight matrices is proposed based on the artificial fish algorithm.The method resolves the weight matrices optimization via the objective function with the weighted root mean square of the stochastic structural responses and active control force, taking into account the effect of the randomness in the structure and excitation on the control effect.The effectiveness and validity of the procedures of the optimal designs of the weight matrices are proven by a numerical example.Numerical results preliminarily show that the optimized weight matrices can effectively suppress undesirable vibration, reduce the sensitivity of the control effectiveness to the random parameters and improve the robustness of AMD.

Key words:stochastic structure; weight matrix; active mass damper(AMD); artificial fish algorithm

中圖分類號(hào):TU352

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.08.024

通信作者譚平 男，博士，研究員，博士生導(dǎo)師，1973年生

收稿日期：2014-11-06修改稿收到日期：2015-04-21

基金項(xiàng)目：國家基金項(xiàng)目(91315301-07;51408142)；國家教育部長江學(xué)者創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(IRT13057)

第一作者 王磊 男，博士生，1987年生